منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
معمولا در اکثر منابعی که برای جبر خطی وجود داره، ضرب داخلی یکی از مباحثی است که در همون ابتدا عنوان میشه. اما از اونجایی که نیاز به مفهوم تبدیل خطی داریم تا بتونیم مفهوم ضرب داخلی رو به خوبی درک کنیم، برای همین در جلسات اولیه بهش نپرداختیم. حالا در ادامه، به توضیح مفصل این مفهوم خواهیم پرداخت.
فرض کنید دو تا بردار (یا به عبارتی دیگه، دو لیست با سایز یکسان) داریم که ابعادشون هم یکی هست. مثل تصویر زیر.
حالا برای ضرب داخلی، بین این دو بردار علامت نقطه (دات) می‌ذاریم. حالا، اول باید بیایم هر ردیف رو در ردیف متناظرش ضرب کنیم.
دوم، نتایج ضرب‌هارو باهم جمع کنیم و به یک جواب عدی برسیم. این میشه ضرب داخلی.
حالا که فرمول ریاضی ضرب داخلی رو با یک مثال دیدیم، می‌خواهیم از دید هندسی هم این مفهوم رو بررسی کنیم.
فرض کنید دو بردار V و W داریم که به صورت زیر تعریف شدن. حالا می‌خوایم ببینیم تعبیر هندسی ضرب داخلی V.W چی میشه.
فرض کنید راستای بردار V رو با یک خط نشون بدیم.
حالا تو قدم بعدی، میایم تصویر بردار W رو روی راستای بردار V در نظر می‌گیریم. بعد از مبدا وصل می‌کنیم به ته تصویر بردار W.
تصویر بردار W، در واقع همون طول تصویر بردار W است.
طول بردار V هم به صورت زیر مشخص میشه.
حالا ضرب داخلی، یعنی من بیام طول تصویر بردار W رو در طول بردار V ضرب کنم.
حالا چون تو مثال بالا جهت تصویر بردار W با بردار V یکسان بود، ضرب داخلی مثبت بود. اگه جهت بردار تصویر شده در راستای یک بردار، با اون بردار متفاوت باشه، ضرب داخلی منفی میشه. الان تو تصویر زیر چون جهت بردار تصویر شده روی راستای V با جهت بردار V متفاوته، پس ضرب داخلی‌شون منفی میشه.
اگه بخوایم به صورت یه قانون کلی نشون بدیم به این صورت میشه گفت:
در ضرب داخلی ترتیب مهم نیست. یعنی ضرب داخلی بردار V در بردار W یکی میشه با ضرب داخلی بردار W در بردار V. به لحاظ هندسی هم بخوایم نشون بدیم به صورت دو تصویر زیر میشه:
حالا می‌خوایم این رو بررسی کنیم که چرا ترتیب مهم نیست.
فرض کنید دو بردار V و W داریم که هم اندازه هستن.
چون ابعاد دو بردار یکیه، انگار که تقارن داریم و می‌تونیم یک خطی رو به نحوه از وسط دو بردار عبور بدیم که فاصله‌ش از هر دو بردار یکی بشه.
حالا این خطِ خط‌چین مثل یک آینه می‌مونه. یعنی چی؟ یعنی فرض کنید بیایم تصویر بردار V روی بردار W در نظر بگیریم. چون دو بردار V و W ابعاد یکسان دارن، تصویر بردار W روی بردار V کاملاً یکی میشه با حالت قبلی و انگار که یه آینه قرار دادیم روی اون خط‌چین‌ها.
حالا فرض کنید میایم بردار V رو در 2 اسکیل می‌کنیم و می‌خوایم این حالت رو بررسی کنیم. چون دیگه دو بردار با طول یکسان نداریم پس دیگه تقارنی هم وجود نداره.
