بینهایت می شود چندتا؟+ فیلم و عکس

وقتی کلاس چهارم بودم، معلمم یه روز بهمون گفت: «به اندازه‌ی تمام اعداد، عدد زوج هم هست». من گفتم «واقعاً؟». خب آره، در هر دو تاش بی‌نهایت عدد هست، پس فکر می‌کردم تعدادشون هم برابره. ولی اعداد زوج بخشی از اعداد صحیح هستند، اعداد فرد هم گذاشتیم کنار. پس باید اعداد صحیح بیشتر از اعداد زوج باشن، درسته؟ برای فهم اینکه منظور معلمم چی بود، بیایید اول بفهمیم هم‌اندازه بودنِ دو مجموعه یعنی چی؟ وقتی من می‌گم تعداد انگشتان دست چپم با انگشتان دست راستم برابرند یعنی چی؟ البته که من پنج انگشت در هر دستم دارم اما موضوع ساده‌تر از اینه. لازم نیست بشمارم، فقط کافیه ببینم که همپوشانی دارن. یک به یک.

در واقع، فکر می‌کنیم بعضی از مردم باستان که در زبان‌شون کلمه‌ای برای شماره‌های بزرگتر از سه نداشتن از این جادو استفاده می‌کردن. مثلاً، اگر گوسفندان‌تان را برای چرا از آغل‌شون بیرون می‌برید، می‌تونید با بیرون رفتن هر یک، سنگی کنار بذارید و تعدادشون رو نگه دارید. و وقتی برگشتن برای هرکدوم یک سنگ رو برگردونید سرجاش اینطوری می‌فهیمد چندتا گم شدن بدون اینکه واقعا شمارش کنید.

در واقع، فکر می‌کنیم بعضی از مردم باستان که در زبان‌شون کلمه‌ای برای شماره‌های بزرگتر از سه نداشتن از این جادو استفاده می‌کردن. مثلاً، اگر گوسفندان‌تان را برای چرا از آغل‌شون بیرون می‌برید، می‌تونید با بیرون رفتن هر یک، سنگی کنار بذارید و تعدادشون رو نگه دارید. و وقتی برگشتن برای هرکدوم یک سنگ رو برگردونید سرجاش اینطوری می‌فهیمد چندتا گم شدن بدون اینکه واقعا شمارش کنید.

بعنوان مثال دیگری از اولویتِ همپوشانی نسبت به شمارش کردن، اگر من در یک تالار سخنرانی صحبت کنم، جایی که تک تک صندلی‌ها پر باشد و هیچکس سرپا نباشد ، می‌دانم که به اندازه‌ی صندلی‌ها آدم در آنجا حضور دارد، گرچه تعداد دقیق هیچکدام را نمی‌دانم. پس، واقعا منظور واقعی‌مان وقتی می‌گوییم دو مجموعه هم‌اندازه هستند این است که عناصر آن دو مجموعه به نوعی می‌توانند یک به یک همپوشانی کنند.

