منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
در جلسات گذشته با مفهوم تبدیل خطی آشنا شدیم. تو این جلسه قصد داریم این رو بررسی کنیم که وقتی یک تبدیل خطی انجام میشه، دقیقا چقدر بردارها و چیزای دیگه موجود در صفحه کش میان یا کوچیک‌تر میشن. به عبارتی دیگه، می‌خوایم ببینیم مساحتی که توسط بردارهای پایه ساخته میشه، در صورتی که یک تبدیل خطی رخ بده، چه اتفاقی براش میفته و چقدر تغییر می‌کنه. در ادامه در قالب یک مثال این موضوع رو بیشتر بررسی خواهیم کرد.
فرض کنید دستگاه مختصات اولیه و بردارهای پایه به صورت زیر هستن. حالا قراره یک تبدیل خطی انجام بدیم و صفحه مختصات رو تغییر بدیم با توجه به ماتریسی که داده شده.
وقتی تبدیل خطی انحام بشه صفحه مختصات و بردارهای پایه به صورت زیر در میان و تغییر می‌کنن. خطوط آبی رو با تصویر قبلی مقایسه کنید متوجه تغییرات خواهید شد.
حالا میایم روی مساحتی که توسط بردارهای پایه ساخته میشه تمرکز می‌کنیم تا ببینیم اون چه تغییری می‌کنه. تو حالت اولیه و دستگاه مختصات عادی به صورت زیره:
وقتی تبدیل خطی اعمال میشه و دستگاه مختصات تغییر می‌کنه، مساحت اولیه به صورت زیر عوض میشه. حالا مساحت تو حالت قبلی 1 بود، اگه اینجا مساحت ناحیه زرد رو حساب کنیم برابر با 6 میشه.
2 × 3 = 6
با تبدیل خطی shear در جلسات گذشته آشنا شدیم، حالا می‌خوایم ببینیم که اون مساحت اولیه رو چطور تغییر میده. تبدیل خطی shear به صورت زیر صفحه مختصات رو عوض می‌کنه.
مساحت اولیه هم به صورت زیر در میاد و عوض میشه. حالا درسته که مساحت مقدارش همون 1 باقی‌مونده و تغییر نکرده ولی شکل اولیه یک مربع بود و الان یک متوازی‌الاضلاع داریم.
به صورت کلی، اگه بتونیم بفهمیم که اون مربع که بالاتر دیدیم در دستگاه مختصات اصلی، وقتی تبدیل خطی انجام میشه چقدر تغییر می‌کنه، می‌تونیم برای تغییرات در مورد همه چیز دیگه هم در فضای جدید نظر بدیم. به عبارتی دیگه، تغییرات در مورد مساحت اون مربع پایه، بهمون کمک می‌کنه که در مورد تغییرات هر مربع دیگه‌ای از صفحه مختصات جدید نظر بدیم.
حالا اگه یه شکل غیر مربعی داشته باشیم در مورد اون چی می‌تونیم بگیم؟ اونم همینه فرقی نداره فقط کافیه اون شکل غیر مربعی رو با مربع‌های کوچک‌تر تعریف کنیم و مساحتش رو بر حسب اون مربع‌های کوچیک حساب کنیم. یعنی چی؟ یعنی بیایم ببینیم شکل اولیه در دستگاه مختصات اولیه با چند تا از اون مربع‌ها و با چه ابعادی ساخته شده، بعد وقتی تبدیل خطی می‌زنیم اون مربع کوچیک‌ها چه تغییری می‌کنن و چجوری عوض میشن. دو تصویر زیر یه نمونه هست که به درک شهودی بهتر کمک می‌کنه.
حالا اصلا این چیزایی که تا اینجا گفتیم چه ربطی به دترمینان داشت؟ خب قضیه اینکه میزانی که مساحت اولیه بزرگ‌تر میشه یا کوچیک‌تر میشه در واقع همون دترمینانه! یعنی چی؟ یعنی اینکه ما میگیم مساحت اولیه تغییر می‌کنه، یا مساحت بیشتر میشه یا کمتر میشه نسبت به حالت عادی، حالا این تغییر رو با یه ضریب عددی نشون میدیم دیگه، یعنی اون ضریب انگار در 1 ضرب شده. اون ضریب عددی در واقع همون دترمینان یک ماتریس هست. اون ماتریس هم نوع تبدیل خطی رو بهمون نشون میده.
