از آنجاییکه قضیه بیز ، بسط داده شده احتمال شرطی است ابتدا می پردازیم به تعریف احتمال شرطی و در نهایت با کمک احتمال کل آنرا تکمیل می کنیم .
وقتی میخواهیم احتمال وقوع یک رخداد را در صورت وجود یک شرایط خاص (شرط) محاسبه کنیم از احتمال شرطی استفاده می کنیم
مثال : فضای نمونه ما کارت پاسور می باشد ، دست ما یک کارت است ، طرف مقابل با علم به اینکه می داند کارت ، قرمز رنگ است می خواهد محاسبه کند احتمال اینکه کارت قلب باشد . در اینجا A همان احتمال قلب بودن کارت است و B شرط قرمز بودن .
پاسخ : اگر بخواهیم بصورت ساده و با تجربیات قبلی در ذهن خود محاسبه کنیم می گوییم تعداد کارت های قلب 13 عدد است و کل کارتهای قرمز 26 عدد است پس پاسخ 13/26 یا 1/2 می باشد (احتمال قلب بودن 50 درصد است) . اگر بخواهیم در فرمول بالا مقداردهی کنیم به شکل زیر خواهد بود :
قضیه بیز (Bayes Theorem)
قضیه بیز فرمولی است که می تواند در صورت ارائه شواهد ، نحوه به روزرسانی احتمال فرضیه ها را توصیف کند. قضیه بیز از بدیهیات احتمال شرطی پیروی می کند و همچنین می تواند استدلال خوبی در روبرویی با بسیاری از مشکلات باشد .
اثبات فرمول :
محاسبه احتمال کل : در واقع یک Marginal Probability داریم که از ترکیب 2 عدد Joint Probability که هر کدام یک حالت را توصیف می کنند ، بدست می آید .
مثال : فرض کنید 98% از تست های HIV درست است و از طرفی 2% از جوابهای آزمایش منفی ، نادرست است و همچنین 1% از جوابهای آزمایش مثبت نیز نادرست است . با علم به اینکه 0.5 درصد از مردم مبتلا هستند اگر جواب آزمایش یک فرد مثبت باشد احتمال مبتلا بودن ایشان چقدر است ؟
پاسخ :
