منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
در جلسه گذشته در مورد مفهوم ضرب داخلی و ارتباط آن با تبدیل خطی صحبت کردیم. برای ضرب خارجی نیز قصد داریم همین کار را انجام دهیم. در این جلسه مفهوم ضرب خارجی را بررسی می‌کنیم و در جلسه آینده ارتباط آن با تبدیل خطی را خواهیم دید.
فرض کنید در صفحه مختصات دو بعدی هستیم و دو بردار به صورت تصویر زیر داریم.
دو بردار دیگه به چیزی که داریم اضافه می‌کنیم و مساحت متوازی‌الاضلاعی که توسط 4 بردار ساخته می‌شود را در نظر می‌گیریم. واضحه که متوازی‌الاضلاع چطور ساخته شده و دو بردار جدید از کجا میان.
حالا ضرب خارجی دو بردار V و W که با × نشونش میدیم، میشه دقیقا معادل با مساحت این این متوازی‌الاضلاع.
البته فقط اندازه مهم نیست. جهت اینکه دو بردار V و W چجوری قرار گرفتن کنار هم دیگه هم مهمه و همین می‌تونه حاصل ضرب خارجی دو بردار رو مثبت یا منفی کنه. یعنی چی؟ یعنی اینکه فرض کنید می‌خوایم حاصل ضرب خارجی بردار V در W رو حساب کنیم و دو بردار به صورت زیر کنار هم قرار گرفتن. یعنی، بردار V سمت راست بردار W هست. پس ضرب خارجی‌شون مثبت میشه.
حالا اگه نحوه قرار گیری‌شون به صورت زیر باشه و بردار V سمت چپ بردار W باشه، ضرب خارجی‌شون منفی میشه. البته، در هر دو قسمت هم توجه دارید که بردار V اولین برداری هست که داره ضرب میشه.
حالا این نکته رو گفتیم که به این برسیم که ترتیب در ضرب خارجی مهمه و اگه جای دو بردار رو عوض کنیم انگار حاصل ضرب خارجی‌شون قرینه هم دیگه میشه.
اگه بخوایم این چیزی که گفتیم رو با بردارهای پایه هم نشون بدیم شدنیه. در دستگاه مختصات اولیه، بردارهای پایه به صورت زیر هستن و بردار پایه i سمت راست بردار پایه j هست. به این ترتیب ضرب خارجی‌شون (اگه بردار اول i باشه) مثبت میشه.
حالا الان کلیات رو فهمیدیم. در ادامه می‌خوایم بررسی کنیم ببینم که چطور میشه ضرب خارجی رو محاسبه کرد. برای اینکه این مفاهیم رو متوجه بشید، نیاز به مفهوم دترمینان هست. اگر با مفهوم دترمینان مشکل دارید، اول به جلسه ششم مراجعه کنید و سپس ادامه مقاله رو دنبال کنید.
فرض کنید دو بردار V و W مختصاتشون به صورت زیر هست. می‌خوایم ضرب خارجی‌شون رو حساب کنیم. اول میایم مختصات بردار V رو در ستون اول یک ماتریس قرار میدیم، بعد میایم مختصات بردار W رو در ستون دوم ماتریس قرار میدیم. در نهایت از اون ماتریس باید دترمینان بگیریم که معادل میشه با همون ضرب خارجی دو بردار V و W. یه نکته، ما اینجا اومدیم مختصات بردارهارو به صورت ستونی در ماتریس قرار دادیم، ممکنه تو کتاب‌های زیادی دیده باشین که به صورت سطری ماتریس رو از رو بردارها می‌سازن. در نتیجه نهایی فرقی نداره و هر دو یکی هستن. چون از اول این سری آموزش همیشه ماتریس‌ها رو به صورت ستونی در نظر می‌گرفتیم اینجا هم همین کار رو کردیم.
