درود بر شما ! در این پست قصد داریم تا با هم خیلی ساده و کامل معادله دایره رو یاد بگیریم.
همونطور که می دونید دایره از مجموعه همه نقاطی که از یک نقطه واحد ( همون مرکز دایره ) به یک فاصله هستند تشکیل شده...
امّا این شکل باحال مثل خط و سهمی و... معادله داره !
یعنی ما می تونیم برای هر دایره یه معادله دایره بنویسیم و بالعکس.
خب بریم فرم کلی معادله دایره رو با هم ببینیم :
نگران نباشید ، الان با هم تک تک متغیر های این فرمول رو بررسی می کنیم.
نقطه آبی : این نقطه روی محور y ها قرار داره و همون بتا ماست.
نقطه سبز : این نقطه روی محور x ها قرار داره و همون آلفا ماست.
و نقطه قرمز هم که مرکز دایرست.
پس به طور کلی آلفا و بتا چیزی نیستن جز مختصات مرکز دایره ، یعنی : (α,β)C
حرف R که در سمت راست تساوی قرار داره همون شعاع دایره هست.
خب پس الان فهمیدم معادله دایره یه مختصات مرکز میخواد و یه شعاع. بیاید با یه مثال ادامه بدیم :
فرض کنید دایره ای دارم که شعاعش برابر ۳ هست و مرکزش هم در مختصات (1,1) . سعی کنید خودتون بدون دیدن جواب معادله این دایره رو بنویسید.
معادله به این صورت میشه :
(x-1)2 + (y-1)2 = 9
بر عکس همین کار رو میتونیم برای رسم دایره از روی معادله اجرا کنیم . مثال :
فرض کنید معادله زیر رو داریم :
طبق چیزی که یاد گرفتیم این معادله برای دایره ای به شعاع ۱ و مختصات مرکز (3,2) هست.
ولی جواب های معادله چطور؟ ما بلدیم که معادلات تک مجهولی رو حل کنیم ، اما آیا این معادله رو میشه انقدر ساده حل کرد؟
جواب خیر هست. درواقع حل کامل این معادله میتونه رسم دایره باشه. چرا که این معادله بی نهایت جواب داره! هر دایره از بی شمار نقطه تشکیل شده به طوری که مختصات همه این نقاط در معادله صدق میکنه. مثلا برای درک ساده تر یک دایره با مرکز روی مبدا مختصات (0,0) و شعاع ۱ درنظر بگیرید : ۴ نقطه با مختصات صحیح رو میشه پیدا کرد که جواب معادله باشن. ( البته برای تمرین بهتره که معادله رو بنویسید و بعد نقاط رو داخلش تست کنید)
معادله این دایره به این صورت میشه:
و مجموعه نقاطی که گفتیم عبارت است از :
A :{ (0,1) , (1,0) , (-1,0) , (0,-1) }
خواهید دید که این نقاط رو اگر جایگذاری کنید ، تساوی برقرار خواهد شد.
اما آیا تمام جواب های ما همین بود؟ قطعا اینطور نیست. ما فقط ۴ نقطه با مختصات صحیح رو پیدا کردیم . اگه به شکل دقت کنید روی محیط بین این نقاط بی شمار نقطه دیگه وجود داره که جواب معادله محسوب میشه ، چون روی محیط دایره هست !!!
بر اساس مواردی که تا اینجا یاد گرفتیم ، می تونیم به یه نتیجه کاربردی برسیم. فرض کنید نقطه A(a,b) رو داریم. آیا می تونیم تشخیص بدیم این نقطه داخل دایره هست یا روی دایره یا بیرون دایره؟
برای پاسخ به این سوال نیازه که ماهیت این معادله دایره رو بررسی کنیم. به احتمال زیاد یک فرمول رو دبیرستان ، درس هندسه رو یادتونه. فرمول فاصله بین دو نقطه در صفحه مختصات دو بعدی.
اونجا میگفتیم که اگر دو نقطه M(a,b) , N(c,d) رو داشته باشیم ، فاصله بینشون میشه :
خب جالب شد! یه لحظه معادله دایره رو با این فرمول مقایسه کنید. همون طور که می بینید تنها فرق جبری معادله دایره اینه که هر دو طرفش به توان ۲ رسیده. R ما همون d هست. و نقطه N هم که تبدیل به مرکز دایره شده. به عبارتی ما در معادله دایره به دنبال نقاط با فاصله یکسان از مرکز هستیم.
برگردیم به مسئله چند سطر قبل ...
میدونیم که اگر نقطه ای خارج دایره باشه ، لزوما فاصله اش از مرکز بیشتر از شعاع هست. درصورتی هم که داخل دایره باشه ، فاصله کمتری از شعاع داره .
خب پس وارد نامعادلات میشیم. نقطه A(a,b) رو که داریم ، به جای x,y قرار میدیم . اگر سمت چپ معادله کوچکتر از سمت راست شد ، پس نقطه داخل دایره هست.
و حالا اگه سمت چپ از راست بزرگتر باشه ، مسلما نقطه A خارج دایره خواهد بود.
تا این جای کار با فرم کلی معادله دایره آشنا شدیم. اما ممکنه بعضی جاها معادله دایره رو به شکل گسترده ببینیم یا کلا نیاز داشته باشیم تا به شکل گسترده بنویسیمش.
شکل گسترده معادله دایره
بدیهی هست که برای گسترده کردن معادله فرم اصلی باید توان ها رو اعمال کنیم:
آلفا و بتا و شعاع همگی عدد ثابت هستند .
حالا میایم و یکسری از نماد ها رو عوض میکنیم به این صورت :
این تغییر نماد ها فقط برای رسیدن به فرم عرف و ساده تر است.
پس از جایگذاری نماد های جدید به معادله زیر میرسیم:
این همان معادله مدنظر ماست. خب اگر این معادله را داشته باشیم و بخواهیم بر حسب آن مختصات مرکز یا شعاع را به دست آوریم ، می توانیم به جای تبدیل نماد و کلی دردسر ، از دو فرمول زیر کمک بگیریم (که البته همان کار را می کند ولی خب سریع تره).
موارد تکمیلی
تو بخش آخر قراره یکسری نکات یاد بگیریم که شاید در حل مسائل کمک کننده باشن.
اول اینکه کلا معادله دایره رو با C(x,y) نشون میدن.
دوم اینکه لزوما هر معادله ای به فرم معادله دایره گسترده لزوما یک دایره رو تشکل نمیده! مثلا اگه طبق فرمول بالا شعاع صفر باشه معادله مربوط به یک نقطه هست و اگه زیر رادیکال منفی بشه که کلا تعریف نشده...
همچنین با فرم گسترده هم میشه مکان نقطه دلخواه رو نسبت به دایره تشخیص داد. مثلا اگه جواب معادله صفر بشه نقطه روی دایره هست و اکه بزرگتر از صفر بشه نقطه خارج دایره هست.
امیدوارم که این پست براتون مفید بوده باشه ، حتما نظرتون یا سوالتون رو بنویسید.
