گذر زمان در میدان‌های گرانشی

فاینمن گفته است که حساب (حساب دیفرانسیل و انتگرال) زبانی است که خدا با آن صحبت می‌کند. استیون استروگاتس در کتاب آخرش نوشته است که «به دلایلی که هیچ کس نمی‌داند جهان عمیقاً از جنس ریاضیات است، شاید خدا اینگونه تعیین کرده است و شاید این تنها راه وجود داشتن جهانی است که شامل ما باشد. زیرا جهان غیرریاضیاتی نمی‌تواند نتیجه‌دهنده زندگی باشد که در آن سوال پرسیده می‌شود». به هر گوشه‌ای از طبیعت که نگاه کنیم ردپایی از ریاضیات و مخصوصاً حساب را می‌توانیم ببینیم. گویی راز جهان از جنس ریاضیات است.




دو نمونه آزمایشی S1 و S2 را در نظر می‌گیریم که در درون یک میدان گرانشی قرار گرفته‌اند (این میدان می‌تواند همان میدان گرانشی زمین باشد). حال برای اینکه بتوانیم زمان را اندازه بگیریم فرض می‌کنیم که این دو نمونه مشابه با ساعت هستند. این ساعت‌های فرضی عیناً یکی هستند و دقیقاً هماهنگ کار می‌کنند. در اینجا انرژی پتانسیل میدان گرانشی را با نماد E نشان می‌دهیم. از این رو انرژی پتانسیل این ساعت‌ها E1 و E2 خواهد بود. حال اگر یکی از این ساعت‌ها را اندکی به سمت بالا منتقل کنیم خواهیم داشت: E2 > E1. یعنی انرژی پتانسیل نمونه دوم بزرگتر از انرژی پتانسیل نمونه اول است. اکنون این سوال را مطرح می‌کنیم که آیا این دو ساعت باز هم به صورت هماهنگ و همزمان کار می‌کنند یا خیر؟ جواب این پرسش منفی است. این دو ساعت در یک میدان گرانشی تنها زمانی به صورت هماهنگ کار خواهند کرد که هر دوی آن‌ها در یک مکان قرار گرفته باشند. اما این پاسخ از کجا ناشی می‌شود؟

رابطه زیر را فعلاً بدون اثبات در نظر بگیرید:

این رابطه بیانگر تغییر نسبیتی فرکانس فوتون در یک میدان با انرژی پتانسیل E است که از قانون پایستگی انرژی ناشی شده است. این رابطه را می‌خواهیم روی مثال خودمان اعمال کنیم و درک کنیم که چرا باید هر دو ساعت به منظور اینکه به صورت هماهنگ و همزمان کار کنند باید در یک نقطه قرار گرفته باشند. در یک مکان قرار گرفتن به معنی این است که انرژی پتانسیل یکسان باشد، یعنی داشته باشیم: E(r) = E(r'). از این رو طرف دوم معادله صفر می‌شود و در نتیجه داریم: w' = w (امگای موجود در رابطه بالا). در مثال خودمان تعداد نوسان‌ها را با n نشان می‌دهیم و با اندکی تغییر در رابطه بالا رابطه زیر را در نظر می‌گیریم:

که در آن 'n تعداد نوسان‌هایی است که S2 از S1 دریافت می‌کند. اگر تعداد نوسان‌هایی را که نمونه S1 از S2 دریافت می‌کند با ''n نشان دهیم، طبق اثر دوپلر خواهیم داشت:

به صورت کلی از هر روی این روابط این نتیجه ناشی می‌شود که زمان برای نمونه S2 نسبت به نمونه S1 سریعتر سپری می‌شود.

به منظور درک بهتر این موضوع مثال جذاب زیر را در نظر بگیرید:

برادران دوقلو:

دو برادر دوقلو داریم که در یک ساختمان بلند زندگی می‌کنند. فرض می‌کنیم که این دو برادر همه نشانه‌های گذر عمر از قبیل بلوغ و سفید شدن موها را به صورت همزمان تجربه می‌کنند و نیز فرض می‌کنیم که تپش قلب آن‌ها نیز هماهنگ است. یعنی در یک زمان معین هر دو یک تپش را انجام می‌دهند. یکی از برادرها را به طبقات بالاتر ساختمان منتقل می‌کنیم و برادر دیگر در همان طبقه پایین باقی می‌ماند. اختلاف پتانسیل گرانشی در اینجا به صورت زیر خواهد بود:

اگر تعداد تپش‌هایی که برادر دوم در ارتفاع بالاتر انجام می‌دهد برابر با n باشد، تعداد تپش‌هایی که قلب برادر اول در ارتفاع پایین‌تر انجام می‌دهد برابر خواهد بود با:

که کمتر از تعداد تپش برادر بالایی است. در نتیجه بردار پایینی دیرتر پیر می‌شود.

البته باید در نظر بگیریم که این اختلاف زمانی در میدان گرانشی زمین بسیار ناچیز است و عملاً هیچ تفاوتی بین گذر زمان در این میدان وجود ندارد. برای اینکه بدانیم این اختلاف زمان تا چه حد ناچیز در نظر داشته باشید که اگر این برادرها 1000 سال عمر کنند، اختلاف زمان آن‌ها یک ثانیه خواهد بود.