پارادوکس آسانسور

پارادوکس در لغت به معنای «قیاس ضد و نقیض» آمده است و گاهی به اشتباه در معنای تناقض نیز به کار می‌رود. تناقض به معنای «خلاف‌گویی، مغایرت» می‌آید و معادل Contradiction در زبان انگلیسی است که پرکاربردترین نمونه‌های آن را می‌توان در مسائل ریاضی جستجو کرد. هنگامی که برای اثبات یک مسأله ریاضی از برهان خلف استفاده می‌کنیم، اصل روش بر مبنای تناقض بنا نهاده شده و تلاش ما بر این است با اشتباه فرض کردن حکم، یکی از اصول ریاضی را زیر سوال ببریم و به اصطلاح با آن به تناقض برسیم؛ در حالی که اگر بخواهیم برای پارادوکس در زبان فارسی معنایی بیابیم، از معادل «متناقض نما» برای آن استفاده می‌شود. به این معنا که در ظاهر با تناقضی روبه‌رو هستیم که اصل یا اصول علمی را زیر سوال برده است؛ در حالی که به واقع این گونه نیست و به دلیل اشتباه در فرض، تحلیل یا برخورد، چنین تناقضی پیش آمده است.

پارادوکس‌ها در ریاضی و سایر علوم بسیار مشاهده می‌شوند و همه آنها بر مبنای محاسبات ریاضی بنا نهاده شده‌اند و امروزه یکی از عمومی‌ترین سرگرمی‌های ریاضی هستند که در هر کتاب بازی و سرگرمی ریاضی می‌توان نمونه‌ای از آن را مشاهده کرد.

معروف‌ترین پارادوکس عام _ و غیر ریاضی_ در زمان حاضر مسأله‌ای است که تحت عنوان «قضیه پدربزرگ» شناخته می‌شود و سوالی درباره سفر در زمان است. قضیه پدربزرگ این سوال را مطرح می‌کند که اگر فردی به گذشته سفر کند و پدربزرگ خود را قبل از ازدواج به قتل برساند، آن وقت چطور ممکن است خودش به دنیا آمده باشد؟!

ژرژ گاموف (1968-1904)

ژرژ گاموف در سال 1904 در شهر ادسا از شهرهای اوکراین، متولد شد و تحصیلات مقدماتی را در همان‌جا به پایان رساند. در سال 1922 به مطالعه نورشناسی و کیهان‌شناسی در دانشگاه لنینگراد روسیه پرداخت و در سال 1928 مدرک دکترای خود را از دانشگاه گوتینگن در رشته فیزیک کوانتوم دریافت کرد و پس از آن در دانشگاه‌های گوتینگن در آلمان، کپنهاگ در دانمارک، و کمبریج در انگلستان به تدریس مشغول شد. بعدها به سمت استادی فیزیک در دانشگاه‌های جورج واشنگتن و کلرادو در آمریکا نیز منسوب شد.
ژرژ گاموف نقش بزرگی در شکل‌گیری نظریه انفجار بزرگ داشت و در سال 1946 ‌این نظریه را مورد حمایت قرار داد. گاموف یکی از حامیان اولیه این نظریه بود و الگویی ارایه داد که در آن، تحوه تشکیل گاز هلیم در جهان نشان داده شده است. او نظریه تشعشع مایکروویو زمینه کیهان را مطرح و پیش‌بینی کرد نظریه انفجار بزرگ جانشین نظریه تشعشع کیهان خواهد شد. کتاب «سرگذشت فیزیک» نوشته او،‌ یکی از معروف‌ترین کتاب‌ها در زمینه آموزش همه فهم فیزیک به شمار می‌رود.

تاریخچه:

آیا شده است اتفاقی مانند آن چه در زیر خواهیم گفت برایتان پیش آمده باشد؟

در طبقه چهارم یک ساختمان پنج طبقه منتظر ایستاده‌اید تا آسانسور بیاید و پایین بروید. آسانسورها یکی پس از دیگری به سمت بالا می‌روند و شما نمی‌توانید سوار هیچ کدامشان شوید. احتمالا به شانس بد خودتان لعنت می‌فرستید.

