نویسنده: ایوب تیمورنژاد
ORCID: 0009-0006-5276-1153
سهتاییهای فیثاغورسی از ساختارهای بنیادی در نظریه اعداد و هندسه اقلیدسی هستند و در آموزش و توسعهٔ مفاهیم ریاضی اهمیت دارند. در این مقاله یک نمایش پارامتری ساده و متقارن برای تولید خانوادهای از سهتاییهای فیثاغورسی اولیه ارائه شده است که بر پایهٔ اعداد فرد متوالی بنا شده است. نشان داده میشود که برای هر دو عدد فرد متوالی و ، سهتایی یک سهتایی فیثاغورسی اولیه است. این نمایش حالت خاصی از فرمول کلاسیک اقلیدس است و میتواند به عنوان نمونهای آموزشی و پژوهشی مورد استفاده قرار گیرد.
قضیهٔ فیثاغورث از قدیمیترین و شناختهشدهترین نتایج ریاضی است و مطالعهٔ سهتاییهای عددی که این رابطه را برقرار میکنند، همواره مورد توجه بوده است. یک سهتایی فیثاغورسی از سه عدد صحیح مثبت تشکیل شده که رابطهٔ
a^2 + b^2 = c^2
فرمول کلاسیک اقلیدس چارچوبی جامع برای تولید سهتاییهای فیثاغورسی ارائه میدهد. با این حال، یافتن نمایشهای ساده بر پایهٔ الگوهای عددی مثل اعداد فرد متوالی میتواند از نظر آموزشی و مفهومی ارزشمند باشد. هدف این مقاله بررسی چنین نمایشی و تبیین دقیق خواص آن است.
برای هر دو عدد فرد متوالی و ، سهتایی زیر تعریف میشود:
a = pq, \quad b = p+q, \quad c = \frac{p^2 + q^2}{2}.
قضیه اصلی: این سهتایی همیشه یک سهتایی فیثاغورسی اولیه است، یعنی:
a^2 + b^2 = c^2 \quad \text{و} \quad \gcd(a,b,c) = 1.
\begin{aligned} a^2 + b^2 &= (pq)^2 + (p+q)^2 \\ &= p^2 q^2 + p^2 + 2pq + q^2 \\ &= p^2 q^2 + p^2 + q^2 + 2pq. \end{aligned}
همچنین:
c^2 = \left(\frac{p^2 + q^2}{2}\right)^2 = \frac{p^4 + 2p^2 q^2 + q^4}{4}.
با جایگذاری و انجام محاسبات جبری، داریم:
4(a^2 + b^2) = c^2
فرض کنید عدد اول هر سه عدد ، و را تقسیم کند. از آنجا که ، باید یا باشد.
اگر ، از نتیجه میشود ، که تناقض است.
مشابه برای .
بنابراین .
فرمول کلاسیک اقلیدس: برای اعداد صحیح :
a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2
فرمول اعداد فرد متوالی:
a = pq, \quad b = p+q, \quad c = \frac{p^2+q^2}{2}, \quad q = p+2
ویژگی فرمول کلاسیک اقلیدس فرمول اعداد فرد متوالی تعداد پارامتر ۲ (m,n) ۱ (p کافی است) تولید همهٔ سهتاییهای اولیه بله حالت خاص، ولی هر p فرد یک سهتایی اولیه تولید میکند نیاز به بررسی gcd بله معمولاً خودکار سادگی متوسط بسیار ساده و مستقیم تولید بینهایت سهتایی بله، با m و n مناسب بله، با افزایش p مناسب آموزش و الگوریتم متوسط عالی، مناسب مثال و برنامهنویسی
با تعریف :
p = n-1, \quad q = n+1, \quad a = n^2 - 1, \quad b = 2n, \quad c = n^2 + 1
این همان فرمول کلاسیک اقلیدس است، اما بازنمایی با اعداد فرد متوالی شهودیتر و قابل درکتر است.
هر جفت عدد فرد متوالی یک سهتایی فیثاغورسی اولیه تولید میکند.
مزایای فرمول نسبت به فرمول کلاسیک اقلیدس:
سادگی و شهودی بودن – تنها یک پارامتر کافی است.
تولید مستقیم بینهایت سهتایی بدون بررسی gcd.
مناسب برای آموزش، الگوریتم و مثالهای عملی.
این بازپارامتردهی ارتباط میان الگوهای عددی ساده و هندسه کلاسیک را نشان میدهد و ابزاری مفید برای آموزش و پژوهش فراهم میکند.
Euclid, Elements
Hardy, G. H., & Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press
Stillwell, J., Elements of Number Theory, Springer
ORCID: 0009-0006-5276-1153 — ایوب تیمورنژاد
ایوب تیمورنژاد پژوهشگر مستقل و متخصص در فیزیک نظری، ریاضیات و متافیزیک است. از سال ۲۰۰۵، او به عنوان پژوهشگر خودآموخته رویکردهای نوآورانهای در پیوند نظریه اعداد، هندسه و فیزیک توسعه داده است.
