منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
از جلسه قبل، با این مفهوم آشنا هستیم که وقتی می‌گیم مختصات یک بردار مثلا برابر با (2- ,3) است، در سیستم مختصات یعنی چه. به عبارتی دیگه، یعنی 3 واحد در جهت مثبت محور X (سمت راست) و 2 واحد در جهت منفی محور Y (سمت پایین) حرکت کن. در این جلسه قصد داریم این موضوع رو از دیدگاه دیگری مورد بررسی قرار بدهیم و به کمک آن مفهومی به نام بردار پایه را تعریف کنیم.
فرض کنید دو بردار در دو جهت عمود بر هم افقی و عمودی داریم که طولشون یک هست با رنگ قرمز و سبز در تصویر زیر مشخص شدن:
حالا می‌خوایم مختصات بردار زرد رنگ رو، به صورت یک Scalar (که در جلسه گذشته مفهومش رو بررسی کردیم) در این بردارها با طول یک در نظر بگیریم. یعنی می‌خوایم بردار زرد رنگی که در تصاویر بالا و زیر مشخص شده است رو، بر اساس بردارهای سبز و قرمز که طول یک دارند بنویسیم. یعنی بردار i باید طولش سه برابر بشه تا عدد 3 رو در جهت محور افقی مشخص کنه و بردار j هم باید منفی دو برابر بشه تا عدد 2- رو در جهت محور عمودی مشخص کنه.
حالا اگه این دو بردار سبز و قرمز رو به روش جمع برداری که در جلسه گذشته با مفهومش آشنا شدیم رو جمع بزنیم، به حالت زیر می‌رسیم و می‌تونیم بردار زرد رنگ رو به صورت زیر بنویسیم:
شاید این مفاهیم ساده و پیش پا افتاده باشن، اما مفاهیم مهمی پشتشون هست. به بردارهای i و j بردارهای پایه یا basis vectors در دستگاه مختصات XY گفته میشه.
هر برداری در این دستگاهِ مختصات رو میشه به صورت حاصل جمعِ scale شده بر اساس بردارهای i و j نوشت. اگر به جای i و j که اینجا بعنوان بردارهای پایه معرفی شدن، تصمیم بگیریم بردارهای پایه جدید تعریف کنیم، دستگاه مختصاتمون کاملا عوض میشه و دیگه چیزی که اینجا نشون دادیم و در موردش بحث کردیم نخواهد بود.
مثلا فرض کنید بردارهای پایه رو دو بردار زیر در نظر بگیریم:
در این حالت هم باز میشه تمامی بردارهای موجود در صفحه رو بر اساس این دو بردار پایه تعریف کرد، اما قضیه اینکه جهت و اندازه بردارها با حالت قبلی که بردارهای پایه i و j داشتیم فرق داره. یعنی چی این حرف؟ مثال زیر رو ببینید.
الان این بردار سرخابی حاصل جمع اسکیلر 0.80- در بردار v و اسکیلر 1.30 در بردار w هست تو فضایی که بردارهای v و w، بردارهای پایه هستند.
ولی همین بردار سرخابی تو فضایی که بردارهای i و j بردار پایه باشن میزان اسکیلرهاشون فرق داره. یعنی با 3.1 برابر بردار i و 2.9- برابر بردار j میشه به همون بردار سرخابی که بالا بهش رسیده بودیم برسیم.
مشخصا از اونجایی که این بردارهای پایه باهم یکی نیستن، میزان اسکیلرهاشون هم برای نشون دادن یک بردار که به نوعی در هر دو فضا در یک جهت و با یک اندازه قرار گرفته، متفاوته. در جلسات آینده بیشتر در مورد رابطه بین بردارهای پایه توضیح خواهیم داد.
نکته‌ای که اینجا برامون حائز اهمیت هست اینکه این رو در نظر داشته باشیم که هر برداری که با یک سری عدد و مختصات داریم نشونش میدیم، به‌صورت ضمنی بستگی داره که بردارهای پایه‌اش چجوری باشه. همونطور که در مثال قبلی هم دیدیم، یک بردار مشابه رو تونستیم با اعداد متفاوت، با توجه به بردارهای پایه‌ش نشون بدیم.
