فرض پیوستار (یا گسستار) کانتور (۰۱۱-۰۰۳)

بر روی یک خط یک سانتی متری، چند نقطه وجود دارد؟! بر روی یک خط یک متری، چطور؟! احتمالا جواب عمده ی مخاطبین به این دو پرسش، یکی است. بینهایت! این تاحدودی عجیب بنظر می رسد که صرف نظر از طول خط، همواره جواب یکی است. حتی اگر طول یک خط یک نانومتر باشد، باز جواب بینهایت خواهد بود و این نشان می دهد که یک جای کار اشکال دارد.

خط ها می توانند در جهان های مختلف وجود داشته باشند، مثلا جهان عینی (فیزیکی) و جهان ذهنی (غیرفیزیکی). احتمالا تکلیف خط های این دو جهان با هم فرق می کند و این یعنی اینکه خط های جهان فیزیکی نمی توانند مشتمل بر بینهایت نقطه باشند، اما خط های جهان غیرفیزیکی نقطه هایشان همچون مثال های فوق بینهایت است.

عقل سلیم حکم می کند که فکر کنیم اگرچه تعداد نقاط موجود بر روی یک خط یک سانتی و یک خط یک متری هر دو بینهایت است اما بنظر می آید که بینهایت نقطه ی خط یک متری از بینهایت نقطه ی خط یک سانتی بزرگتر باشد و این یعنی اینکه بینهایت برخلاف آنچه که در ظاهر بنظر می رسد یک مفهوم کیفی غیرقابل شمارش نیست، بلکه یک مفهوم کمی شمردنی است و دوباره این یعنی اینکه برخی بینهایت ها از برخی دیگر بزرگترند و بالعکس.

کانتور در اواخر قرن نوزدهم، حسابی برای محاسبه ی بینهایت ها به دست آورد و بتوسط نظریه ی مجموعه ها آن ها را توضیح داد: حساب بینهایت ها از خلال اعداد Transfinite (ترا-نهایت)، اعدادی که اولینشان (الف-صفر) از هر بینهایت دیگری بزرگتر است! اما این حساب ایراداتی دارد. مثلا بر این باور است که بین دو بینهایت صفر و یک، هیچ بینهایت دیگری نیست، و این مسئله به فرض پیوستار کانتور معروف است. یعنی اگرچه بینهایت اول (مثلا اعداد طبیعی) از بینهایت دوم (مجموعه ی اعداد رئال / حقیقی) کوچکتر است، اما دیگر بینهایتی در بین آن ها موجود نیست.

به زبان دیگر (به زبان هندسی و بدوی) خط ها یا یک سانتی هستند و یا یک متری و دیگر اندازه ای بین آن ها قابل تصور نیست و این باز به کت آدمی فرو نمی رود. فرض پیوستار کانتور، یکی از مهمترین (اگر نخواهیم بگوییم که مهمترین) پرسش پیش رو بشر است و این فرض به زبان ساده یعنی: بر روی یک خط واقعا چند نقطه وجود دارد؟ (و حتی ساده تر اینکه) جهان شمردنی است یا اندازه گرفتنی؟! آیا جهان گسستاری است (رویکرد ذره ای / تعداد محدودی نقطه)؟! و یا اینکه پیوستاری است (رویکرد غیرذره ای / تعداد نامحدودی نقطه)؟!

من با فرض پیوستار کانتور موافقم، البته در عالم عینی. من بر این باورم که تعداد نقاط موجود بر روی خط های فیزیکی، تعداد نقاط محدودی است، اگرچه در عالم غیرفیزیکی لزومی ندارد که با این فرض موافق بود. تکلیف جهان در عالم جسم با تکلیف آن در عالم ذهن متفاوت است. شاید جهان ذهن کانتوری نباشد اما جهان جسم کانتوری است.

بنظرم همانطور که فیزیک نسبیت می کوشید که علم فیزیک را به هندسه ی تجربی فروبکاهد، فیزیک کوانتومی نیز می بایست کوشیده تا علم فیزیک را به یک نظریه ی مجموعه های گسستاری و واحد-واحدی (نظریه ی مجموعه های تجربی) تقلیل دهد. حتی اگر نخواهیم به ذرات نیز باور داشته باشیم، در نظریه ی رشته ها با رشته هایی با طول معین سر و کار داریم و این یعنی دوباره تعداد محدودی نقطه.

اگرچه اسم فرض پیوستار کانتور غلط انداز است، اما این فرض حقیقتا فرض کردن دنیا بشکلی گسستاری است و من با این مسئله موافقم.

دی داد

Daydaad

www.daydaad.com