در مورد ماتریس ساخته شده، قبلاً هم دیدیم که هر ستون یک ماتریس رو میشه معادل با تبدیل یافته بردارهای پایه در یک فضای جدید در نظر گرفت. یعنی الان ماتریس بالا، داره میگه بردار پایه i رو ببر به مختصات (1 ,3) و بردار پایه j رو ببر به مختصات (1- , 2).
بعد حالا وقتی ازش دترمینان می‌گیریم به این معنی هست که بیا مساحتی که این دو بردار پایه در فضای جدید می‌سازن رو حساب کن.
در شروع این جلسه گفتیم ضرب خارجی معادل هست با محاسبه مساحت ساخته شده بین دو بردار. از جلسات قبل هم می‌دونیم که دترمینان یک ماتریس در صفحه دو بعدی، داره میگه مساحت اولیه‌م بعد از تبدیل خطی چقدر تغییر کرده. پس منطقیه که برای محاسبه ضرب خارجی بیایم از دترمینان استفاده کنیم.
همچنین توضیح دادیم که ضرب خارجی چه مواقعی مثبت یا منفی میشه که دقیقا معادل هست با همون مباحثی که تو دترمینان هست. به عنوان یک مثال تصویر زیر رو ببینید. چون بردار V سمت چپ بردار W هست، پس حاصل ضرب خارجی‌شون منفی باید بشه. دترمینان رو هم محاسبه کنیم خود به خود تو این حالت منفی میشه.
حالا، نکته بعدی اینکه، اگه زاویه بین این دو بردار که می‌خوایم ضرب خارجی‌شون رو محاسبه کنیم دقیقا معادل با 90 باشه و دو بردار بر هم عمود باشن، ضرب خارجی‌شون بیشترین مقدار رو خواهد داشت. به عبارتی دیگه، هر چقدر دو بردار بیشتر زاویه‌شون به 90 نزدیک‌تر باشه، حاصل ضرب خارجی‌شون هم بزرگ‌تر هست. اینکه زاویه‌شون نزدیک به 90 باشه، یعنی اینکه راستای دو بردار کاملا از هم متفاوت باشه.
از طرفی دیگه، هر چقدر دو بردار در یک راستا قرار بگیرن (به این معنیه که زاویه‌شون از 90 خیلی بیشتر یا خیلی کمتر بشه) حاصل ضرب خارجی‌شون کمتر و کمتر میشه.
نکته دیگه، در مورد ضرب عدد ثابت در بردارها و اسکیل کردنشون هست. فرض کنید بردار V رو در عدد 3 ضرب کردیم. چی باید بشه؟ منطقاً باید حاصل ضرب خارجی هم سه برابر بشه. به عبارتی دیگه، انگار مساحت ساخته شده هم داره سه برابر میشه.
چیزایی که تا اینجا گفتیم، درسته که بهمون یک درک شهودی داد ولی در واقع خود ضرب خارجی نبود! در واقع، ضرب خارجی هدفش اینکه بیاد دو تا بردار رو در فضای سه بعدی باهم ترکیب کنه و در نهایت یک بردار جدید در فضای سه بعدی بهمون بده. پس طبق این حرف یعنی ضرب خارجی بهمون یک عدد نمیده، قراره بهمون یک بردار بده.
حالا، فرض کنید در فضای سه بعدی هستیم و دو بردار داریم و مساحتی که این دو بردار ساختن که معادل با یک صفحه هست رو هم در نظر گرفتیم. فرضاً مساحتی که ساخته شده هم مقدارش برابر با 2.5 هست.
حالا میایم ضرب خارجی این دو بردار رو حساب می‌کنیم. نتیجه چی میشه؟ مگه نگفتیم همین الان که ضرب خارجی قراره بهمون یک بردار بده، پس اصلاً چه ربطی به این مساحت که یک عدد هست داره؟ خب! قضیه اینکه ضرب خارجی این دو بردار معادل میشه با یک بردار سومی که بر هر دو بردارهای قبلی (در واقع بر مساحت ساخته شده بین دو بردار) عموده و از طرفی اندازه بردار سوم معادل میشه دقیقاً با همون اندازه مساحت صفحه‌ای که دو بردار اول ساختن. یعنی اندازه برداری که از حاصل ضرب خارجی دو بردار اول به‌دست میاد، دقیقاً همون 2.5 هست.
