آیا تبدیل فوریه ابزاری مناسب برای آنالیز سیگنال های غیرایستاست؟
برای پاسخ به این سوال باید ابتدا به تعریف تبدیل فوریه بپردازیم.
در قرن 19، یک ریاضی دان فرانسوی به نام ژوزف فوریه اثبات کرد که هر تابع تناوبی را می توان به صورت مجموع توابع نمایی مختلط نشان داد. این ایده که بعدها به سیگنال های متناوب و نامتناوب ناپیوسته نیز تعمیم پیدا کرد، تبدیل فوریه یا به اختصار FT نام گرفت. تبدیل فوریه هر سیگنال را به یک سری توابع نمایی مختلط با فرکانس های متفاوت تجزیه می کند و اصطلاحاً آن را از حوزه ی زمان به حوزه ی فرکانس می برد. عکس این اتفاق یعنی انتقال سیگنال تبدیل یافته از حوزه ی فرکانس به حوزه ی زمان نیز توسط عکس تبدیل فوریه صورت می گیرد.
بیایید رابطه ی تبدیل فوریه را با دقت بیشتری بررسی کنیم. سیگنال مورد نظر که در واقع برداری در حوزه ی زمان است، در یک عبارت نمایی با فرکانسی مشخص مثل f ضرب می شود و سپس مجموع جملات حاصلضرب برای تمام زمان ها مورد محاسبه قرار می گیرد؛ زیرا انتگرال نسبت به متغیر زمان گرفته شده است. این عبارت نمایی را می توان با توجه به فرمول اویلر به فُرم توابع مثلثاتی نوشت، به طوری که دارای یک قسمت حقیقی از کسینوس فرکانس f و یک قسمت موهومی از سینوس فرکانس f باشد. پس در تبدیل فوریه، سیگنال اصلی در عبارتی مختلط ضرب می شود که شامل سینوس ها و کسینوس های فرکانس f است. سپس این حاصلضرب ها با هم جمع می شوند. اگر حاصل جمع این حاصل ضربها عدد بزرگی باشد، می توان چنین نتیجه گرفت که سیگنال اولیه در فرکانس f جزء طیفی غالبی دارد. یعنی فرکانس f قسمت عمده ی این سیگنال را تشکیل می دهد. اما اگر حاصل جمع صفر باشد، بدین معناست که این سیگنال اصلاً دارای فرکانس f نیست. بنابراین، تبدیل فوریه از وجود یا عدم وجودی یک جزء فرکانسی خاص سخن می گوید.
اما چرا تبدیل فوریه برای آنالیز سیگنال های غیرایستا مناسب نیست؟
از آن جایی که اطلاعات ارائه شده در انتگرال یا همان حاصل جمع رابطه ی تبدیل فوریه ، مربوط به زمان های منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت است؛ زمان یا اصطلاحاً مکان وقوع فرکانس f تاثیری در نتیجه ی حاصلجمع ندارد. بنابراین، تبدیل فوریه در مواجهه با سیگنال های غیرایستا که در آنها مشخصات سیگنال در طول زمان یا مکان تغییر می کند، عملکرد ضعیفی دارد. چرا که صرف وجود یا عدم وجود یک جزء فرکانسی خاص در یک سیگنال غیرایستا مشخصه ی متمایزکننده ای نیست. برای توضیح بیشتر این موضوع، به مثال زیر توجه کنید.
فرض کنید یک سیگنال ایستا با چهار جزء فرکانسی f1، f2، f3 و f4 داریم که در تمامی زمانها اتفاق افتاده اند. محور فرکانس تبدیل فوریه ی این سیگنال دارای چهار قله در چهار جزء فرکانسی فوق الذکر خواهد بود. دقت شود که از آن جایی که هر چهار فرکانس در یک زمان اتفاق افتاده اند، پس فرکانس سیگنال متغیر با زمان نیست و سیگنال ایستاست.
حال یک سیگنال غیرایستا با همان چهار جزء فرکانسی را در نظر بگیرید. از آن جایی که این سیگنال غیرایستاست، پس در هر بازه ی زمانی یکی از اجزای فرکانسی را داریم و این به معنی متغیر با زمان بودن فرکانس سیگنال و در نتیجه غیرایستا بودن سیگنال است. جالب اینجاست که محور فرکانس تبدیل فوریه ی سیگنال دوم نیز دارای چهار قله در همان چهار جزء فرکانسی خواهد بود.
بنابراین، تبدیل فوریه نمی تواند دو سیگنال فوق را علی رغم ماهیت متفاوتشان، از یکدیگر تمییز دهد، زیرا اجزای فرکانسی هر دو سیگنال یکسان است. تبدیل فوریه تنها در صورتی می تواند مفید واقع شود که زمان رخداد یک جزء فرکانسی حائز اهمیت نباشد؛ که البته در سیگنالهای غیرایستا چنین نیست.
