کرونا (بیماری Covid-19) موضوعی است که طی ماه‌های اخیر ذهن همه از بزرگ تا کوچک از کارمند تا کاسب را به خود مشغول کرده است و همه دنبال پاسخ یک سوال هستند: کرونا تا کجا و با چه سرعتی شیوع پیدا خواهد کرد؟ بدیهی است اکثر مردم بینشی نسبت به نحوه شیوع این بیماری ندارند. علت این موضوع از آنجا نشأت می‌گیرد که مغز ما تمایل دارد روند کرونا را مثل اکثر موضوعات دیگر با رشد خطی قیاس کند اما در کرونا مثل هر بیماری‌های مسری دیگر، رشد نمایی (Exponentially) دارد.
به عنوان مثال در تاریخ ۳ اسفند تعداد مبتلایان به کرونا در ایران ۲۸ نفر بود. عددی بسیار ناچیز و کوچک که بظاهر جای نگرانی نداشت. در روز ۵ اسفند این تعداد به ۶۱ نفر رسید. یعنی تقریباً هر دو روز تعداد مبتلایان دو برابر (بطور دقیق ۲٫۱۷ برابر) میشود. در این صورت انتظار می‌رفت تعداد مبتلایان در روز ۷ اسفند حدوداً ۱۲۰ نفر و در روز ۹ اسفند حدود ۲۴۰ نفر باشد. انتظاری که بخاطر تمایل مغز برای مقیاس آن با رشد خطی در عمل غلط از آب در آمد!! طبق آمار تعداد مبتلایان در روز ۹ اسنفد ۳۸۸ نفر بود. عددی که از انتظار ما برای رشد خطی بسیار بزرگ‌تر بود. همانطور که در ادامه خواهیم دید، شیوع یک بیماری رفتاری شبیه به رشد نمایی به همراه دارد.
در رشد نمایی مبتلایان جدید هر روز به مقدار ثابتی افزایش (اگر نمودار تعداد کل مبتلایان بر حسب زمان رسم کنیم، خواهیم دید که منحنی به سرعت شکل قائم به خود می‌گیرد) و طی چند روز به اعداد بسیار بزرگی خواهید رسید. در‌واقع موضوعی که باید به آن توجه شود "درصد رشد" است. در مورد ایران در روز ۳ اسفند تعداد مبتلایان ۲۸ نفر و در روز ۵ اسنفد ۶۱ نفر بود، یعنی طی دو روز رشد ۱۱۷٪ داشته است.
اگر چه منظور از بیان اعداد این موضوع نیست که کرونا چنین نرخ شیوعی دارد، چه بسا افراد بسیاری بودند که یا تست نداند و یا بدون آنکه خود متوجه باشند دارای بیماری (بدون علايم) بودند. اما برای درک بهتر از فرآیند شیوع ویروس ها می‌توان موضوع را همینقدر ساده در نظر گرفت.
برای درک بهتر از رشد نمایی این مثال را در نظر بگیرد که بچه‌ای برای اینکه زودتر ثروتمند شود با والدین خود معامله‌ای عجیب می‌کند. او از والدین خود می‌خواهد تنها برای دو ماه طبق رابطه ذیل به او پول توجیبی بدهند:
روز اول: ۱۰ تومن
روز دوم: ۲۰ تومن
روز سوم: ۴۰ تومن
و همین طور
والدین این بچه نیز با تصور اینکه درخواست فرزند آنها برای افزایش پول توجیبی برای دو ماه ناچیز است، با درخواست وی موافقت می‌کنند.غافل از اینکه اما اگر همین روش را پی بگیرد در آخر ماه او باید به فرزندشان رقمی در حدود ۱۰۰۰ میلیارد تومن بدهند!!
تا اینجا فهمیدیم که شیوع بیماری ها، رفتار خطی ندارد و بصورت نمایی رشد پیدا می‌کند. اما چرا؟ چرا بیماری‌ها رشد نمایی دارند؟ نقل قولی معروف از انیشتن وجود دارد که:
اگر نتوانید موضوعی را به سادگی توضیح دهید، آن موضوع را خوب نفهمیده‌اید
در ادامه برای درک بهتر موضوع شیوع بیماری‌ها، مدلی ساده برای آنها در نظر می‌گیریم
برای شروع تصور کنید که در یک جمعیت، تعداد مشخصی از افراد (N) ناقل بیماری هستند. برای هر فرد مبتلا، احتمال مشخصی وجود دارد که بیماری را به فرد دیگری منتقل کنند. این احتمال برای هر فرد متفاوت است اما در مجموع فرض کنیم که که تعداد افراد مبتلا شده روزانه ۲۰ ٪ افزایش پیدا می‌کند. یعنی نرخ ابتلای روزانه ۰٫۲ است. یعنی هر فرد مبتلا ۰٫۲ نفر دیگر را بیمار خواهد کرد.خوب این به چه معنی است؟
بعبارت دیگر وقتی که تعداد مبتلایان (یعنی N) افزایش می‌یابد، تعداد مبتلایان جدید روزانه (یعنی ?N) نیز بطور ثابت افزایش می‌باید. بنابراین وقتی N برابر با ۱۰۰۰ است، روز بعدی حدود ۲۰۰ مورد جدید وجود دارد و وقتی N برابر با ۱۰۰۰۰ است، روز بعد ۲۰۰۰ مبتلای جدید وجود خواهد داشت.