هرگاه دو بردار مختلف رو (لزوما نباید بردار پایه باشن و اینکه بردارهای پایه لزوما اندازه‌شون یک نیست و بر هم عمود نیستن)، scale کرده و بعد باهم جمع کنیم، بهش ترکیب خطی از اون دو بردار گفته میشه. مثلا ترکیب خطی دو بردار پایه v و w در مثال زیر برابر هست با:
حالا اصلا مفهوم این خطی بودن چیه و از کجا میاد؟
یکی از راه‌هایی که میشه در موردش فکر کرد اینکه بیایم یکی از بردارها رو فیکس نگه داریم و یکی دیگه از بردارهارو تغییر بدیم. مثلا اسکیلر بردار w رو ثابت و برابر با 1 نگه داریم و اسکیلر بردار v رو تغییر بدیم و در تمامی حالت‌ها، حاصل جمع دو بردار v و w رو در نظر بگیریم. حاصل جمعی که در تمامی این حالت‌ها برامون به دست خواهد آمد، برابر با خط سفیدی هست که در تصویر زیر مشخص شده.
حالا تو حالت بعدی، بردار v رو با اسکیلر ثابت و 1 نگه می‌داریم، بعد حاصل جمعشو با بردار w و با اسکیلرهای مختلف حساب می‌کنیم. تو این حالت هم به یک خط دیگه می‌رسیم. پس یعنی با این دو کار، به دو خط مختلف رسیدیم.
برای اینکه درک شهودی و تصویری بهتری از این قسمت داشته باشید و ببینید که چطور خطوط سفید رسم میشه، پیشنهاد می‌کنم به دقیقه 3:21 تا 3:27 از ویدیو این جلسه مراجعه بفرمایید.
حالا اگه هر دو وکتور v و w همزمان مقدار scaler هاشون عوض بشه و حاصل جمعشونو تو هر حالت حساب کنیم چی؟ در این صورت چه اتفاقی میفته؟
در این صورت سه حالت مختلف رخ میده:
الان از بررسی این سه مورد و کلا مطرح کردنش دنبال چی بودیم؟ می‌خواستیم مفهوم Span رو معرفی کنیم. حالا Span یعنی چی؟ Span ِدو وکتور v و w برابر با مجموعه‌ای هست که تمام ترکیبات خطی این دو بردار v و w، در اون قرار می‌گیره. (من نمی‌دونم معادل Span به فارسی چی میشه و تو جبر خطی بهش چی می‌گن، اگه کسی می‌دونست لطفا تو کامنت‌ها بهش اشاره کنه).
الان نتیجه‌ای که گرفتیم از بررسی این سه حالت مختلف، این هست که برای اکثر بردارها (بجز بردارهایی که در یک راستا نباشن و 0 هم نباشن) Span معادل میشه با تمام بردارهایی که در فضا هست. حالا اگر دو بردار باهم هم راستا باشن، Span معادل میشه با یک خط که باهاشون هم راستاس و از مبدا مختصات میگذره.
به عبارتی دیگه، مفهوم Span این هست که از خودمون بپرسیم، اگر مثلا دو بردار داشته باشیم که اون‌هارو اسکیل کنیم و بعد باهم جمع کنیم (یعنی اگه فقط از همین دو عملیات پایه‌ای استفاده کنیم)، حاصل جمعشون چند حالت مختلف و امکان‌پذیر می‌تونه داشته باشه.
اگر بخوایم تمام بردارهای موجود در صفحه رو با پیکان مشخص کنیم صفحه خیلی در هم بر هم میشه و یه چیزی میشه تو مایه‌های زیر:
حالا برای اینکه از این شلوغی جلوگیری بشه گاهی اوقات نقاط رو جایگزین پیکان‌ها می‌کنن. مثلا بردار زیر رو در نظر بگیرید:
اگه بخوان این بردار رو به صورت نقطه نشون بدن، خطش رو از مبدا حذف می‌کنن و سر پیکانش رو با نقطه جایگزین می‌کنن.
الان مثال زیر رو ببینید. فرض کنید می‌خوایم تمام وکتورهایی رو در نظر بگیریم که رو خط آبی می‌تونن وجود داشته باشن:
تو این حالت، می‌تونیم فقط ته هر پیکان رو نگه داریم به جای کلش و اون‌ها رو با نقطه‌ها جایگزین کنیم، ولی چون پیکان‌ها همه جا روی خط هستن، اجتماع همه نقطه‌ها تشکیل یک خط میده.
به حالت مشابه اگه تمام وکتورهارو در حالت دو بعدی در نظر بگیریم که دو محور عمودی و افقی داریم، تمام خطوط عمودی و افقی که یک گرید رو تشکیل میدن می‌تونن نشون دهنده وکتورها باشن.
به صورت کلی اگر یک بردار تنها رو در نظر دارید، می‌تونید اون رو مثل یک پیکان در نظر بگیرید.