اگر با یک ساختمان پنج طبقه طرف باشید، مسأله قابل تحمل است، اما اگر در طبقه پنجاهم یک ساختمان شصت طبقه باشید و بینید تقریبا همه آسانسورها به سمت بالا حرکت می‌کنند، آن وقت چه؟ چطور ممکن است چنین چیزی اتفاق بیافتد؟

پس از مقدمه بالا، به سراغ مسأله اصلی برویم. پیش از هر چیز بهتر است ببینیم پارادوکس آسانسور از کجا مطرح شد؟ این پارادوکس اولین بار توسط ژرژ گاموف (George Gamow) و موریس استرن (Moritz Stern)، دو فیزیکدان که دفتر کارشان در دو طبقه متفاوت یک ساختمان چند طبقه قرار داشت در کتابی تحت عنوان «معماهای ریاضی» عنوان شد. گاموف که دفتر کارش در طبقه دوم نزدیک‌تر به همکف ساختمان قرار داشت، متوجه شد هر وقت می‌خواهد سوار آسانسور شود، اولین آسانسوری که در ان طبقه می‌ایستد در اغلب موارد به سمت پایین می‌رود؛ در حالی که استرن که دفتر کارش در طبقه ششم قرار داشت، متوجه شده بود اولین آسانسوری که در آن طبقه می‌ایستد در اغلب موارد به سمت بالا می‌رود. در یکی از ملاقات‌های این دو فیزیکدان، اشاره‌گاموف به این موضوع زمینه‌ساز بحث درباره این مسأله شد و آن دو متوجه این تناقض شدند. بالاخره آسانسور در اغلب موارد بالا می‌رود یا پایین می‌آید؟

در نگاه اول، این طور به نظر خواهد رسید که شاید موتورخانه آسانسور در طبقات میانی ساختمان نصب شده است و آسانسور از آنجا به طرف طبقات فوقانی بالا و به طرف همکف ساختمان پایین فرستاده می‌شود. واضح بود که مسأله به این شکل نیست. در این صورت، این قضیه را چطور می‌شد توضیح داد؟

شرح مسأله:

هر چند گاموف و استرن تحلیل این مسأله را آغاز کردند، اما تا مدت‌ها تلاش‌های بسیاری برای شرح این قضیه صورت گرفت، چرا که تحلیل پارادوکس آسانسور از آن چه در نگاه اول به نظر می‌رسد سخت‌تر است.

در اصل، توضیح مسأله باید این طور باشد: یک آسانسور منفرد، اغلب زمان کار خود را در بخش‌های پر رفت و آمدتر ساختمان سپری می‌کند و از این رو محتمل‌تر است از آن سمتی نزدیک شود که مسافر بعدی آسانسور می‌آید. ناظری که برای ساعت‌ها یا روزها در کنار در آسانسور بماند و هر بار رسیدن آسانسور را مشاهده کند، به جای این که تنها ناظر اولین آسانسوری باشد که می‌آید، متوجه خواهد شد که آسانسور به دفعات برابر در هر دو جهت حرکت می‌کنند.

برای این که بهتر بتوانید این موضوع را در ذهن خود مجسم کنید، یک ساختمان سی طبقه به همراه همکف را در نظر بگیرید که تنها یک آسانسور کند دارد. آسانسور بسیار کند حرکت می‌کند، چرا که بایستی هنگام حرکت خود به سمت بالا در هر طبقه توقف کند و دوباره وقتی پایین می‌آید، در هر طبقه توقف دیگری داشته باشد. در نظر بگیرید مدت زمان آن که آسانسور در یک طبقه بایستد، مسافران را پیاده و سوار کند و به طبقه دیگر برود، یک دقیقه طول بکشد. با این مفروضات، جدول زمانی افراد بخت برگشته‌ای که مجبور هستند با این شرایط در این ساختمان کار کنند، به صورت زیر خواهد بود:

شماره طبقه

زمان حرکت آسانسور
به سمت بالا

زمان حرکت آسانسور
به سمت پایین

همکف

... ، 9:00 ، 8:00

---

طبقه اول

... ، 9:01 ، 8:01

... ، 9:59 ، 8:59

طبقه دوم

... ، 9:02 ، 8:02

... ، 9:58 ، 8:58

...