حالا حالتی رو در نظر بگیرید که اومدیم برای محاسبه ضرب داخلی این دو بردار، بردار W را روی راستای بردار 2V تصویر کردیم. نتیجه به صورت زیر میشه. نسبت به حالت قبلی یک ضریب 2 اضافه میشه و این دلیلش اینکه ما اومدیم بردار V رو طولش رو دو برابر کردیم و از اونجایی که تصویر بردار W تغییری نمی‌کنه و مثل حالت قبل می‌مونه، پس در جواب نهایی 2 ظاهر میشه.
حالا اگه بیایم تصویر بردار V روی بردار W رو به دست بیاریم چی؟ تو این حالت بردار W که ثابته و تغییری نکرده اما چون بردار V در 2 اسکیل شده بود، پس تصویرش هم در 2 ضرب میشه پس باعث میشه که جواب نهایی بشه 2VW. پس یعنی ترتیب در جواب نهایی فرقی نداره.
حالا در ادامه می‌خوایم این رو بررسی کنیم که رابطه ریاضی که اول کار ارائه شد، چه ربطی داره به تصویر کردن بردارها؟ برای پاسخ دادن به این سوال، اول باید مفهوم دوگان رو بررسی کنیم. قبل از اینکه در مورد دوگان یا duality چیزی بگیم، اول می‌خوایم تبدیل خطی رو از چند بعدی به فضای یک بعدی که همون محور اعداد دوران ابتدایی هست، یکم دقیق‌تر بررسی کنیم.
گفتیم تبدیل‌ها یک سری تابع هستند و تبدیلی که اینجا می‌خوایم در موردش صحبت کنیم تبدیل‌هایی هستند که ورودی‌شون بردار با تعداد سطرهای بیشتر از 1 هست و تو خروجی برداری رو بهمون میدن که فقط یک سطر داره. یعنی تبدیلی که فضای چند بعدی رو به فضای 1 بعدی مپ می‌کنه. منتها از اونجایی که گفتیم این تبدیل‌ها خطی هستن، یک سری ویژگی‌های دیگه‌ای هم دارن که در جلسه سوم در موردشون صحبت کردیم.
به صورت ریاضی ویژگی خطی داشتن به صورت زیر تعریف میشه. ولی ما با این ریاضیات اینجا کاری نداریم فعلا و به صورت هندسی قراره بگیم خطی بودن یعنی چی.
فرض کنید یک خط رو با تعدادی نقطه زرد رنگ که فاصله‌هاشون از هم یکسانه نشون بدیم.
حالا روی فضای دو بعدی یک تبدیل خطی می‌زنیم و فضا رو یک بعدی می‌کنیم. اگه تبدیل خطی باشه فاصله بین نقاط همچنان در فضای جدید هم حفظ میشه.
ولی اگه یه تبدیلی بزنیم که خطی نباشه دیگه اینجوری نمیشه و فاصله بین نقاط تغییر می‌کنه.
پیشنهاد می‌کنم برای درک شهودی بهتر این تبدیل‌ها، به دقیقه 5:00 از ویدیو این جلسه مراجعه کنید.
قبلا هم گفته بودیم که بعد از هر تبدیل خطی مختصات بردارهای پایه اولیه که i و j بود تغییر می‌کنه. اینجا هم همینه. مثلا تو تصویر زیر مختصات جدیدِ بردارهای i و j برابر با 2 و 1 هست.
برای مرور، یک مثال رو اینجا بررسی می‌کنیم. فرض کنید بردار زرد رنگ رو با مختصات (3, 4) در فضای دو بعدی داریم. حالا می‌خوایم یک تبدیل خطی بزنیم و فضای دو بعدی رو بکنیم یک بعدی. هدف چیه؟ می‌خوایم ببینیم مختصات بردار زرد رنگ در فضای 1 بعدی برابر با چی میشه.
