مفاهیم هندسی و پایه‌ای جبر خطی - جلسه سوم - تبدیل خطی و ماتریس‌ها

منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.

سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.

تبدیل خطی (Linear Transformation)

قراره تو این جلسه مفهوم تبدیل خطی و همچنین ربطش رو به ضرب ماتریس‌ها بررسی کنیم. کلمه تبدیل یا transformation به‌صورت کلی به معنای تابع یا function هست. یعنی چیزیه که یه عدد ورودی می‌گیره بعد به ازای اون عدد ورودی یک عدد در خروجی میده. اگه بخوایم دقیق‌تر بگیم، تبدیل، از دیدگاه جبر خطی اینطوریه که یه بردار رو بعنوان ورودی می‌گیره و یک بردار رو در خروجی میده.

حالا چرا وقتی ادعا می‌کنیم transformation معادل با همون function هست، داریم از واژه transformation استفاده می‌کنیم و همون فانکشن رو به کار نمی‌بریم؟ به‌خاطر اینکه صرفا یه تصور ذهنی بشه داشت از رابطه‌‌ی بین ورودی و خروجی. در واقع یک راه ساده برای درک توابعی از بردارها (که همون transformation ها هستن)، اینکه اینجوری در نظر بگیریم که انگار یک movement رخ داده. یعنی چی این حرف؟ توضیح خواهیم داد.

اگه یک تبدیل یا transformation، یک بردار رو بعنوان ورودی بگیره و بعد یک بردار رو بعنوان خروجی بهمون بده، می‌تونیم اینجوری در نظر بگیریم که بردار ورودی دچار movement شده و از جایی که هست حرکت کرده تا به بردار خروجی رسیده.

حالا اگه بخوایم این مفهوم رو از یک بردار به تمامی بردارهای موجود در دستگاه مختصات XY تعمیم بدیم، صفحه خیلی شلوغ پلوغ میشه و بهتره تو این مورد به‌جای پیکان، همون نمایش نقطه‌ای بردارهارو در نظر بگیریم. حالا فرض کنید نقاط زیر تمامی بردارهای موجود در صفحه هستن و می‌خوایم روشون یک تبدیل یا transformation انجام بدیم و این مجموعه نقاط ورودی رو به یک سری مجموعه نقاط خروجی ببریم.

خروجی متناظر مثلا یه چیزی به صورت پایین میشه. در واقع منظورمون از تبدیل یه همچین چیزیه.

حالا اگه به‌جای نمایش نقطه‌ای، از نمایش گریدی استفاده کنیم و کل دستگاه مختصات رو بخوایم نشون بدیم که چجوری تغییر می‌کنه، ورودی به صورت زیر در میاد:

خروجی هم به این صورت میشه:

حالا اگه همزمان هم ورودی و هم خروجی رو در یک صفحه داشته باشیم و مثلا بخوایم ببینیم که تغییرات به چه صورت بوده، به صورت زیر در میاد نتیجه:

می‌تونیم تبدیل‌های دلخواه دیگه‌ای هم داشته باشیم که خیلی پیچیده‌تر باشن و به خروجی‌های زیر برسیم. برای اینکه ببینید چجوری این تبدیل‌ها به وجود میان و دستگاه مختصات اصلی چجوری تغییر می‌کنه، پیشنهاد می‌کنم به دقیقه 2:15 تا 2:31 از ویدیو این جلسه مراجعه بفرمایید.

همونطور که تو تصاویر بالا هم دیدیم، این تبدیل‌ها بعضا خیلی پیچیده هستن، ولی خوبیش اینکه تو جبر خطی این تبدیل‌ها محدود میشن صرفا به یک سری تبدیل خاص که به صورت linear و خطی هستن. اگه بخوایم تبدیل خطی رو با استفاده از تصاویر نشون بدیم، به تبدیلی تبدیل خطی گفته میشه که دو تا ویژگی داشته باشه:

• همه خط‌ها به صورت خط باقی بمونن و تبدیل به منحنی نشن
• مبدا ثابت بمونه و تغییر نکنه

مثلا تبدیل زیر خطی نیست. چرا؟ چون خطوطش تبدیل به منحنی شدن.

تبدیل زیر هم خطی نیست. چرا؟ چون مبدا جاش نسبت به حالت دستگاه مختصات اولیه و اصلی عوض شده و دیگه ثابت نیست.

