ضرب داخلی یکی از آن مفاهیم ریاضیست که در نگاه اول ساده به نظر میرسد، اما کاربردهای آن آنقدر گسترده و جذاب است که در بسیاری از فناوریهای اطراف ما نقشی کلیدی بازی میکند. در پایهایترین سطح، ضرب داخلی دو بردار به ما یک عدد میدهد که میزان همجهتبودن آنها را اندازهگیری میکند. تعریف ریاضی آن اینگونه است:
a · b = |a| |b| cos(θ)
در این فرمول، |a| و |b| اندازه بردارها و θ زاویهی بین آنهاست. اگر بردارها را با مؤلفههایشان روی محورهای مختصات بنویسیم، محاسبهی آن حتی سادهتر هم میشود. برای دو بردار در فضای دوبعدی داریم:
a · b = aₓbₓ + aᵧbᵧ
این عملِ به ظاهر ساده، دنیایی از معنا را در خود جای داده است. نتیجهی این ضرب مانند یک دستگاه سنجش شباهت (detector) عمل میکند. اگر جواب آن یک عدد مثبت و بزرگ باشد، یعنی دو بردار تقریباً در یک جهت هستند. اگر صفر باشد، یعنی کاملاً بر هم عمودند و اگر منفی باشد، نشاندهندهی مخالف بودن جهتهاست.
حالا این مفهوم چطور در زندگی و فناوری ظاهر میشود؟ یکی از جذابترین کاربردهای آن در سیستمهای پیشنهاددهنده است. وقتی Netflix یا Spotify به شما فیلم یا موسیقی پیشنهاد میدهند، در پشت صحنه چه اتفاقی میافتد؟ سلیقهی شما و ویژگیهای هر اثر به صورت لیستی از اعداد (یک بردار) درمیآید. سپس با انجام یک ضرب داخلی ساده بین این دو بردار، میزان شباهت و احتمال علاقهی شما به آن اثر اندازهگیری میشود. به عبارت دیگر، هر کلیک شما بر روی یک پیشنهاد، نتیجهی یک محاسبهی ضرب داخلی است.
به بیان دیگر، این داستان با تبدیل سلیقه و هنر به زبان ریاضی آغاز میشود. تصور کنید هر فیلم یا آهنگ در نهایت یک لیست از اعداد است، یک بردار که ویژگیهای آن اثر را توصیف میکند. این اعداد میتوانند میزان وجود ژانرهای مختلف مانند اکشن، کمدی یا درام را نشان دهند، یا ویژگیهای ظریفتری مانند ریتم، حالت عاطفی یا حتی سال تولید را در خود جای دهند.
در طرف دیگر، برای شما به عنوان بیننده یا شنونده، یک بردار مجزا ساخته میشود. این بردار، که مانند یک اثر انگشت دیجیتال از سلیقهی شماست، با دقت و به مرور زمان شکل میگیرد. هر بار که فیلیمی را تماشا میکنید، آن را تا انتها میبینید، برمیگردید و صحنهای را دوباره تماشا میکنید یا به آن امتیاز میدهید، این بردار به روز میشود تا ترجیحات شما را بهتر منعکس کند. این بردار در واقع پاسخ شما به همان ویژگیهایی است که برای آثار تعریف شده بود.
حالا نوبت جادوی ضرب داخلی میرسد. الگوریتم این دو بردار را میگیرد؛ یکی نمایندهی شما و دیگری نمایندهی یک اثر هنری ناشناخته. سپس با انجام محاسبهی ضرب داخلی بین آنها، در اصل در حال محاسبهی میزان همجهتی این دو بردار است. نتیجهی این محاسبه یک عدد واحد است که مانند یک متر شباهت عمل میکند. هرچه این عدد بزرگتر باشد، یعنی بردار سلیقهی شما و بردار ویژگیهای آن اثر بیشتر در یک جهت قرار دارند و احتمال اینکه آن اثر را دوست داشته باشید بیشتر است.
این فرآیند به صورت خستگیناپذیری برای هزاران اثر مختلف تکرار میشود. در کسری از ثانیه، سیستم تمام این محاسبات را انجام میدهد و آثار را بر اساس امتیاز شباهت به دست آمده رتبهبندی میکند. در نهایت، آثاری که بالاترین امتیاز را کسب کردهاند به عنوان پیشنهادهایی شخصیسازی شده به شما نمایش داده میشوند. بنابراین، هر پیشنهادی که روی صفحهی شما ظاهر میشود، تنها نتیجهی یک الگوریتم پیچیده نیست، بلکه حاصل یک مکالمهی ریاضی بین سلیقهی منحصر به فرد شما و دنیای بیکران محتوا است.
اما پلتفرمهایی مثل اینستاگرام و یوتیوب چگونه از چنین مفاهیمی استفاده میکنند. در واقع، اینستاگرام و یوتیوب نیز در قلب سیستم پیشنهاددهنده خود از منطقی بسیار شبیه به همان چیزی استفاده میکنند که در مورد نتفلیکس توضیح دادیم، اما با پیچیدگی بسیار بیشتر و بر اساس دادههای غنیتری که از رفتارهای ریز و درشت کاربران خود جمعآوری میکنند.
برای اینستاگرام، هر پست، استوری، یا حتی یک کاربر دیگر میتواند به یک بردار از ویژگیها تبدیل شود. این ویژگیها فقط به محتوای آشکار و مرئی پست محدود نمیشوند؛ بلکه شامل نحوه تعامل دیگران با آن، سرعت اسکرول کردن شما هنگام مواجهه با آن، و حتی مدت زمانی که روی آن توقف میکنید نیز هست. بردار سلیقه شما نیز به طور مداوم و بر اساس هر تعامل کوچکی- از یک لایک ساده تا مدت زمان تماشای یک ریل- به روز میشود. سپس، الگوریتم با مقایسه این بردارها به دنبال یافتن محتوایی است که بیشترین هماهنگی را با الگوی رفتاری شما دارد. هدف نهایی این است که شما زمان بیشتری را در اپلیکیشن بگذرانید، بنابراین پیشنهادها طوری تنظیم میشوند که شما را به اسکرول و تعامل بیشتر ترغیب کنند.
یوتیوب نیز از همین مکانیسم بهره میبرد، اما با تمرکز بر ویدیوها. بردارهای این پلتفرم میتوانند شامل مواردی مانند طول ایدهآل ویدیو برای شما، موضوعات مورد علاقه، لحن ویدیو (آموزشی، طنز، تحلیلی)، و حتی میزان درگیر شدن شما با نظرات دیگران باشند. وقتی الگوریتم متوجه میشود که شما به ویدیوهای کوتاه و آموزشی در یک زمینه خاص واکنش خوبی نشان میدهید، سعی میکند محتوای مشابه بیشتری را از کانالهای مختلف پیدا کند و با محاسبه شباهت بین بردار شما و بردار آن ویدیوها، پیشنهادات بعدی را انتخاب کند.
در هر دو پلتفرم، این فرآیند آنقدر سریع و پیچیده اتفاق میافتد که شما به صورت زنده و بر اساس هر کلیک یا اسکرول، فید شخصیسازی شده خود را دریافت میکنید. در واقع، هر بار که اینستاگرام یا یوتیوب را باز میکنید، یک گفتوگوی پیوسته و نامرئی بین الگوریتم و سلیقه شما در جریان است که سعی میکند با دقت هرچه بیشتر محتوایی را پیش بینی کند که شما را وادار به ماندن در پلتفرم میکند. این همان قدرت پنهان ریاضیات در شکلدهی به تجربه روزمره ما از فضای دیجیتال است.