حالا، فرض کنید یک تبدیل خطی زدیم که بردار پایه i رو می‌بره به مختصات 1 و بردار پایه j رو می‌بره به مختصات منفی 2. اینکه داریم هر مختصات رو با یه مولفه نشون میدیم بخاطر اینکه بعد تبدیل خطی، فضا یک بعدی میشه.5
حالا می‌خوایم ببینیم مختصات بردار زرد رنگ تو این فضای جدید چند میشه. چجوری حساب کنیم؟ باید مختصات اولیه بردار زرد رنگ رو که تو حالت قبل از تبدیل خطی داشتیم رو ضرب کنیم در ابعاد i و j در این فضای جدید.
بعد از اینکه ضرب رو کامل انجام بدیم به جواب -2 می‌رسیم که نشون میده مختصات بردار زرد رنگ در فضای جدید چی میشه.
حالا، اینکه ما بیایم فضارو از هر بعدی که هست، روش یک تبدیل خطی بزنیم که فضارو ببریم به حالت یک بعدی، بعد مختصات هر برداری رو در این فضای یک بعدی جدید محاسبه کنیم، دقیقا معادل هست با همون ضرب داخلی!
به صورت کلی، با توجه به همه توضیحاتی که داده شد تا به اینجا، می‌تونیم بگیم بین ماتریس‌های 2 × 1 و بردارها در فضای 2 بعدی یک رابطه‌ای وجود داره. (به جای عدد 2 می‌تونید هر عدد دیگه‌ای رو در نظر بگیرید. برای اینکه بشه شهود هندسی داد و ذهن انسان بتونه تجسم کنه از عدد 2 اینجا استفاده شده.)
از لحاظ ریاضی شاید خیلی فرق بین یک ماتریس 2 × 1 و یک بردار با دو مولفه حس نشه ولی از لحاظ شهودی و هندسی این تفاوت خیلی فاحشه.
برای اینکه بهتر متوجه بشید که کلا قضیه چجوری شد، فرض کنید اصلا نمی‌دونید که ضرب داخلی به تصویر کردن بردارها ربط داره. این دانش اولیه رو کلا بذارید کنار.
در ادامه، می‌خوایم این رو بررسی کنیم که ضرب داخلی هر بردار دلخواه در یک بردار یکّه (برداری که اندازه‌ش 1 هست) به چه صورت میشه. بعد نتیجه رو تعمیم بدیم به ضرب داخلی دو بردار دلخواه.
حالا فرض کنید که ما تونستیم محور یک بعدی اعداد رو یه جوری بیاریم به صورت قطری قرار بدیم تو دستگاه مختصات دو بعدی که مبدا مختصات مپ بشه به 0 محور اعداد. یه چیزی مثل تصویر زیر.
حالا، یک برداری با اسم u رو جوری در نظر می‌گیریم که اندازه‌ش 1 باشه و از مبدا شروع شه و تا جایی که محور اعداد 1 نشون میده بیفته. واضحه که ما می‌تونیم بی‌نهایت‌تا بردار داشته باشیم با مختصات‌های مختلف ولی با اندازه‌ی 1. مثلا بردار با مختصات (2/2√, 2/2√) اندازه‌ش 1 میشه.
حالا اینجوری در نظر بگیرید که ما هر برداری که توی فضای دو بعدی هست رو می‌تونیم مپ کنیم به این محور اعداد و فقط با یک عدد نشونش بدیم. یعنی هر بردار با 2 مولفه، بتونه معادل بشه با یک عدد. هر بردار در فضای دو بعدی رو با یک پیکان صورتی نشون دادیم.
حالا از شیوه نمایش نقطه‌ای برای بردارها استفاده کردیم و پیکان‌هارو تبدیل کردیم به نقطه.
در ادامه، فرض کنید یه تابعی که خطی هم هست تعریف کردیم که میاد هر کدوم از نقطه‌هارو با توجه به مختصاتی که دارن مپ می‌کنه به این محور اعداد.
پس الان تونستیم هر بردار با دو مولفه رو با یک عدد روی محور اعداد نشون بدیم.
