مفاهیم هندسی و پایه‌ای جبر خطی - جلسه اول - بردارها (Vectors)

منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.

سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.

بُردار

پایه‌ای ترین جز در جبر خطی، بردار است. به‌صورت کلی سه تعریف مجزا، از سه دیدگاه مختلف در مورد آن‌ها وجود داره:

• دیدگاه فیزیک: در این دیدگاه هر بردار مانند یک پیکان است که به فضا اشاره می‌کند و هر بردار با دو مشخصه طول و جهتی که به آن اشاره ‌می‌کند تعریف می‌شود. در این دیدگاه، هر دو بردار تا زمانی که طول و جهت یکسان داشته باشند، باهم یکی هستند و اهمیتی ندارد که مبدا آن‌ها کجاست. مثلا در تصویر زیر طول هر سه بردار یکسان است، اما فقط دو بردار آبی و قرمز از این جهت که هم اندازه و هم جهت هستند مشابه هستند و بردار سبز با آن‌ها متفاوت است.

• دیدگاه علوم کامپیوتر: در این دیدگاه، هر بردار یک لیست مرتب شده از اعداد در نظر گرفته می‌شود. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم هر خانه را با دو ویژگی قیمت و مساحت مشخص کنیم. مثلا ویژگی‌های خانه A را به صورت زیر در نظر بگیرید:

مساحت: 2,600 فوت‌مربع

قیمت: 300,000 دلار

هر خانه را می‌توانیم با همین دو مشخصه در قالب یک بردار مدل کنیم. بردار مدل‌کننده خانه A به صورت زیر خواهد بود، سطر اول مشخص‌کننده ویژگی مساحت و سطر دوم مشخص‌کننده ویژگی قیمت است.

در این دیدگاه ترتیب اهمیت دارد و دو بردار زیر در قالب مثال ارائه شده باهم یکی نیستند:

در این مثال، هر خانه را با یک بردار دو بعدی مدل کردیم که به بیانی دیگه، هر بردار با یک لیست معادل بوده و ابعاد بردار هم معادل طول لیست می‌باشد که برابر با دو است.

• دیدگاه ریاضی: این دیدگاه به نحوی تعمیم یافته دو دیدگاه ارائه شده قبلی است. به عبارتی دیگه، در این دیدگاه، هرچیزی که قابلیت انجام دو عملیات ضرب (ضرب یک عدد در آن چیز) و جمع‌پذیری (جمع آن دو یا چند چیز) را داشته باشند، می‌توانند وکتور یا بردار در نظر گرفته شوند.

دستگاه مختصات و مبدا مختصات

در این پست و پست‌های آینده، هرگاه از کلمه ''بردار" یا "وکتور" استفاده شود، منظور یک پیکان است که از یک مبدا مختصات کشیده شده و در یک دستگاه مختصات مانند دستگاه مختصات زیر، قرار گرفته است. چیزی که جبر خطی برای بردار مد نظر است، از دیدگاه فیزیکی آن کمی تفاوت دارد. در جبر خطی بردارها حتما دارای مبدا هستند و نقطه شروع هر بردار مبدا مختصات است، در حالیکه از منظر فیزیک لزوما این طور نیست. مبدا مختصات، برای مثال در تصویر زیر، جایی در نظر گرفته می‌شود که محور X، محور Y را قطع می‌کند. همچنین دو محور X و Y برهم عمود هستند.

هر محور مختصات به خانه‌هایی با طول 1 شکسته می‌شود و اگر خطوط سیاه در هر محور را امتداد دهیم به یک صفحه شطرنجی خواهیم رسید.

مختصات هر وکتور در فضای دو بعدی، معادل با یک جفت از اعداد است که به صورت کلی مشخص می‌کند که ته بردار نسبت به مبدا مختصات در کجای صفحه مختصات قرار گرفته است. عدد سطر اول، فاصله از مبدا در جهت محور X را مشخص کرده و عدد سطر دوم، فاصله از مبدا در جهت محور Y را نشان می‌دهد. اگر از مبدا در جهت راست محور X یا جهت بالای محور Y حرکت کنیم، عدد مشخص کننده فاصله، مثبت و اگر از مبدا در جهت چپ محور X یا در جهت پایین محور Y حرکت کنیم، عدد مشخص کننده فاصله، منفی خواهد بود.

