منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفاً برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
با یک سوال بحث این جلسه رو شرع می‌کنیم. بردار چیست؟ بردار می‌تونه مثلاً یک پیکان در صفحه دو بعدی باشه که مولفه‌هاش رو حساب کنیم. یا می‌تونه یک جفت عدد باشه که برای بهتر نشون دادنش از دستگاه مختصات و پیکان استفاده کردیم.
ممکنه چیزهای دیگه‌ای هم وجود داشته باشه که بتونیم بعنوان بردار در نظر بگیریم. مثل توابع. یک تابع هم می‌تونه به خودی خود یک بردار باشه.
همچنین، می‌تونیم دو تابع رو باهم جمع کنیم و یک تابع جدید به وجود بیاریم. مثلاً، همین مثال بالا رو در نظر بگیرید. می‌تونیم دو تابع f و g رو باهم جمع کنیم و یک تابع جدید بسازیم.
این کار مثل جمع دو بردار میمونه. در جمع دو بردار چیکار می‌کردیم؟ هر مولفه از بردار اول رو با مولفه نظیر به اون از بردار دوم جمع می‌کردیم و در نهایت بعنوان جواب به یک بردار جدید می‌رسیدیم که از جمع دو بردار به دست اومده بود.
همچنین، می‌تونیم یک تابع رو در یک عدد ثابت ضرب کنیم و بردار جدیدی رو بسازیم. دقیقاً مانند scale کردن بردارها.
حالا در ادامه می‌خوایم این رو بررسی کنیم که آیا می‌تونیم مثل بردارها، تبدیل‌های خطی، null space، ضرب داخلی، بردارهای ویژه و مفاهیم دیگه رو هم برای توابع داشته باشیم؟
در مورد تبدیل‌های خطی، جواب بله هست. می‌تونیم رو یک تابع، تبدیل خطی بزنیم و یک تابع دیگه در خروجی داشته باشیم.
مثلاً یکی از تبدیل‌های خطی که می‌تونیم برای توابع داشته باشیم، مشتق هست. چون می‌تونه یک تابع رو در ورودی تبدیل به یک تابع دیگه در خروجی بکنه.
حالا ممکنه سوال پیش بیاد که منظور از تبدیل خطی روی یک تابع چی می‌تونه باشه؟ آیا اصلاً وجود داره؟
برای جواب دادن به این سوال، بیاید اول تعریف خطی بودن رو بررسی کنیم. چیزی که اینجا بررسی خواهیم کرد با چیزی که در جلسات ابتدایی در مورد خطی بودن گفتیم کمی تفاوت داره.
به هر چیزی که دو خاصیت جمع‌پذیری و scaling براش قابل تعریف باشه، خطی گفته میشه.
یعنی چی جمع‌پذیر باشه؟ فرض کنید در دستگاه مختصات اولیه هستیم، دو بردار داریم و باهم جمعشون کردیم.
حالا تو همین حالت یک تبدیل می‌زنیم و فضا رو می‌بریم به یک حالت دیگه. بردار سرخابی که حاصل جمع دو بردار زرد و صورتی بود و در این فضا تغییر می‌کنه، باید تو این حالت مجدداً برابر بشه با جمع تبدیل‌یافته بردار زرد و تبدیل یافته بردار صورتی.
به عبارتی دیگه، اگه من در فضای عادی باشم و دو بردار رو جمع کنم و رو حاصل جمعشون یک تبدیل بزنم، اگه تبدیل خطی باشه و خاصیت جمع‌پذیری داشته باشه، تو فضای تبدیل یافته، جمع دو بردار تبدیل یافته باید برابر بشه با اون بردار.
حالا خاصیت مقیاس‌پذیری چیه؟ اینطور در نظر بگیرید که انگار در فضای اولیه هستیم و یک بردار داریم که در یک عدد دلخواه مثل c اسکیل شده.
حالا، یک تبدیل می‌زنیم و میریم به فضای جدید. اگر تبدیلی که زدیم خطی باشه و خاصیت مقیاس‌پذیری داشته باشه، باید در فضای جدید اسکیل کردن بردار تغییر یافته در c معادل بشه با حالتی که روی cV تبدیل می‌زنیم.
یکم قبل‌تر گفتیم که مشتق یک تبدیل خطیه. چرا؟ بیاید در قالب یک مثال بررسی کنیم. تصویر زیر رو ببینید. خط دوم داره بهمون میگه اگه ما دو تابع مختلف داشته باشیم، باهم جمعشون کنیم و بعد مشتق بگیریم، مثل این میمونه که بیایم جدا جدا روی هر کدوم از تابع‌ها مشتق رو اعمال کنیم و بعد باهم دیگه جمعشون کنیم. پس تا اینجا دیدیم که مشتق خاصیت جمع‌پذیری رو داره.
تصویر زیر داره نشون میده که مشتق خاصیت مقیاس‌پذیری رو هم داره. پس تونستیم نشون بدیم که مشتق یک تبدیل خطیه.
حالا بیاید مشتق رو به کمک ماتریس‌ها تعریف کنیم. فرض کنید فضایی رو هم که داریم به تمام چندجمله‌ای‌ها محدود کردیم.
اولین کار اینکه بیایم دستگاه مختصات رو بسازیم و بردارهای پایه رو مشخص کنیم.