از طرفی، این رو هم در نظر داشته باشید که ما این محور اعداد رو جوری در نظر گرفتیم که به صورت تبدیل خطی عمل کنه و ویژگی‌های اون رو داشته باشه.
الان ما هر بردار با دو مولفه رو به کمک این چیزایی که تا اینجا تعریف کردیم می‌تونیم مپ یا تصویر کنیم به یک عدد و روی محور اعداد نمایش بدیم. ولی، بردار u رو به نحوی انتخاب کردیم که با وجود اینکه دو تا مولفه داره و یک عدد نیست، ولی روی عدد 1 از محور اعداد بیفته. (بردار u رو محور قطری داره عدد 1 رو نشون میده ولی در واقع یک برداره و دو تا مولفه داره.)
حالا ما خروجی رو دیدیم که هر بردار معادل شد با یک عدد. ورودی رو هم که داشتیم و یک بردار بود. الان دنبال این هستیم که بفهمیم که تبدیل خطی‌ای که انجام دادیم چجوری این کارو کرد. در واقع دنبال پیدا کردن مولفه‌های ماتریس تبدیل خطی هستیم.
حالا، برای اینکه بفهمیم مولفه‌های ماتریس تبدیل خطی چیه، باید بفهمیم سر i و j اولیه روی محور اعداد چی میاد. برای این کار یکم دقیق‌تر میشیم روی بردار u.
اگه بتونیم بفهمیم مختصات بردارهای i و j بعد از مپ شدن روی محور اعداد برابر با چه عددی میشه، تمومه و ماتریس تبدیل خطی رو می‌تونیم پیدا کنیم.
اول میریم سراغ بردار i. چون اندازه دو بردار i و u برابر با 1 هست (بردار i که بردار یکه هست اندازه‌ش یکه. بردار u رو هم همون اول گفتیم جوری انتخاب می‌کنیم که اندازه‌ش 1 بشه)، پس می‌تونیم خط تقارن از وسطشون بکشیم (شبیه موردی که یکم قبل‌تر بررسی کردیم.)
حالا چون اندازه دو بردار i و u باهم یکیه، فرقی نمی‌کنه ما بیایم تصویر بردار i روی بردار u رو در نظر بگیریم یا تصویر بردار u روی بردار i. هر دوش یکی میشه. اگه بتونیم بفهمیم اندازه تصویر بردارها روی هم دیگه چی میشه، تونستیم این رو بفهمیم که بردار i بعد از مپ شدن روی محور اعداد برابر با چه عددی میشه.
حالا، قبول دارید که تصویر بردار u روی بردار i یا تصویر بردار i روی بردار u معادل هست با همون مختصات بردار u در راستای محور x؟ از اونجایی که تصویر بردار u روی بردار i داره همون مختصات بردار u در راستای محور x رو نشون میده می‌تونیم اینو بگیم. ولی اگه همچنان این رو نمی‌تونید قبول کنید به جلسه اول مراجعه کنید تا اوکی بشه.
پس تا اینجا فهمیدیم که تصویر بردار i روی بردار u و برعکس معادل هست با همون مختصات بردار u در راستای محور x و این برابر هست با جایی که بردار i بعد از تبدیل خطی در اونجا فرود میاد.
تمام این چیزایی که برای بردار i بررسی کردیم، برای بردار j هم صدق می‌کنه. چرا؟ چون بردار j اندازه‌ش یکه و راستایی که داره معادل هست با محور y. پس مختصات بردار u در راستای محور y میشه همون جایی که بردار j بعد از تبدیل خطی خواهد داشت.
حالا، اگه بیایم هر بردار دلخواهی رو در فضای دو بعدی در نظر بگیریم، بعد در اون مختصاتی که بالا به دست آوردیم ضرب کنیم، می‌تونیم بفهمیم که تو محور اعداد کجا میفته. به عبارتی دیگه، بعد از تبدیل خطی مختصاتش چی میشه. مختصاتی هم که برای ماتریس تبدیل به دست آوردیم برابر بود با مولفه‌های بردار u.