اگر چند تا بردار رو باهم همزمان در نظر دارید، راحت‌تره که به جای پیکان، بعنوان نقطه در نظر بگیریدشون.
حالا چرا اصلا اینارو معرفی کردیم و هدف چی بود؟ می‌خوایم دوباره برگردیم به مفهوم Span و مفاهیم رو با دید دیگه‌ای بررسی کنیم.
همونطور که بالاتر هم گفتیم، اگر دو بردار باهم، هم راستا نباشن، Span اون‌ها در یک دستگاه مختصات با دو مولفه عمودی و افقی، معادل میشه با بردارهای کل صفحه که همون گرید هست و اگه دو بردار هم راستا بشن، Span معادلشون تو همین دستگاه مختصات دو مولفه‌ای یک خط رو تشکیل میده.
اگه در فضای سه بعدی، دو بردار که هم‌راستا نیستن رو در نظر بگیریم، Span معادلشون چی میشه؟
گفتیم Span دو بردار، برابر هست با مجوعه‌ای از تمامی ترکیبات خطی ممکن برای اون دو بردار. به عبارتی دیگه، تمامی بردارهایی که میشه از scale کردن و جمع کردن اون دو بردار به دست آورد رو معادل با Span میشه در نظر گرفت. حالا ما تو فضای سه بعدی هستیم و دو بردار داریم که هم راستا نیستن و می‌خوایم ببینیم Span معادلشون چی میشه. تو این حالت به یک صفحه مسطح می‌رسیم. یعنی Span تو این حالت یک صفحه هست و تمامی ترکیبات خطی دو بردار غیر هم راستا در این صفحه قرار می‌گیره.
حالا اگه سه تا بردار در یک فضای سه بعدی داشته باشیم، Span چجوری میشه؟
تو این حالت با ترکیب خطی سه بردار بعنوان Span طرف هستیم که به صورت زیر تعریف میشه. یعنی سه تا بردار مختلف داریم، می‌خوایم در اسکیلرهای مختلف ضربشون کنیم و بعد باهم جمعشون کنیم ببینیم بردارهای ممکن به چه حالتی در میان. به عبارتی دیگه، پیدا کردن Span معادل با این هست که اسکیلرهای a و b و c رو برابر با اعداد مختلف قرار بدیم و حاصل جمع رو حساب کنیم.
حالا برای پاسخ به سوالی که بالاتر مطرح کردیم دو حالت مختلف ممکنه رخ بده:
به این مفهوم به صورت غیر مستقیم بالاتر اشاره کردیم و ازش چند تا مثال دیدیم. هر وقت Span ایجاد شده معادل با بردارهایی که در فضا داریم با کم شدن یکی از اون بردارها دچار تغییر نشه، یعنی اون برداری که حذف شده نسبت به یکی از بردارهای موجود وابستگی خطی داشته. به عبارتی دیگه، یک برداری در فضا وجود داره که اسکیل شدنش تغییری در Span ایجاد نمی‌کنه (یعنی مثلا تو دستگاه مختصات سه مولفه‌ای، Span دو بعدی رو تبدیل به Span سه بعدی نمی‌کنه). اون بردار با حداقل یکی از بردارهای موجود هم راستاس یا به بیانی دیگه بهش وابسته‌ست. حالا اون بردار سوم که وابستگی خطی داره، می‌تونه بر اساس ترکیب خطی بردارهای دیگه تو Span مشخص بشه. چرا اینطوره؟ چون از قبل تو خود Span قرار گرفته!
الان که تعریف وابستگی خطی رو دیدیم، تعریف استقلال خطی خیلی ساده میشه. اگه برداری باشه که به Span فعلی بین چند بردار، یک بعد دیگه اضافه کنه و اون رو تغییر بده، اون بردار نسبت به بقیه بردارهایی که Span رو ساختن مستقل خطی هست.
حالا با توجه به همه مفاهیمی که تا اینجا بررسی کردیم، بیایم تعریف پایه یا همون basis رو از نظر فنی ببینیم که به چه صورت هست:
این تعریف میگه که پایه در یک فضای برداری معادل با مجموعه‌ای از وکتورهای مستقل خطی هست به طوریکه اون فضارو Span می‌کنن. به عبارتی دیگه، Span یک فضا، به کمک بردارهای پایه موجود در اون فضا تعریف میشه. اگر همچنان مفهوم این تعریف رو درک نکردین، نگاهی به تمام موارد ارائه شده در این جلسه بندازید و مجددا تعریف رو بخونید.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