برای مثال در دستگاه مختصات زیر، مختصات بردار آبی رنگ برابر با (3, 2-) است. عدد 2- در این مثال به این معنی است که برای مشخص کردن بردار آبی، لازم است که از مبدا مختصات شروع کنیم و دو واحد در جهت چپ روی محور X جلو برویم. عدد 3 نیز نشان می‌دهد که باید از مبدا شروع کرده و 3 واحد در جهت بالا روی محور Y حرکت کنیم.

هر جفت عدد داخل نماد [ ] فقط و فقط مشخص کننده یک بردار است و هر بردار فقط با یک جفت عدد درون [ ] در صفحه مختصات دو بعدی مشخص می‌شود.

اگر صفحه مختصات سه بعدی باشد، محور جدیدی به نام Z وجود خواهد داشت که بر دو محور X و Y عمود است. در این حالت درون هر [ ] یک سه‌تایی از اعداد قرار می‌گیرد که عدد سطر اول فاصله از مبدا در جهت محور X، عدد سطر دوم فاصله از مبدا در جهت محور Y و عدد سوم فاصله از مبدا در جهت محور Y را مشخص می‌کند. برای درک شهودی بهتر فضای سه بعدی، به دقیقه 4:18 از ویدیو مراجعه نمایید. در این فضا، هر سه تایی از اعداد، یک بردار منحصر به فرد را مشخص کرده و هر بردار فقط و فقط با یک سه تایی از اعداد مشخص می‌شود.

عملیات جمع و ضرب عدد ثابت روی بردارها

پایه و اساس جبر خطی بر روی دو عملیات جمع برداری و ضرب عدد ثابت در آن‌ها تعریف می‌شود. در ادامه در قالب یک مثال به شرح این دو عملیات خواهیم پرداخت. ابتدا با عملیات جمع شروع خواهیم کرد.

فرض کنید می‌خواهیم دو بردار V و W که در تصویر زیر آورده شده است را باهم جمع کنیم. یعنی حاصل V + W را حساب کنیم.

برای این کار کافی است بردار W را از انتهای بردار V رسم کنیم.

حاصل جمع این دو بردار برابر با بردار سرخابی که در تصویر زیر مشخص شده است ،خواهد بود.

حالا چرا اصلا جمع دو بردار رو اینجوری تعریف می‌کنیم؟ چرا حاصل V + W رو به صورت زیر نمی‌تونیم در نظر بگیریم؟ یعنی بیایم هر دو بردار V و W رو در مبدا نگه داریم و از ته بردار V به ته بردار W وصل کنیم. چرا این غلطه؟

دلیلش اینکه هر بردار، مشخص کننده یک گام با یک اندازه و جهت خاص در فضا است. به عبارت دیگه الان تو این مثال، بردار V + W داره میگه از مبدا شروع کن و به اندازه بردار V اول حرکت کن. یعنی یک واحد برو راست و دو واحد برو بالا.

بعد در ادامه، از همونجایی که الان هستی به اندازه بردار W حرکت کن. یعنی سه واحد برو راست و بعد یک واحد بیا پایین.

مجموع حرکات به‌ واسطه این دو بردار معادل با این هست که انگار از مبدا شروع کنی به حرکت و چهار قدم بری به سمت راست و بعد یک قدم بری به سمت بالا.

جمع بردارها در فضای دو بعدی رو میشه حالت توسعه یافته جمع اعداد، در فضای یک بعدی در نظر گرفت. مثلا فرض کنید می‌خواهیم حاصل جمع 5 + 2 رو در محور افقی نشون بدیم. این جمع چیو نشون میده؟ میگه اول 3 واحد برو سمت راست، بعد از همون‌جایی که هستی، 5 قدم دیگه در جهت راست بردار. این دقیقا معادل با این می‌مونه که انگار از مبدا شروع کنیم و یهو 7 قدم به سمت راست برداریم.