طبقه بیست و نهم

... ، 9:29 ، 8:29

... ، 9:31 ، 8:31

طبقه سی‌ام

---

... ، 9:30 ، 8:30

اگر محل کار شما در طبقه اول باشد و به صورت تصادفی بخواهید سوار آسانسور شوید، شانس این که آسانسور بعدی به طرف پایین برود بیشتر است. آسانسور بعدی که به طرف بالا برود تنها در فاصله زمانی دو دقیقه نخست هر ساعت خواهد بود، به عنوان مثال، ساعت 9:00 و 9:01 را در نظر بگیرید. تعداد توقف آسانسور در حین حرکت به سمت بالا و پایین یکسان است، اما احتمال این که آسانسور بعدی به سمت بالا برود تنها 2 حالت در 60 حالت یا به عبارتی یک سی‌ام است.

حالت مشابهی در ایستگاه‌های قطار در مواردی که مورد بررسی نزدیک ایستگاه‌های پایانی خط واقع شده باشد، دیده می‌شود: مسافران ایستگاه در موراد بیشتری با صحنه حرکت قطار بعدی به سمت انتهای خط مواجه خواهند بود. یک مثال دیگر برای درک بهتر این مسأله این است که تصور کنید در صندلی‌های گوش پیست اتومبیلرانی بیضی شکل نشسته باشید: در حالی که منتظر نشسته‌اید تا یک ماشین درست از جلوی شما عبور کند، احتمال بیشتری دارد ماشین‌هایی را در حین حرکت در مسیر مستقیم مسابقه قبل از ورود به پیچ ببینید و اساساً به همین دلیل است که این صندلی‌ها را تحت عنوان bleacher به معنای صندلی‌های ارزان قیمت نام‌گذاری کرده‌اند.

برای درک بهتر اجازه دهید مثالی را که درباره ساختمان پنج طبقه زدیم بیشتر مورد بررسی قرار دهیم. فرض کنید ناظر در طبقه چهارم باشد و ما تعداد کل حالت‌های زیر را بررسی کنیم:

1- آسانسور در طبقه چهارم یا بالاتر باشد.

2- آسانسور در طبقه سوم یا طبقات پایینی باشد.

3- دفعات تلاش یا مشاهده.

از روی این مقادیر اساسی ما می‌توانیم وقتی ناظر در زمان‌های تصادفی به طرف آسانسور بیاید، احتمال این را که آسانسور در حال حرکت به سمت پایین باشد به دست آوریم.

مفروضات:

1- مشاهده، در زمان‌های تصادفی، در طبقه چهارم یک ساختمان پنج طبقه، خواه آسانسور در طبقه چهارم یا بالاتر باشد یا این که در طبقه سوم و پایین‌تر باشد.

2- هیچ تفاوتی بین طبقات وجود ندارد. به عنوان مثال ما حالتی را بررسی نمی‌کنیم که یک فروشگاه زنجیره‌ای در طبقه دوم ساختمان باشد، در حالی که طبقات سوم و بالاتر مسکونی هستند.

با داشتن این مفروضات، هدف محاسبه احتمالات زیر است:

1- آسانسور در طبقه چهارم یا بالاتر باشد.

2- آسانسور در طبقه سوم یا طبقات پایین‌تر باشد.

حل مسأله:

با فرض این که ناظر در طبقه چهارم است، فضای نمونه (Ω) طبقه اول تا پنجم است. برای این که ناظری که در طبقه چهارم است، هنگام سوار شدن با آسانسوری مواجه شود که به سمت پایین می‌رود، آسانسور بایستی در ناحیه‌ای باشد که با رنگ خاکستری مشخص شده است. ما این پیشآمد را A می‌نامیم. در این صورت خواهیم داشت:

در این صورت احتمال ρ که ما به دنبال محاسبه آن بودیم عبارت است از:

بسط مسأله به چند آسانسور:

در حالتی که بیش از یک آسانسور در ساختمان مشغول به کار باشد، توزیع احتمال کاهش پیدا می‌کند. دلیل آن کاملاً واضح است. مثالی را که درباره ساختمان سی طبقه آوردیم در نظر بگیرید: زمانی که بیش از یک آسانسور مشغول به کار باشد، شانس این که مسافرانی که قصد سوار شدن به آسانسور را دارند، زمانی به طبقه همکف برسند که حداقل یک آسانسور در طبقه همکف منتظر است، بیشتر خواهد شد. اگر تعداد آسانسورهای ساختمان نامحدود باشد، مقادیر احتمالات برابر خواهد بود. در مثال مربوط به پیست مسابقات اتومبیلرانی، هر چه فاصله زمانی بین حرکت ماشین‌ها در مقایسه با زمانی که لازم است ماشین‌ها پیچ را دور بزنند کمتر باشد، ناظری که در پیچ نشسته است، ماشین‌های بیشتری را خواهد دید که از جلوی او عبور می‌کنند.