تبدیل زیر هم یک نمونه از تبدیل‌های غیر خطیه. این دیگه چرا؟ اینکه حتی خطوط رو هم منحنی نکرده؟ چرا منحنی کرده! تصویر پایین رو ببینید.

این دستگاه مختصات اولیه هست که نیمساز ناحیه اول و سوم (یکی از خطوط قطری) روش کشیده شده:

حالا اگه تبدیل بالا رو که فکر می‌کردیم خطیه ولی خطی نیست رو، روش انجام بدیم خط قطری زرد تبدیل به یک منحنی میشه و دیگه خط باقی نمی‌مونه.

پس وقتی می‌گیم تبدیلی خطی هست که خطوط رو خط نگه داره، به صورت دقیق‌تر منظورمون این هست که خطوطِ گرید (منظورمون خطوط آبی هست تو شکل‌های ارائه شده) به صورت موازی باهم قرار بگیرن و هم‌چنین، فاصله بینشون یک‌نواخت باشه. الان مثلا همین تبدیل آخر، شرط موازی بودن خطوط گرید رو داره، ولی شرط داشتن فاصله‌های یک‌نواخت رو نداره.

یک سری تبدیل‌های خطی خیلی ساده هستن و راحت میشه تصورشون کرد. مثل چرخش دستگاه مختصات حول مبدا.

ولی یک سری تبدیل‌های خطی هستن که کمی پیچیده‌ترن و نمیشه راحت تصورشون کرد و تو این حالت باید دنبال این باشیم که کلا چجوری تبدیل‌های خطی رو به صورت عددی نشون بدیم. اگه دقیق‌تر بخوایم بگیم، مثلا اگه بخوایم تبدیل‌های خطی رو به‌صورت انیمیشن نشون بدیم که چجوری تغییر می‌کنن، از چه فرمول‌هایی باید استفاده کنیم که صفحه مختصات اولیه رو تبدیل به صفحه مختصاتی که می‌خوایم بکنه؟

می‌تونیم این فرمول‌هارو فقط بر اساس بردارهای پایه (که در جلسه گذشته مفهومشون رو بررسی کردیم) بنویسیم و همه چیز بر اساس همونا تعریف میشه. با یک مثال توضیح می‌دیم که دقیقا منظورمون چیه.

فرض کنید تو دستگاه مختصات زیر که بردارهای پایه‌ش i و j هست یک بردار زرد رنگی داریم که مختصاتش تو تصویر ذکر شده.

این بردار زرد بر اساس جمع اسکیل شده بردارهای i و j به دست اومده که می‌تونیم اینجوری نشونش بدیم:

حالا فرض کنید یک تبدیل خطی می‌زنیم و دستگاه مختصات به صورت زیر میشه. تو این حالت بردار زرد رنگ رو چجوری میشه تعریف کرد؟

مختصات بردار زرد رنگ تو این دستگاه مختصات، برابر میشه با 1- برابر بردار تبدیل یافته i و 2 برابر بردار تبدیل یافته j. از روی شکل هم مشخصه. الان نکته‌ای که وجود داره اینکه، اگه ما بتونیم بفهمیم تو این تبدیل خطی، چه بلایی سر بردارهای پایه اومد و مختصات اولیه‌شون تبدیل به چی شد دیگه تمومه.

از اونجایی که صفحه مختصات اولیه رو تو بک گراند داریم، می‌تونیم راحت تشخیص بدیم که بردارهای تغییر یافته i و j چجوری تغییر کردن. الان برای اینکه از حالت اولیه به بردار تغییر یافته i برسیم باید دو واحد بریم پایین و یک واحد بریم راست.همچنین، برای اینکه به بردار تبدیل یافته j برسیم، باید صرفا سه واحد بریم سمت راست. به عبارتی دیگه، برداهای تبدیل یافته i و j تو این دستگاه مختصات جدید بردارهای پایه‌مون هستن که چون فضا با فضای اولیه فرق داره و یک تبدیل خطی رخ داده، اینا هم مختصاتشون عوض شده.

الان با این مقادیر اگه بخوایم ببینیم بردار زرد رنگ تو فضای جدید چه مختصاتی داره، با یک ضرب اسکیلر و جمع برداری کار تمومه. بردار زرد رنگ تو فضای جدید مختصاتش (2, 5) هست.