حالا می‌خوایم همین رو به فضای دو بعدی تعمیم بدیم. همین مثال یکم پیش رو در نظر بگیرید. بردار اول که با رنگ زرد مشخص شده مختصاتش برابر با (2,1) بوده و مختصات بردار دوم که با رنگ صورتی مشخص شده برابر با (1-,3) هست.

اگه بخوایم با زبان ریاضی جمع دو بردار رو نشون بدیم به حالت زیر می‌رسیم. یعنی می‌خوایم همون چیزی که یکم قبل‌تر گفتیم رو (1 واحد راست، 2 واحد بالا، بعد 3 واحد راست و 1 واحد پایین) به زبان ریاضی نشون بدیم.

حالا تو این مثال جوابمون به صورت زیر در میاد. یعنی گام‌هایی که در محور افقی برداشتی رو همه رو باهم جمع کن، گام‌هایی رو هم که در محور عمودی برداشتی همه رو باهم و در نهایت به بردار سرخابی رنگ برس.

در حالت کلی جمع دو بردار مختلف رو به صورت زیر میشه نشون داد:

یکی دیگه از عملیات‌های پایه‌ای برای وکتورها ضرب عدد ثابت در آن‌هاست هست. در ادامه در قالب یک مثال به بررسی آن خواهیم پرداخت.

بردار زیر رو در نظر بگیرید.

فرض کنید می‌خوایم این بردار رو در عدد 2 ضرب کنیم. ضرب عدد 2 در این بردار مثل این می‌مونه که عینا یک بردار مشابه بردار V رو از انتهاش بکشیم. یعنی دو تا بردار در امتداد هم دیگه، هم جهت و هم اندازه با بردار V اولیه داشته باشیم. به عبارتی دیگه بردار اولیه V رو دو برابر کنیم.

حالا اگه همین بردار V رو در عدد 1/3 ضرب کنیم، مثل این می‌مونه که انگار بردار V رو به اندازه 1/3 طول اولیه‌ش فشرده کنیم.

حالا اگه بردار V رو در عدد منفی 1.8 ضرب کنیم، این رو نشون میده که انگار اندازه بردار اولیه رو داریم 1.8 برابر می‌کنیم و جهتش رو هم 180 درجه نسبت به جهت اولیه می‌چرخونیم.

به عملیات ضرب یک عدد ثابت در یک بردار که باعث تغییر اندازه و در صورت منفی بودن تغییر جهت وکتور اولیه میشه، Scaling گفته میشه. به اون عدد ثابت هم که تو اندازه اولیه بردار تاثیر میذاره و توش ضرب میشه، Scalar میگن. الان تو مثال‌های بالا اعداد 2 و 1/3 و 1.8- معادل Scalar هستند. کلا در مباحث جبر خطی دو واژه "عدد" و "Scalar" در معنا و مفهوم یکسانی استفاده میشن.

حالا به زبان ریاضی این چیزایی که گفتیم یعنی چی؟ حالت کلیش تو تصویر زیر آورده شده. یعنی وقتی یک Scalar مثل عدد 2 در یک برداری ضرب میشه، تمام مولفه‌های اون بردار که هر کدوم نشون دهنده فاصله از مبدا در یک جهت خاص هستن، در عدد 2 ضرب میشن.

در جلسات آینده خواهیم دید که منظور از اینکه تمام عملیات‌ها در جبر خطی بر پایه جمع و Scaling هستن دقیقا چیه.

جمع‌بندی مطالب گفته شده

• مفهوم بردار
• دستگاه مختصات و مبدا
• عملیات جمع برداری
• عملیات Scaling و مفهوم Scalar

اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.

ویدیو این جلسه

محتوای جلسه بعدی (جلسه دوم)