در جلسات گذشته دیده بودیم که وقتی بخوایم مختصات یک بردار رو در فضای جدید پیدا کنیم، اول باید ببینیم بردارهای پایه در فضای جدید به چی مپ میشن، بعد اگه بیایم ماتریس تبدیل رو در مختصات برداری که داریم ضرب کنیم بهمون میگه که مختصات بردار در فضای جدید چی میشه.
این کاری که می‌کنیم دقیقا معادل هست با همون ضرب داخلی.
تصویر زیر خیلی گویاتره:
الان واضح شد که چرا ضرب داخلی هر بردار دلخواهی با یک بردار یکّه اینجوری تعریف میشه و چرا میگیم وقتی ضرب داخلی این دو بردار رو انجام میدیم در واقع داریم اندازه تصویر بردار رو روی راستای بردار یکّه حساب می‌کنیم. برای شهود بهتر سه تصویر زیر رو ببینید.
حالا اگه برداری که داریم یکه نباشه چی؟ مثلا فرض کنید بردار u که یک بردار یکّه بود در عدد 3 ضرب بشه. قبول دارید که در این حالت، مثل این می‌مونه که انگار هر مولفه در راستای محور x و y هم انگار 3 برابر میشه دیگه؟
اینکه مولفه‌های x و y سه برابر میشن، مثل این می‌مونه که بگیم تصویر بردارهای i و j هم دارن تو این حالت سه برابر میشن نسبت به حالت قبلی. یعنی انگار اول اومدیم برداهارو تصویر کردیم بعد در یک ضریب 3 هم ضرب شد.
حالا تو همین حالت هم که ماتریس تبدیلمون اینجوری شده باز هر برداری داشته باشیم بخوایم ببینیم در فضای جدید کجا میفته و به چه عددی مپ میشه، کافیه فقط ماتریس تبدیل رو در اون بردار ضرب کنیم. پس چی شد؟ برای اینکه هر برداری رو به محور اعداد مپ کنیم باید بیایم ماتریس تبدیلش رو به دست بیاریم و سپس ماتریس تبدیل رو در اون بردار ضرب کنیم. این معادله با همون ضرب داخلی و تصویر کردن یک بردار روی یک بردار دیگر.
می‌خوایم رابطه این چیزایی که تا اینجا بررسی کردیم رو با مفهوم دوگان یا duality بررسی کنیم.
به صورت کلی، هر وقت یک ماتریس 2 × 1 دیدین، به این صورت در نظر بگیرید که انگار یک بردار یونیک با همون مولفه‌های ماتریس 2 × 1 در فضای دو بعدی وجود داره. جزییاتش رو یکم پیش‌تر کامل بررسی کردیم و الان می‌دونیم چرا میشه اینجوری در نظر گرفت.
به یه همچین مفهومی در ریاضیات دوگان گفته میشه. به صورت کلی اگه بشه دو تا چیز متفاوت در ریاضی رو بهم ربط داد و متناظر باهم دونست، دوگان گفته میشه بهش. الان اینجا ضرب داخلی یک بردار با دو مولفه، دوگانش میشه ضرب یک ماتریس 2 × 1 در اون بردار و برعکس.
مفهوم ضرب داخلی رو بررسی کردیم و دیدیم که ضرب داخلی دو بردار در هم معادل با تصویر کردن یک بردار روی بردار دیگر است. همچنین دیدیم که تبدیل خطی‌ای که فضای اولیه رو به فضایی ببره که بردارها فقط با یک عدد مشخص بشن (فضای اولیه مپ بشه به یک بعد که همون محور اعداد هست)، یه جورایی معادل هست با ضرب داخلی. یعنی اگه بخوایم بفهمیم مختصات هر بردار دلخواهی در فضای جدید 1 بعدی چی میشه، باید بیایم ماتریس تبدیل رو در مختصات اون بردار ضرب کنیم که این عیناً همون ضرب داخلی دو بردار است.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