خب! حالا الان ممکنه سوال پیش بیاد که ما می‌تونیم دو تا بردار داشته باشیم که بر اون صفحه عمود باشن و طولشون هم برابر باشه با اندازه مساحت بین دو بردار. مثلا تو تصویر زیر بردار قرمز رو باید در نظر بگیریم یا بردار آبی رو؟ قانون دست راست بهمون کمک میکنه.
طبق قانون دست راست، اول، انگشت اشاره رو در راستای بردار اول قرار میدیم. دوم، انگشت وسط رو هم در راستای بردار دوم قرار میدیم. حالا جهتی که انگشت شست بهش اشاره میکنه، میشه جهت برداری که حاصل ضرب خارجی دو بردار اول و دوم هست. با رنگ‌هی متفاوت تو تصویر زیر نشون داده شده.
یه مثال ساده ببینیم.
فرض کنید مختصات بردار V باشه (2 ,0 ,0) و دقیقاً بیفته رو محور z ولی با اندازه 2 (با رنگ نارنجی نشون داده شده). مختصات بردار W هم باشه (0 ,2 ,0) و با اندازه 2 در راستای محور y باشه (با رنگ صورتی نشون داده شده). مساحتی که این دو بردار می‌سازن برابر میشه با 4. حالا فهمیدیم اندازه بردار ضرب خارجی‌شون چی میشه. خود بردار در چه جهتی میفته؟ جهت مثبت محور x یا جهت منفی محور x؟ اگه با قانون دست راست بریم جلو می‌بینیم که برداری که نتیجه ضرب خارجی هست میفته در جهت منفی محور x و با رنگ قرمز هم نشون داده شده. مختصاتش میشه (0 ,0 ,4-). اگه تمایل داشتین مرحله به مرحله این مثال رو ببینید، به ویدیو این جلسه مراجعه کنید.
برای محاسبه ضرب خارجی فرمولی داریم که به صورت زیر تعریف میشه و میشه حفظش کرد.
البته راه راحت‌تر اینکه فرمول ضرب خارجی رو به صورت زیر محاسبه کنیم. یعنی بیایم ماتریسی بسازیم که ستون اول رو معادل بگیریم با بردارهای پایه و ستون دوم و سوم رو هم اختصاص بدیم به مختصات بردار اول و دوم. در نهایت هم دترمینانش رو حساب کنیم.
حالا اگه فرمول بالا رو باز کنیم به رابطه زیر می‌رسیم. ممکنه سوال پیش بیاد که چرا اصلا اومدیم بردارهای پایه رو تو ستون اول گذاشتیم. اگه بخوایم مثل معلم‌های دبیرستان جواب بدیم، اینطوری میشه گفت که صرفاً یک نوتیشن هست و ما قراره ترکیب خطی بسازیم از سه بردار پایه در فضای سه بعدی. یعنی انگار هر بردار پایه داره در یک عدد ضرب میشه و نهایتاً هم باهم جمع میشن. حالا بپذیرید که جوابی که به دست میاد اندازه‌ش دقیقاً معادل میشه با مساحتی که دو بردار اول و دوم می‌سازن و همچنین بردار نتیجه هم عمود میشه بر اون صفحه!
ولی واقعیت این نیست و مفهوم پشتش بر میگرده به مفهوم دوگان یا duality که در جلسه گذشته بررسی کردیم. اگه علاقه‌مند هستین که جزییات بیشتری در این خصوص بدونید، محتوای جلسه بعدی رو دنبال کنید.
یک شهود اولیه از ضرب خارجی رو بررسی کردیم و فهمیدیم که داره دقیقا چه چیزی رو نشون میده و چه رابطه‌ای با دترمینان داره.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