چیزایی که تا الان گفته شده مفاهیم خیلی مهمی پشتشون هست. اگه حس می‌کنید یکم گیج شدین، دوباره برگردین از اول این بخش مطالب رو یک بار دیگه بخونید. الان با توجه به همه مطالبی که گفتیم، هرگاه بخوایم ببینیم که یک تبدیل خطی چه بلایی سر بردارهای موجود میاره، فقط کافیه ببینیم که چه بلایی سر بردارهای پایه میاد. چون به کمک بردارهای پایه می‌تونیم همه وکتورهای دیگه رو تعریف کنیم.

به صورت کلی، تو این مثال ارائه شده، هر برداری با مختصات x و y رو اگه بخوایم ببینیم کجا میفته باید عملیات زیر رو براش انجام بدیم. مختصات بردار x و y تو دستگاه مختصات اولیه‌مون هست. یعنی ورودی‌مونه و می‌خوایم ببینیم اگه روش تبدیل خطی بزنیم خروجی‌ش چی میشه. چون می‌دونیم که تو فضای جدید بردار i و بردار j کجا میفته، می‌تونیم به صورت ریاضی مثل زیر بنویسیم.

حالا، تا اینجا تونستیم صرفا با دو تا وکتور که یکیش برای تعریف مختصات تبدیل یافته i بود و یکیش برای تعریف مختصات تبدیل یافته j بود، این تبدیل خطی رو به ازای همه ورودی‌های مختصات اولیه خروجی‌ش رو حساب کنیم. از اینجا به بعد می‌خوایم بررسی کنیم ببینیم این چیزایی که تا اینجا دیدیم اصلا چه ربطی به ماتریس‌ها داره.

رابطه ماتریس‌ها و تبدیل خطی

اگه این دو تا بردار (که تو پاراگراف بالا در موردش توضیح دادیم) رو کنار هم بذاریم، به یک ماتریس 2 در 2 می‌رسیم. ستون اول این ماتریس نشون میده که بردار i اولیه تو دستگاه مختصات جدید کجا قرار می‌گیره و ستون دوم هم نشون میده که بردار j اولیه تو دستگاه مختصات جدید کجا قرار می‌گیره.

حالا هر بردار دلخواهی که بهمون بدن، برای اینکه ببینیم تو دستگاه مختصات جدید کجا میره و بخوایم به صورت ماتریسی نشون بدیم، فقط کافیه اون مختصات داده شده رو در ماتریسی که به‌دست اومده ضرب کنیم. یه مثال ببینیم بعد حالت کلیش رو بررسی می‌کنیم.

برای مثال، اگه تو فضای اولیه برداری با مختصات (7, 5) داشته باشیم و بخوایم ببینیم تو این فضای جدیدی که از یکم قبل داریم در موردش صحبت می‌کنیم کجا میره، رابطه ریاضی‌ای که می‌تونیم براش بنویسیم به صورت زیر میشه. مفهومش چیه؟ میگه بیا بردارهای پایه فضای جدیدم رو به اندازه‌ای که بهت بعنوان ورودی دادم اسکیل کن، بعد جواب رو بهم بعنوان خروجی اعلام کن.

در حالت جنرال و کلی، هرگاه یک ماتریس 2 در 2 داشتیم، اینجوری در نظر بگیرید که ستون اولش داره بهمون نشون میده که بردار پایه i تو فضای جدید داره کجا میفته، و ستون دومش داره اینو بهمون نشون میده که بردار پایه j داره تو فضای جدید کجا میفته. حالا هر ورودی دلخواهی هم بهمون دادن، اگه بیایم اون ماتریسی که داریم رو در بردار ورودی ضرب کنیم، جواب میشه خروجی. یعنی جایی رو نشون میده که بردار ورودی تو فضای جدید قرار می‌گیره.

