روش ها و متد Time stepping با عناوین Generalized Alpha, BDF و Runge-Kutta در نرم افزار کامسول چه کاربردی دارند؟ چه روشهای عددی در هنگام استفاده از یک حل کننده Time-Dependent وجود دارد؟ مزایای نسبی آنها چیست و چه زمانی باید از آنها استفاده کنم؟
حل کنندە Time-Dependent سە روش گام به گام با زمانهای مختلف را ارائه می دهد: روش های ضمنی BDF و Generalized Alpha و روش های صریح خانواده Runge-Kutta .
حل کننده (Backward Differentiation Formula (BDF یک حل کننده ضمنی است که از فرمول های مشتق معکوس به ترتیب بر اساس میزان مختلف دقت در پنچ مرتبه، از مرتبه یک ( به عنوان روش Backward Euler شناخته شده است) تا مرتبه پنج مورد استفاده قرار میگیرد. روش های BDF مدت طولانی است که مورد استفاده قرار می گیرند و به دلیل پایداریشان شناخته شده هستند. با این حال ، روش های BDF در کامسول می توانند اثرات دمپینگ شدیدی داشته باشند، به ویژه روش هایی که مرتبه پایین تری دارند. Backward Euler به شدت هرگونه فرکانس بالا را دارای استهلاک می کند. حتی اگر منتظر یک پاسخ با شیب و تغییرات شدید باشید، ممکن است در تحلیل زمانی به دلیل دمپینگ روشBackward Euler، یک پاسخ بسیار صاف و هموار دریافت کنید. اجرای حالت BDF در COMSOL دارای مرتبه های متفاوتی است. یعنی در صورت امکان از مرتبه های بالا استفاده می شود و در صورت لزوم به منظور دستیابی به ثبات، از مرتبه کمتر به صورت خودکار استفاده می شود. روش BDF همچنین یک سیستم حل معادلات دیفرانسیلی-جبری (Differential-Algebraic Equations) است.
روش Generalized Alpha که یکی دیگر از متد time stepping در کامسول است، دارای خواصی مانند BDF مرتبه دوم است، اما فناوری پایه متفاوتی دارد. به طوری کە حالت Generalized Alpha حاوی پارامتری، به نام Alpha در ادبیات، برای کنترل میزان دمپینگ فرکانس های بالا است. در مقایسه با حالت BDF (با حداکثر مرتبه دو)، روش Generalized Alpha از دمپینگ بسیار کمتری برخوردار است و از این رو دقیق تر است. به همین دلیل، پایداری کمتری نیز دارد. اجرای گزینه Generalized Alpha در COMSOL تشخیص می دهد که کدام متغیرها به ترتیب مرتبه اول در زمان هستند و کدام متغیرها مرتبه دوم در زمان هستند و فرمول های صحیح را در مورد متغیرها اعمال می کنند. روش Generalized Alpha به طور رسمی یک حل کننده معادلات دیفرانسیلی-جبری یا DAE نیست حتی اگر به طور مکرر از آن برای حل DAE استفاده شود.روش Generalized Alpha برای اولین بار در سال 1993 برای سیستم های مرتبه دوم مکانیک جامدات، یا سیستم هایی با مشتقات مرتبه دوم در زمان ارائه شده است (Ref 1). حوزه مکانیک سازه جایی است که این روش بیشترین کاربرد را داشته است. در سال 2000، فرمولاسیون برای سیستم های مرتبه اول (معادلات Navier-Stokes) پیشنهاد شد.