فرض کنید بردارهای پایه رو به صورت زیر در نظر گرفتیم. از اونجایی که توان چندجمله‌ای‌های دلخواه می‌تونه تا بی‌نهایت پیش بره، پس می‌تونیم بی‌نهایت تا بردار پایه داشته باشیم.
به این ترتیب یک چندجمله‌ای که درجه‌ش 2 هست می‌تونه به صورت زیر تعریف بشه و بعد از ردیف سوم به بعد، بی‌نهایت تا 0 داشته باشه.
بعنوان یک مثال دیگه، تصویر زیر رو ببینید.
به صورت کلی هر چندجمله‌ای رو که در نظر بگیریم از یک سطری به بعد شامل کلی 0 خواهد بود.
اگه ماتریس مشتق رو بسازیم و در برداری که از روی چندجمله‌ای ساخته شده ضرب کنیم، در نهایت انگار حاصل مشتق از چندجمله‌ای رو به صورت ماتریسی حساب کردیم. جلوتر بررسی می‌کنیم که چجوری ماتریس رو باید بسازیم. چون مشتق خطیه بخاطر همین می‌تونیم چنین چیزی رو براش تعریف کنیم.
حالا این ماتریس رو چجوری بسازیم؟ باید بیایم از هر بردار پایه نسبت به ایکس مشتق بگیریم و در هر ستون قرار بدیم. مثلا ستون اول به صورت زیر ساخته میشه:
ستون دوم به صورت زیر:
و ستون سوم به شرح زیر:
حالا با توجه به چیزی که تا اینجا بررسی کردیم، مشتق گرفتن و ضرب ماتریس در بردار عملاً از یک خانواده به حساب میان.
خیلی از مباحثی که در جبر خطی وجود داره، با نام متفاوت در توابع می‌تونه وجود داشته باشه.
برگردیم به سوالی که اول این جلسه مطرح کردیم. بردار چیست؟ حقیقت اینکه در ریاضیات چیزهای زیادی وجود داره که می‌تونه بردار باشه.
یک سری پیکان، لیستی از اعداد، توابع یا هرچیز دیگه‌ای که بخواید بعنوان بردار در نظر بگیرید، همشون می‌تونن بردار باشن. ولی قضیه اینکه باید بتونید برای چیزی که می‌خواید بعنوان بردار ارائه بدین بتونید تبدیل خطی، null space، بردار ویژه، ضرب داخلی و تمام مفاهیم دیگه رو که تا این جلسه باهم بررسی کردیم، تعریف کنید.
در واقع به هر کدوم از این تعریف‌های متفاوت که می‌تونن بردار رو تعریف کنن فضای برداری گفته میشه.
در واقع، ریاضی‌دان‌ها برای اینکه بتونن نشون بدن که هر چیز دیگه‌ای به جز مواردی که تا اینجا دیدیم می‌تونه بردار باشه، اومدن یک سری اصل رو تعریف کردن. با استفاده از این اصول هر کسی می‌تونه هر چیزی رو بعنوان بردار معرفی کنه. فقط به این شرط که چیزی که تعریف کرده بتونه 8 اصل زیر رو پاس کنه. در واقع هر فضای برداری با این 8 اصل زیر مشخص میشه.
در حقیقت این اصول تعریف شده فقط یک سری قانون نیستن، بلکه نقش یک واسط رو بازی می‌کنن که بین ریاضی‌دان‌ها و بقیه افراد عادی وجود داره.
فرض کنید یه نفر میاد میگه که من یه فضای برداری احمقانه ساختم از گونه‌ها مختلف عدد پی!
این کار اشکالی نداره و کاملاً اوکیه. فقط این فرد باید بیاد 8 قانونی رو که بالاتر معرفی کردیم مثل یک چک لیست بررسی کنه و ببینه که آیا هر 8 قانون در مورد فضای برداری‌ای که تعریف کرده صدق می‌کنه یا نه.
اگر صدق کنه بقیه هم می‌تونن ادعاش رو بپذیرن.
در واقع، این طرز نگاه کردن یک جورایی انتزاعیه. یعنی دیگه نمیشه تمامی این فضاهای برداری جدید تعریف شده رو مثل پیکان‌ها در در صفحه رسم کرد.
پرسیدن این سوال که بردار چیست، مثل این میمونه که بپرسیم عدد 3 چیست؟ هر سه تایی از هر چیزی رو می‌تونیم بعنوان عدد 3 در نظر بگیریم. حالا یا می‌تونه مثل تصویر زیر چیزهای واقعی باشه، یا می‌تونه چیزهای انتزاعی باشه. بردار هم همینطوره.
در واقع ما برای اینکه بتونیم مفاهیم مختلفی رو که تعریف می‌کنیم به حالت کلی و جنرال تعمیم بدیم، مجبور میشیم که از حالت‌های انتزاعی استفاده کنیم.
در مورد فضای برداری صحبت کردیم و مفهوم انتزاعی بودن رو بررسی کردیم.
جلسات این دوره اینجا تموم میشه. امیدوارم که مطالبی که منتشر کردم مفید بوده باشه و واقعاً به درد کسی بخوره. همچنین، اگر فکر می‌کنید که چیزی بهتون اضافه شده و نگاهتون به جبر خطی تغییر کرده، کانال یوتیوب 3blue1brown رو دنبال کنید و از بقیه مطالب زیبایی که آقای Grant Sanderson به صورت رایگان منتشر کرده استفاده کنید و حالشو ببرید.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