به طور کلی ما می‌توانیم این موضوع را بصورت معادله ذیل بنویسم که در آن a نرخ شیوع و ?t، تغییرات زمان (بر حسب روز) است:
میتوانید تغییرات شیوع را (?N/?t) مثل یک کمیتی از جنس سرعت در نظر بگیرید (چرا که نرخ تغییرات مبتلایان بر اساس زمان را نشان می‌دهد). اما کمی عجیب نیز است. چرا که مثل خودرویی است که سرعتش بستگی به این دارد که موقعیتش کجا باشد، بعبارت دیگر هر چه این خودرو دورتر می‌رود، سرعتش نیز بیشتر میشود. بطور مشابه در این فرمول نیز، مسافت طی شده معادل تعداد افرادی است که مبتلا شدند، هر چه افراد بیشتری مبتلاء شوند، سرعت شیوع بیشتر میشود.
ما می‌توانیم با استفاده از حل تحلیلی (بواسطه معادلات دیفرانسیل) فرمولی برای N بر حسب زمان t بدست آوریم. اما خوب است را اول آن را بصورت عددی حل کنیم. به همین منظور در ابتدا مسأله را به قسمت‌های کوچکتر تبدیل، در هر قسمت تعداد افراد مبتلا را محاسبه و سپس بواسطه آن تعداد افراد مبتلا را برای روز بعد محاسبه می‌کنیم. به همین منظور معادله قبل را برای مبتلایان دو روز متوالی می‌نوسیم
در رابطه فوق N_i تعداد مبتلایان در روز iام و Nᵢ₊₁ تعداد مبتلایان در روز بعدی‌اش است. حالا که موضوع مشخص شد، بقیه آن سر راست است. حالا این رابطه را برای شهری ۱۰۰۰۰ نفری در نظر بگیرید که در روز شروع یا روز صفر، تنها یک مبتلا دارد یعنی N_0=1
همانطور که میبنید در طول ۳۰ روز اول خطر برای مردم ناچیز پنداشته میشود و کسی هم به هشدارهای وزرات بهداشت برای در خانه ماندن را توجه نمی‌کند. اما بعد بطور ناگهانی، بدون هیچ تغییر در نرخ شیوع، تعداد مبتلایان بطور افسار گسیخته‌ای افزایش می‌باید. این همان رشد نمایی است: وضعیت در ابتدا خوب است و بعد بطور ناگهانی شرایط عوض میشود و آن زمان دیگر بسیار دیر است
همانطور که واضح است رفتار فوق یک تابع نمایی است. شکل کلی یک تابع نمایی بصورت ذیل است:
این معادله بیان می‌کند که تعداد افراد مبتلاء (N) برابر است با تعداد مبتلایان اولیه (N_0) که در عدد e (عدد طبیعی) که بتوان a و t رسیده، ضرب شده است. به همین دلیل است که به آن تابع نمایی گفته میشود، چون متغییر اصلی یعنی زمان در نما (توان) قرار می‌گیرد.
در مدل ساده ما، اوضاع با گذر زمان بد و بدتر میشود که نتیجه دو فرض ضمنی است:
اول: ضریب شیوع ثابت می‌ماند
دوم: هیچ کسی بهبود پیدا نمی‌کند و از حالت واگیری دار خارج نمی‌شود
خوشبختانه در عمل هیچ کدام از این دو شرط صادق نیستند چرا که در این صورت تمام مردم جهان به سرعت بیمار می‌شدند. با این حال این مدل، برای فازهای اولیه شیوع یک بیماری نسبتاً دقیق است. اما نکته‌ای مهم در اینجا وجود دارد. اگر شما به هر طریقی بتوانید نرخ ابتلاء را کمی کاهش دهید شدت شیوع به کلی متفاوت خواهد شد. مثلاً اگر نرخ ابتلا بجای ۰٫۲۰ مقدار ۰٫۱۹ باشد چطور؟ در ادامه این دو حالت را برای بازه ۴۵ روز مقایسه خواهیم نمود
همانطور که در شکل فوق مشخص است اگر نرخ رشد تنها ۰٫۰۱ تغییر کند (از ۰٫۲ به ۱٫۱۹ برسد) در روز ۴۵ام در تعداد مبتلایان حدود ۲۶۴۵ نفر اختلاف وجود خواهد داشت. این موضوع نشان می‌دهد در رشدهای نمایی، مثل شیوع بیماری‌ها، یک کاهش کوچک نیز بشدت تأثیر گذار است. نکته اخلاقی این پدیده اینجاست که تلاش‌های فردی بسیار تاثیرگذار است، به‌خصوص در فازهای اولیه. بعبارت دیگر تلاشی که بنظر مهم نیست، در عمل بسیار مهم و تاثیرگذار است و شما، بله خود شما میتوانید یک ابر قهرمان باشد و جان افراد بسیاری را نجات دهید. چطور؟ با شستن دستان‌ها، رعایت فاصله اجتماعی ایمن و عدم تردد بی مورد.