حالا الان دترمینان ماتریس مثال زیر شده 6. این یعنی چی؟ یعنی اینکه اگه دستگاه مختصات اولیه رو تغییر بدیم و تبدیل خطی زیر رو روش بزنیم، مساحت اولیه که مساحت یک مربع به طول 1 بود و حالا اینجا با A نمایشش دادیم، 6 برابر میشه و به صورت زیر در میاد.
حالا اگه دترمینان یک ماتریس بشه 0.5A یعنی چی؟ یعنی تبدیل خطی‌ای که انجام دادیم مساحت اولیه رو به اندازه 0.5 برابر کوچیک‌تر کرده نسبت به حالت اولیه.
حالا یه سوال، وقتی دترمینان یک ماتریس 0 میشه یعنی چی؟ یعنی اینکه فضای جدید دیگه مساحت نداره! یا یک خطه یا یک نقطه! اگه خط باشه اینجوری میشه.
اگه نقطه باشه اینطوری میشه.
حالا اگه دترمینان منفی بشه مقدارش به چه معنیه و چیو نشون میده؟ مثل این می‌مونه که انگار تبدیل خطی جوری باشه که صفحه رو پشت و رو کنه. یعنی چی؟ فرض کنید مثلا روی یک صفحه کاغذ دستگاه مختصات اولیه رو رسم می‌کنید. بعد تبدیل خطی در پشت صفحه کاغذ میفته. همچین چیزی. تو این حالت دترمینان منفی میشه. اندازه‌ش همون مثل قبله مفهومش ولی منفی بودنش داره میگه که صفحه پشت و رو شده.
یه حالت دیگه‌ای که میشه بهش فکر کرد اینطوره. تو دستگاه مختصات اولیه، بردار یکه i سمت راست بردار یکه j هست. مثل عکس زیر.
وقتی تبدیل خطی روش می‌زنیم، بردار یکه i تو فضای جدید میره سمت چپ بردار یکه j در فضای جدید. هر وقت اینجوری بشه دترمینان منفی شده و انگار صفحه رو پشت و رو کردیم.
حالا یه تبدیل خطی انجام شده. وقتی دترمینان ماتریسش رو حساب کردیم حاصل شده 3- یعنی چی؟ یعنی صفحه مختصات اولیه 3 برابر بزرگ‌تر شده و همچنین صفحه پشت و رو شده.
اگه صفحه مختصات اولیه رو با دترمینان و مساحت 1 هی فشرده‌تر کنیم، یعنی زاویه بین محور x و y رو از 90 درجه کم و کمتر کنیم، مقدار دترمینان شروع می‌کنه کم و کمتر شدن و تو لحظه‌ای که زاویه بین دو محور 0 باشه، عملا دو محور روی هم میفتن و هیچ مساحتی ندارن و دترمینان صفر میشه. اینجوری در نظر بگیرید که محور y رو ثابت نگه داشتیم و محور x رو داریم در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخونیم. وقتی زوایه از 90 به 0 میرسه، دوباره ادامه میدیم چرخوندن محور x رو و محور x میفته سمت چپ محور y. تو این حالت هم دترمینان باز داره کم میشه. انقدر کم میشه تا به مقدار 1- میرسه. اگه چیزی که توضیح دادیم رو نمودارش رو رسم کنیم، شبیه زیر میشه:
خب تا اینجا فهمیدیم دترمینان در فضای دو بعدی داره بهمون چی نشون میده. حالا اگه فضا سه بعدی بشه چی؟ اون موقع مفهومش چیه؟ اینجا هم همونه. داره بزرگ‌تر شدن یا کوچیک‌تر شدن رو مشخص می‌کنه، ولی به‌جای مساحت داره حجم اولیه رو تغییر میده. حجم اولیه چیه؟ یک مکعب با ابعاد 1 در 1 در 1 که از بردارهای پایه ساخته شده.
حالا اگه تو فضای سه‌بعدی دترمینان 0 بشه نشون دهنده چی می‌تونه باشه؟ یعنی اینکه ابعاد سه بعدی رو به ابعاد دو بعدی، یک بعدی یا صفر بعدی کاهش دادیم. به عبارتی دیگه، یعنی بردارهای پایه تو فضای سه بعدی، یک صفحه یا یک خط یا یک نقطه رو دارن مشخص می‌کنن که هیچ کدوم هم حجم ندارن. این قضیه رو می‌تونیم به وابستگی خطی هم ربط بدیم. تعریف وابستگی و استقلال خطی رو در جلسات قبلی بررسی کردیم. یعنی اگه ماتریسی که داره بردارهارو در فضای سه بعدی نشون میده ستون‌هاش بهم وابستگی خطی داشته باشن، باعث میشه دترمینان تو این حالت صفر بشه. (اگه حال داشتین یکم بیشتر در این مورد خودتون فکر کنید و سعی کنید ربط بدین موضوعات رو بهم دیگه. اگه هم حال نداشتین ویدیو این جلسه رو یه دور ببینید.)
