تبدیل فوریه و سیگنال های غیرایستا

آیا تبدیل فوریه برای آنالیز سیگنال­‌های غیرایستا ابزاری مناسب است؟ برای پاسخ به این پرسش، ابتدا باید به تعریف خودِ تبدیل فوریه بپردازیم.

ژوزف فوریه، ریاضی‌دان فرانسوی سده نوزدهم، اثبات کرد که می‌توان هر تابع تناوبی را به‌صورت مجموعی بی‌نهایت از توابع نمایی مختلط بازنویسی کرد. این ایده درخشان، که بعدها به سیگنال­‌های‌ متناوب و نامتناوبِ ناپیوسته نیز تعمیم پیدا کرد، سرآغاز شکل‌گیری "تبدیل فوریه" بود. در واقع، تبدیل فوریه نسخه‌ای کلی‌تر و انتگرالی‌تر از همان سری فوریه است که ژوزف فوریه نخستین بار مطرح کرد.

تبدیل فوریه ابزاری است که یک سیگنال را به مجموعه‌ای از توابع نمایی مختلط با فرکانس­‌های متفاوت تجزیه می‌کند و به بیان ساده، آن را از حوزۀ زمان به حوزۀ فرکانس می‌برد. در مقابل، "عکس تبدیل فوریه" امکان بازگرداندن سیگنالِ تبدیل‌یافته را از حوزۀ فرکانس به حوزۀ زمان فراهم می‌کند.

بیایید رابطۀ تبدیل فوریه را با دقت بیشتری بررسی کنیم. سیگنال مورد نظر، که در واقع یک بردار در حوزۀ زمان است، ابتدا در یک تابع نمایی مختلط با فرکانس مشخص f ضرب می‌­شود و سپس انتگرال حاصل‌­ضرب­ روی کل محور زمان­ محاسبه می‌شود؛ زیرا انتگرال نسبت به متغیر زمان گرفته شده‌­است. این عبارت نمایی را می­‌توان با استفاده از فرمول اویلر به فُرم توابع مثلثاتی نوشت، به‌طوری‌که شامل یک بخش حقیقی، کسینوس فرکانس f، و یک بخش موهومی، سینوس فرکانس f، باشد.

در واقع، در تبدیل فوریه سیگنال اصلی در عبارتی مختلط ضرب می­ شود که شامل سینوس‌­ها و کسینوس‌­های فرکانس f است و سپس این حاصل‌­ضرب­‌ها با هم جمع می­‌شوند. اگر قدرمطلق حاصل‌جمع این ضرب‌­ها عددی بزرگ باشد، نشان می‌دهد که سیگنال اولیه در فرکانس f دارای یک جزء طیفی غالب است، یعنی این فرکانس بخش عمدۀ این سیگنال را تشکیل می­‌دهد. اما اگر حاصل­‌جمع صفر باشد، بدین معناست که این سیگنال نسبت به آن نمایی عمود است و مؤلفه‌ای ماندگار با فرکانس f در ترکیب کلی‌ آن وجود ندارد. به‌این‌ترتیب، تبدیل فوریه از وجود یا عدم وجودی یک جزء فرکانسی خاص در کل محور زمان سخن می­ گوید.

اما چرا تبدیل فوریه برای آنالیز سیگنال­‌های غیرایستا مناسب نیست؟

دلیل اصلی این است که اطلاعات ارائه‌­شده توسط انتگرال تبدیل فوریه مربوط به کل محور زمان، از منفی بی­‌نهایت تا مثبت بی­‌نهایت، است. به عبارت دیگر، مکان زمانی وقوع فرکانس f تاثیری در مقدار نهایی حاصل­‌جمع ندارد. بنابراین، تبدیل فوریه نمی‌تواند تغییرات زمانی محتوای فرکانسی سیگنال‌های غیرایستا را نشان دهد. زیرا صرف وجود یا عدم وجود یک جزء فرکانسی خاص در کل بازۀ زمانی، مشخصه‌ای متمایزکننده برای یک سیگنال غیرایستا­ محسوب نمی‌‌شود. برای روشن‌تر شدن موضوع، به مثال زیر توجه کنید:

فرض کنید یک سیگنال ایستا داریم که از چهار جزء فرکانسی f1، f2، f3 و f4 تشکیل شده‌است و این اجزای فرکانسی در تمامی زمان­‌ها اتفاق افتاده‌اند. محور فرکانس حاصل از تبدیل فوریۀ این سیگنال چهار قله در این چهار جزء فرکانسی خواهد داشت. از آن­‌جایی‌که هر چهار فرکانس در طول کل بازۀ زمانی حضور دارند، پس فرکانس سیگنال متغیر با زمان نیست و سیگنال ایستا محسوب می‌شود.

حال یک سیگنال غیرایستا با همان چهار جزء فرکانسی را در نظر بگیرید. از آن­‌جایی‌که این سیگنال غیرایستاست، ترکیب فرکانسی آن در هر بازۀ زمانی متفاوت خواهد بود؛ به عبارت دیگر، محتوای فرکانسی سیگنال در طول زمان تغییر می‌کند. جالب این­جاست که محور فرکانس حاصل از تبدیل فوریۀ سیگنال دوم نیز چهار قله را نشان می‌دهد، زیرا FT اطلاعاتی دربارۀ زمان وقوع فرکانس‌ها ارائه نمی‌دهد.

به‌همین‌دلیل، تبدیل فوریه نمی­‌تواند دو سیگنال فوق را، علی­‌رغم ماهیت متفاوت‌شان، از نظر طیف فرکانسی از یکدیگر متمایز، زیرا اجزای فرکانسی هر دو سیگنال یکسان است. تبدیل فوریه تنها در صورتی می‌تواند مفید واقع شود که زمان رخ­داد یک جزء فرکانسی اهمیتی نداشته‌باشد؛ که البته در سیگنال­‌های غیرایستا چنین نیست.