با این تعابیر گفته شده، دیگه هر وقت ضرب یک ماتریس 2 در 2 در یک بردار رو ببینید، ناخودآگاه ذهنتون میاد به این صورت شبیه‌سازی می‌کنه که، قراره یک بردار ورودی رو که تو دستگاه مختصات عادی وجود داره، بدم به یک تبدیل خطی (که همون ماتریس است)، به این صورت که بردارهای پایه i و j اولیه‌ام رو تغییر داده (تبدیل کرده به مختصات‌های ac و bd) و حاصل ضرب ماتریس در بردار، بهم مختصاتی رو نشون میده که بردار ورودیم تو فضای جدید پیدا کرده.

بررسی تبدیل‌های خطی معروف

حالا در ادامه، بریم یک سری تبدیل‌های خطی معروف رو ببینیم. تو تمام مثال‌ها، حالت پایه رو به صورت زیر در نظر بگیرید. بردار i سبز و بردار j قرمز هست.

• تبدیل خطی 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت

اگه صفحه مختصات رو 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخونیم، بردارهای پایه تو این فضا به صورت زیر در میان:

حالا اگه بخوایم ببینیم هر بردار دلخواه در فضای اولیه، تو این فضا چه بلایی سرش میاد فقط کافیه این ماتریس رو در مختصات اون بردار ضرب کنیم.

مثلا بردار زرد رنگ رو تو دستگاه مختصات اولیه در نظر بگیرید:

اگه تبدیل خطی 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت رو روش اعمال کنیم جاش عوض میشه. حالا اگه بخوایم مختصات جدیدش رو تو فضای جدید حساب کنیم، کافیه اون ماتریس رو در مختصات اولیه بردار زرد ضرب کنیم.

• تبدیل خطی Shear

این تبدیل خطی اینطوره که بردار i تغییری نمیکنه و سرجاش می‌مونه، ولی بردار j به اندازه 45 درجه به سمت راست می‌چرخه.

حالا اگه همون بردار زرد رنگ اولیه رو که بالاتر دیدیم، روش تبدیل خطی shear رو بزنیم به صورت زیر در میاد و برای اینکه مختصاتش رو در فضای جدید حساب کنیم، باید ضرب ماتریس در مختصات بردار اولیه رو انجام بدیم.

سوال

تبدیل خطی‌ای که به وسیله ماتریس زیر به‌دست میاد رو می‌تونید حدس بزنید قبل اینکه جوابش رو ببینید؟

برای این کار اول باید بیایم بردار i رو به مختصاتی که براش در نظر گرفته شده منتقل کنیم.

بعد بریم سراغ بردار j و اون رو به مختصات جدید ببریم.

پیشنهاد می‌کنم برای اینکه درک شهودی بهتری از این تبدیل خطی داشته باشید که چجوری ایجاد میشه به دقیقه 9:07 تا 9:17 از ویدیو این جلسه مراجعه بفرمایید.

حالا اگه ستون‌های ماتریس تبدیل خطی، از هم مستقل نباشن و بهم وابستگی داشته باشن چی میشه؟

با یه مثال جواب این سوال رو میدیم. حالت زیر رو در نظر بگیرید. ستون‌های این ماتریس بهم وابستگی دارن و از هم مستقل نیستن. همونطور که مفاهیم استقلال و وابستگی بردارهارو در جلسه گذشته بررسی کردیم، وابسته بودن دو بردار بهم، به این معنیه که یکی از بردارها، اسکیل شده بردار دیگه هست و از روی اون به دست میاد.

حالا اگه با این تبدیل خطی بردارهای i و j رو به فضای جدید ببریم، به دستگاه مختصات زیر می‌رسیم. این دستگاه مختصات یک بعدیه و فقط یک محور داره.

احتمالا الان که همه این مفاهیم رو بررسی کردیم، تعریف زیر رو که در کتاب‌ها و منابع مختلف دیدیم رو راحت‌تر بشه درک کرد و فهمید.

یک تبدیل مانند L زمانی خطی هست که دو ویژگی زیر رو داشته باشه:

البته در جلسات آینده این تعریف از جهات دیگری هم بررسی خواهد شد.

جمع‌بندی مطالب گفته شده

• مفهوم تبدیل و transformation
• مفهوم تبدیل خطی یا linear transformation
• بررسی رابطه ماتریس‌ها و تبدیل‌های خطی
• بررسی انواع تبدیل‌های خطی معروف مانند shear

اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.

ویدیو این جلسه

محتوای جلسه قبلی (جلسه دوم)

محتوای جلسه بعدی (جلسه چهارم)