حالا دترمینان منفی در فضای سه‌بعدی چیو نشون میده؟ میشه برای توضیح دادن مفهومش از قانون دست راست که تو فیزیک دبیرستان داشتیم استفاده کرد. یعنی انگشت اشاره دست راست رو معادل با بردار یکه i در نظر بگیریم، انگشت وسط دست رو معادل با بردار یکه j و انگشت شست دست راست رو معادل بردار یکه k.
حالا اگه بعد از تبدیل خطی همچنان با قانون دست راست بشه بردارهای یکه رو معادل کرد یعنی جهت (orientation) تغییری نکرده و دترمینان مثبته. ولی اگه بردارهای یکه در فضای جدید با قانون دست راست نخونن، یعنی همون مواردی که توضیح داده شد با دست چپ انجام بشه، به این معنی هست که جهت عوض شده. جهت عوض شه چی میشه؟ دترمینان منفی میشه!
حالا که تا اینجا مفهوم و شهود دترمینان رو درک کردیم بریم یه نگاهی به فرمولش هم بندازیم که چطوره.
در فضای دو بعدی دترمینان به صورت زیر محاسبه میشه:
حالا این فرمول اصلا از کجا اومده؟ در ادامه این رو می‌خوایم بررسی کنیم.
فرض کنید مقدار b و c تو فرمول بالا 0 باشه. این چیو نشون میده؟ مقدار a نشون میده که مربع اولیه در جهت محور x چقد کش میاد یا کوچیک میشه و مقدار d نشون میده که در راستای محور y چقد مربع اولیه ضلعش بزرگ میشه یا کوچیک میشه. حالا الان یه مستطیل داریم که می‌خوایم مساحتش رو حساب کنیم. مساحت همون دترمینان بود دیگه تو فضای دو بعدی، پس میشه حاصل طول در عرض.
حالا اگه تو فرمول بالا c مقدارش 0 باشه چیو نشون میده؟ مثل یک متوازی‌الاضلاع می‌مونه که قاعده‌ش برابر با a هست و ارتفاعش برابر با d. پس همچنان برای محاسبه مساحتش داریم ارتفاع در قاعده.
به صورت کلی حاصل‌ضرب bc نشون میده که متوازی‌الاضلاعی که داریم در جهت قطری (نیمساز ناحیه اول و سوم دستگاه مختصات اولیه) چقد بزرگ و کوچیک میشه. اگه می‌خواید مفهوم این جمله رو بهتر درک کنید به دقیقه 8:27 از ویدیو این جلسه مراجعه کنید تا به کمک انیمیشن‌هایی که وجود داره شهود بهتری پیدا کنید.
به صورت کلی فرمول دترمینان در فضای دو بعدی به صورت زیر محاسبه میشه و از اینجا میاد:
همچنین، فرمول محاسبه دترمینان در فضای سه بعدی به صورت زیر است. با توجه به توضیحاتی که برای فرمول دترمینان در فضای دو بعدی ارائه شد، شهود فرمول زیر می‌تواند راحت‌تر قابل درک باشد.
رابطه زیر برای دو ماتریس M1 و M2 برقرار است. از آنجایی که الان با مفهوم دترمینان آشنایی داریم و همچنین در جلسات گذشته فهمیدیم که ضرب دو ماتریس عملاً چه چیزی را نشان می‌دهد، می‌توان به سادگی درستی فرمول زیر را ثابت کرد.
از آنجایی که تحلیل جزییات دو بخش پایانی (فرمول دترمینان ماتریس‌ها در فضای سه‌بعدی و رابطه بالا) به مخاطب واگذار شده در صورتی که نظری داشتید در کامنت‌ها به اشتراک بذارید.
به شدت پیشنهاد می‌کنم که ویدیو این جلسه رو یک نگاهی بهش بندازید تا به کمک انیمیشن‌هایی که نشون داده میشه درک بهتری نسبت به مطالبی که توضیح داده شد پیدا کنید.
شهود دترمینان در فضای دو بعدی و سه بعدی رو بررسی کردیم.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
