از اونجا تا به دماوند چند گراده؟

شاید برای شما هم مثل من تا یک ساعت پیش این سوال پیش نیومده بود که قله دماوند رو حداکثر از چه فاصله ای میشه دید. از بین سوال هایی که یک آدم مثل من براشون جواب نداره ولی میتونه بره دنبال جوابش، انتخاب این سوال برای جواب دادن حتی برای خودم هم تا حد خوبی عجیبی بود ولی خب الان میتونید یکی از سوالات اون لیست رو با مداد خط بزنید.

اما چی شد که کنجکاو شدم به این مساله جواب بدم، اصل قضیه از توییت یکی از کاربران توییتر که تصویری از دماوند رو از اطراف قم رو به اشتراک کذاشته بود شروع شد و بحثی که حول محور این عکس و عکسی که قبلا از دماوند از اطراف کوه کرکس در استان اصفهان منتشر شده بود، شکل گرفت. شک و تردیدها شدت گرفت و باید مشخص میشد اصالت اون عکس از نظر علمی درسته یا نه :). اما آیا از فاصله ۲۸۰ کیلومتری میشه دماوند رو دید؟ اگه حال خوندن ریاضیات قضیه رو ندارید جواب مثبته ولی اگه قانع نشدید با ما همراه باشید!

بیاید مساله رو مدل کنیم، بیاید فرض کنیم که زمین گرده که البته نیست، ما میخوایم ببینیم حداکثر فاصله بین دو نقطه که در ارتفاع a و b از سطح زمین قرار دارند چقدره که بشه اونها رو با خط مستقیم دید. همونطور که توی تصویر میبینید با به دست آوردن زاویه آلفا میتونیم حداکثر فاصله رو به دست بیاریم. پس قلم ها رو در بیارید که قراره معادله حل کنیم.

مساله ما الان پیدا کردن شیب خط مماس به دایره است و از اونجایی که حس پیدا کردن فرمول قضیه رو نداشتم با یه خورده سرچ رسیدم به این لینک و در نتیجه رسیدم به این فرمول:

و در کنار این میدونیم خط مماس مورد نظر ما از سر قله کرکس هم میگذره، پس مختصات اون نقطه رو تو معادله خط میگذاریم و معادله رو برای بدست آوردن آلفا حل میکنیم

حالا با حل کردن این معادله درجه ۲ مقدار سینوس آلفا بدست میاد. و با یک arcsin میشه آلفا رو بدست آورد.

برای این کار اما یک تکه کد کوچک نوشتم که آلفا رو به دست میاره.

حالا برای به دست آوردن حداکثر فاصله کافیه زاویه آلفا رو ضرب در شعاع زمین بکنیم. که نتیجه رو برای مقادیر ارتفاع کوه دماوند که ۵.۶۱ کیلومتره و کوه کرکس که ۳.۸۷ کیلومتره و شعاع زمین که ۶۳۷۱ کیلومتره محاسبه میکنیم.

بینگو! ۴۸۹ کیلومتر که ۲۰۰ کیلومتر بیشتر از فاصه بین دو نقطه است...

سوال دیگه ای که حالا میشه بهش جواب داد اینه که از قله کرکس، چقدر از دماوند رو میشه دید؟ فقط سر قله یا تا کمر کوه یا پایین کوه هم دیده میشه؟ برای همین با مقدار ارتفاع قله دماوند بازی کردم تا حداکثر فاصله بشه ۲۷۹ کیلومتر و جواب شد ۲۶۰ متر. یعنی از سر قله کرکس شما میتونید تقریبا همه دماوند رو ببینید (از ارتفاع ۲۶۰ تا ۵۶۱۰ متری)

یک نتیجه جانبی دیگه هم که از این برنامه میشه گرفت اینه که اگه قد آدمیزاد رو ۱۸۰ سانتیمتر در نظر بگیریم، آدم تو ارتفاع سطح دریا فقط ۴.۷۸ کیلومتر اونطرف تر از خودش رو میتونه ببینه (طبیعتا زمین صاف و اینا وگرنه که کوه های خیلی دور رو هم میتونه ببینه)

البته کدی که زدم فقط یکی از ریشه های معادله رو به دست میاره که میتونید یکم دستکاری کنید تا هر دو ریشه رو بررسی کنید و برنامه بدون باگ بشه ولی نظر شخصی من اینه که باگ نمک برنامه است.