طرح مسأله:

برای شبیه‌سازی حالتی که بیش از یک آسانسور در ساختمان مشغول به کار است، ابتدا باید شرایط شبیه‌سازی را تعریف کنیم. قوانین حاکم بر شبیه‌سازی عبارتند از:

1- طبقه‌ای که درخواست بعدی برای آسانسور به آن مربوط می‌شود، به طور تصادفی انتخاب می‌شود.

2- طبقه مقصد آسانسور درخواست شده نیز به صورت تصادفی انتخاب می‌شود.

3- آسانسوری که به درخواست پاسخ می‌دهد، باید نزدیک‌ترین آسانسور به طبقه‌ای باشد که درخواست از آنجا آمده است.

4- در یک زمان واحد، نمی‌توان درخواستی برای یک آسانسور در دو طبقه متفاوت داشت.

در میان قوانین بالا، دو مورد اول را می‌توان با این بیان جایگزین کرد: «طبقه مبدا و طبقه مقصد نباید از پیش تعیین شده باشند.»

حل مسأله برای یک مورد خاص:

یک ساختمان 100 طبقه با 6 آسانسور فعال را در نظر بگیرید، در شبیه‌سازی انجام شده بر مبنای یک نمونه برنامه کامپیوتری، [5] پس از این که تعداد درخواست‌ها از حدی گذشت که مقادیر احتمالات به سمت ثابت شدن میل کند، برای سه شبیه‌سازی متفاوت با شرایط اولیه متفاوت، برای فراخوانی آسانسورهایی که از طبقات فوقانی به سمت طبقات پایین‌تر حرکت می‌‌کنند، مقادیر زیر به دست آمد:

شکل شماره 2

شکل شماره 3

شکل شماره 4

دونالد کانوت یکی از مشاهیر علوم کامپیوتر امروز و نویسنده کتاب مرجع «هنر برنامه نویسی کامپیوتری» در مقاله خود تحت عنوان «مسأله آسانسور گاموف-استرن» با در نظر گرفتن این قوانین نشان داده است به نسبت افزایش تعداد آسانسورهای یک ساختمان، چه آسانسور بالا برود و چه پایین بیاید، احتمال سوار شدن به آن در تمام طبقات به سمت مقدار 2/1 (یک دوم) میل می‌کند،

بررسی مسأله در زندگی روزمره:

در یک ساختمان حقیقی، عوامل پیچیده‌ای همچون نیاز بیشتر به حضور آسانسور در طبقه همکف یا طبقه اول و نیز بازگشت آسانسور به این طبقات در زمان بلااستفاده بودن بر عملکرد آسانسور تأثیر دارند. این عوامل میزان فراوانی فراخوانی‌های مشاهده شده را تغییر می‌دهند، اما پارادوکس آسانسور را به کلی از بین نمی‌برند. به خصوص اگر کاربری بیش از حد به طبقات فوقانی نزدیک باشد، به گونه چشمگیرتری با پارادوکس آسانسور مواجه خواهد بود، چرا که آسانسورها ندرتاً در طبقات فوقانی آنها حاضر هستند یا مورد نیاز خواهند بود.

ساختمان‌های حقیقی با پیچیدگی‌های دیگری نیز روبه‌رو هستند. به عنوان مثال می‌توان به درخواست غیر متعادل و بیش از حد رفتن به طبقه همکف در ساعت پایانی کار اشاره داشت. اکثر طبقات برای رفتن به طبقه همکف فراخوان می‌دهند و آسانسورهای پر از مسافر هم در طبقات میانی توقفی ندارند. از دیگر این موارد می‌توان به تأثیر جابه‌جایی‌های کوتاه در زمانی که آسانسورها بلااستفاده هستند اشاره داشت. چنین پیچیدگی‌های می‌تواند تاثیر پارداوکس آسانسور را حتی از مثال ما درباره شرایط کاری در یک ساختمان سی طبقه بغرنج‌تر سازد!