معلم کلاس چهارمم به ما نشان داد اگر اعداد صحیح در یک ردیف باشند و زیر هر یک دوبرابرش را داشته باشیم. همانطور که می‌بینید، ردیف پایین شامل همه‌ی اعداد زوج است، و یک همپوشانی یک به یک داریم. بعبارت دیگر، به اندازه تمام اعداد، عدد زوج هم داریم. اما چیزی که هنوز اذیتمان می‌کند نگرانی ما از این واقعیت است که اعداد زوج ظاهراً تنها بخشی از اعداد صحیح هستند. اما آیا باور می‌کنید که تعداد انگشتان دست چپ و انگشتان دست راستم با هم برابر نیستند؟ البته که نه. مهم نیست که سعی کنید این عناصر به نوعی همپوشانی کنند و اینطور نشود،این در هیچ چیزی ما را قانع نمی‌کند. اگر بتوانید راهی پیدا کنید که عناصر دو مجموعه همپوشانی کنند، آنگاه می‌گوییم این دو مجموعه تعداد برابری از عناصر دارند. آیا می‌توانید اعداد کسری را فهرست کنید؟ کار سختی است، کسرهای بسیار زیادی وجود دارد! و معلوم نیست اول کدام را باید آورد، و چطور مطمئن شویم همگی در فهرست آمده‌اند. با این حال، راه زیرکانه‌ای هست که می‌توانیم اعداد کسری را فهرست کنیم. این کار نخستین بار توسط جورج کانتور، در اواخر قرن نوزده انجام شد. اول، همه‌ی کسرها را در یک زمین می‌چینیم. همگی اینجا هستند. برای مثال، می‌توانید ۱۱۷ تقسیم بر ۲۴۳ را در ردیف ۱۱۷ام و ستون ۲۲۳ام پیدا کنید. حالا اینها را فهرست می‌کنیم از بالا چپ شروع می‌کنیم و ادامه می‌دهیم و قطری جلو می‌رویم، از هر کسر مثل ۲/۲ چشم‌پوشی می‌کنیم، که بیانگر همان تعدادی است که تا بحال انتخاب کردیم. فهرستی از اعداد کسری حاصل می‌شود، یعنی یک همپوشانی یک به یک ایجاد کردیم بین اعداد صحیح و اعداد کسری، با وجود این واقعیت که فکر می‌کردیم شاید تعداد اعداد کسری بیشتر باشند. خیلی‌خوب، از اینجا به بعد خیلی جالب می‌شود. شاید بدانید که همه‌ی اعداد صحیح -- یعنی، همه‌ی اعداد روی یک محور -- کسری نیستند. برای مثال، ریشه‌ی دوم دو و عدد پی هر عددی مثل این اصم یا گنگ است. نه اینکه بی‌عقل یا دیوانه باشد، نه بلکه به این خاطر که کسرها نسبت اعداد صحیح هستند، و برای همین به آنها گویا می‌گوییم، یعنی باقی اعداد غیرگویا یا همان گنگ هستند. اعداد گنگ اعداد با اعشار بی‌نهایت و غیرتکرار شونده هستند. پس، آیا می‌توانیم یک همپوشانی یک به یک بین اعداد صحیح و مجموعه‌ی کامل اعداد اعشار بیابیم هم اعداد گویا و هم اعداد گنگ؟ بعبارت دیگر، آیا می‌توانیم اعداد اعشاری را فهرست کنیم؟ کانتور نشان داده که نمی‌توانیم. (جرج کانتور ریاضی‌دان آلمانی) نه اینکه راهش را ندانیم، بلکه کلاً نشدنی است. ببینید، تصور کنیم ادعا دارید که اعداد اعشاری را فهرست کرده‌اید. حالا من می‌خواهم نشان‌تان دهم که موفق نشدید، با تولید عددی که در فهرست شما وجود ندارد. من هربار عدد اعشاری‌ام را فوری می‌سازم. برای اولین رقم اعشار عددم، به اولین اعشار اولین عدد تو نگاه می‌کنم. اگر یک باشد، مال من می‌شود دو، وگرنه عدد یک را انتخاب می‌کنم. برای دومین رقم اعشارم، به دومین اعشار دومین عدد تو نگاه می‌کنم. دوباره، مال تو اگر یک باشد من عدد دو را انتخاب می‌کنم، وگرنه عدد یک را می‌نویسم. می‌بینید چطور می‌شود؟ عدد اعشاری که من تولید کردم نمی‌تواند در فهرست شما باشد. چرا؟ آیا می‌تواند مثلاً ۱۴۳مین عدد شما باشد؟ نه، چونکه ۱۴۳مین اعشار عدد من با ۱۴۳مین رقم ۱۴۳مین عدد شما فرق دارد. اینگونه آنرا ساخته‌ام. فهرست شما کامل نیست. چون عدد من را نیاورده‌اید. و مهم نیست چه فهرستی ارائه کنید، من باز هم این کار را می‌کنم. و عددی می‌سازم که در فهرست شما نیست. پس با این نتیجه‌ی شگفت‌انگیز مواجه می‌شویم: اعداد اعشاری را نمی‌توان فهرست کرد. این اعداد بیانگر بی‌نهایتی بزرگتر از بی‌نهایتِ اعداد صحیح هستند. خب، گرچه با تعداد کمی از اعداد گنگ آشنا هستیم مثل جذر دوم دو و عدد پی، بی‌نهایتِ اعداد گنگ خیلی بزرگتر از بی‌نهایتِ اعداد کسری/گویا است. یک نفر گفته است که اعداد گویا -- اعداد کسری -- مثل ستاره‌ها در آسمان شب هستند. و اعداد گنگ مثل سیاهی شب هستند. کانتور همچنین نشان داده که، برای هر مجموعه‌ی بی‌نهایت، تشکیل یک مجموعه‌ی جدید از زیر مجموعه‌های مجموعه‌ی اصلی بیانگر بی‌نهایتی بزرگتر از مجموعه‌ی اصلی آن است. این یعنی، وقتی یک بی‌نهایت داشته باشید، می‌توانید یک بی‌نهایت بزرگتر را بوسیله ساختن یک مجموعه از همه‌ی زیرمجموعه‌های مجموعه‌ی اول بسازید. و بعد بازم یکی بزرگتر از آن. با ساختن مجموعه‌ای از همه‌ی زیرمجموعه‌های این یکی و به همین ترتیب. در نتیجه، بی‌شمار بی‌نهایت در اندازه‌های گوناگون وجود دارد. اگر این اصول شما را ناراحت می‌کند فقط شما نیستید. بعضی از بزرگترین ریاضی‌دانان هم عصر کانتور از این موضوع خیلی ناراحت بودند. سعی کردند بگویند این بی‌نهایت‌های گوناگون بی‌ربط هستند. تا ریاضی را از آن خلاص کنند. حتی از شخص کانتور بدگویی می‌کردند، و این برای او آنقدر بد بود که به افسردگی شدید مبتلا شد،و نیمه‌ی آخر زندگی‌اش را در موسسات روانپزشکی گذراند. اما نهایتاً، ایده‌ی او برتر بود. امروز، ایده‌های او اصولی و ممتاز شمرده می‌شوند. همه‌ی ریاضی‌دانان نظری ایده‌های او را قبول دارند، دانشکده‌های ریاضی بزرگ آن‌ها را تدریس می‌کنند، و من تنها در چند دقیقه به شما توضیح دادم. شاید یک روز تبدیل به اطلاعات عمومی شوند. بقیه‌اش مانده. گفتیم که مجموعه‌ی اعداد اعشاری -- یا همان اعداد حقیقی -- بی‌نهایتِ بزرگتری است از مجموعه‌ی اعداد صحیح. کانتور خواست ببیند آیا بی‌نهایت‌هایی همبا اندازه‌های دیگر بین این دو بی‌نهایت هست. فکر نمی‌کرد باشد اما نتوانست اثبات کند. حدس کانتور به عنوان «فرضیه پیوستار» معروف شد. در سال ۱۹۰۰ ریاضی‌دان بزرگ دیوید هیلبرت فرضیه‌ی پیوستار را در فهرستی به عنوان مهم‌ترین مسأله‌ی حل نشده در ریاضیات ارائه کرد. در قرن بیستم راه حلی برای آن پیدا شد، اما به شکلی کاملاً غیرمنتظره، و مخالف باورهای قبلی. در دهه ۱۹۲۰، کورت گودل نشان داد هرگز نمی‌توان اثبات کرد که فرضیه پیوستار غلط است. بعدتر در دهه ۱۹۶۰، پال جی.کوهن نشان داد هرگز نمی‌توان اثبات کرد که فرضیه پیوستار درست است. این دو در کنار هم یعنی اینکه در ریاضیات مسائل بی‌پاسخی وجود دارد. یک نتیجه‌ی فوق‌العاده. ریاضیات به درستی اوج منطق انسان لقب گرفته. اما حالا می‌دانیم که حتی ریاضیات هم محدودیت‌هایی دارد. اما هنوز هم ریاضی مسائل واقعاً شگفت‌انگیزی برای فکر کردن دارد.