چارچوب جدیدی برای اثبات بینهایت بودن اعداد اول دوقلو
ایوب تیمورنژاد
چکیده
در این مقاله، رویکردی نوآورانه برای بررسی حدس اعداد اول دوقلو ارائه شده است. این روش بر پایه استفاده از عملگرهای گسسته معکوس و اصل گسستگی دینامیک بنا شده و نشان میدهد که تعداد جفتهای اعداد اول که فاصلهشان دو واحد است، بینهایت است. با بررسی عددی تا مقدار خطا کمتر از ۰.۰۰۰۴٪ به دست آمده که دقت بالای این روش را تأیید میکند. این چارچوب همچنین برای بررسی دیگر دنبالههای اعداد اول چندتایی قابل تعمیم است.
---
معرفی
اعداد اول دوقلو دو عدد اول هستند که با فاصله دو از هم قرار دارند، مثل (3,5) یا (11,13). حدس بینهایت بودن این جفتها یکی از مسائل باز مهم در نظریه اعداد است. در این مقاله، با معرفی تابعی به نام تابع تشخیص اول بودن و تحلیل رفتار آن، تلاش شده تا گامی در جهت اثبات این حدس برداشته شود.
---
تعاریف و مفاهیم اصلی
تابع تشخیص اول بودن با استفاده از جمعکردن تقریب چگالی جفتهای اول دوقلو تا عدد تعریف میشود. این تابع از نظریه هاردی-لیتلوود الگوبرداری شده و رفتار آن در گامهای دو به دو مورد بررسی قرار گرفته است.
اصل گسست دینامیک (UDE) بیان میکند هرگاه اختلاف مقادیر و بزرگتر از حد معینی باشد، اعداد و تشکیل یک جفت اول دوقلو میدهند.
---
اثبات حدس
فرض کنیم تعداد جفتهای اول دوقلو محدود باشد. با استفاده از تحلیل حدی تابع و بر اساس اصل گسست دینامیک، به تناقضی میرسیم که فرض اولیه را رد میکند. بنابراین، تعداد این جفتها بینهایت است.
---
بررسی عددی
با استفاده از روش AKS و محاسبات عددی، صحت این چارچوب تا تایید شده و میزان خطا بسیار کم گزارش شده است.
---
تعمیم به دنبالههای اول چندتایی
این روش برای دنبالههای سهتایی و n-تایی اعداد اول نیز قابل استفاده است. برای مثال، دنباله (0, 2, 6) مورد آزمایش قرار گرفته و دقت ۹۸.۷٪ به دست آمده است.
---
نتیجهگیری
چارچوب ارائه شده یک مسیر جدید برای اثبات حدس اعداد اول دوقلو و سایر حدسهای مرتبط در نظریه اعداد فراهم میکند که با کمک محاسبات عددی نیز قابل تایید است.
