منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
تا به اینجا هر تبدیل خطی‌ای که در جلسات گذشته دیدیم در مورد ماتریس‌های مربعی بوده. یا ماتریس‌ها 2 در 2 بودن یا 3 در 3. ماتریس 2 در 2 یعنی در فضای دو بعدی هستیم و دو بردار پایه داریم و ماتریس 3 در 3 یعنی در فضای سه بعدی هستیم و سه بردار پایه داریم. حالا با این تعاریف ماتریس‌های غیر مربعی در واقع چی دارن بهمون نشون میدن؟
از جلسات قبلی می‌دونیم که هر ماتریس در واقع یک تبدیله که باید بهش به صورت ستونی نگاه کنیم و هر ستون معادل با مختصات جایی هست که بردار پایه اولیه در فضای جدید داره.
تبدیل خطی حتی می‌تونه بین ابعاد فضا هم رخ بده. یعنی چی؟ یعنی اینکه مثلا یه بردار داشته باشیم تو صفحه و در دو بُعد و با دو مولفه، بَعد روش تبدیل بزنیم و در نتیجه بره به یک فضای سه بعدی.
حالا چرا این تبدیل بالا یک تبدیل خطیه؟ چون وقتی تبدیل انجام میشه، مبدا مختصات عوض نمیشه و خطوط دستگاه مختصات همچنان موازی می‌مونن و فاصله بین خطوط هم یکسانه. تصویر زیر داره این تبدیل خطی رو نمایش میده که چطوری یک ورودی دو بعدی مپ میشه به یک خروجی سه بعدی.
مختصات دقیق برداری که در فضای سه بعدی نمایش داده شده به صورت زیر هست. ستون اول داره میگه تو فضای جدید بردار پایه i کجا بره و ستون دوم داره میگه تو فضای جدید بردار پایه j کجا بره.
اینم واضحه که برای اینکه ابعاد یک ماتریس رو بگیم اول تعداد ردیف‌هاشو میگیم و بعد تعداد ستون‌هاشو. الان همین مثال بالا یک ماتریس 3 در 2 هست.
برای این مثال، Column Space که مفهومش رو در جلسه گذشته بررسی کردیم و معادل بود با همون Span (جایی که تمام ترکیب خطی‌های مختلف از دو بردار پایه قرار می‌گیرن)، معادل با یک صفحه میشه که از مبدا مختصات میگذره و در فضای سه بعدی قرار می‌گیره. اینکه چرا یک صفحه رو تشکیل میده که واضحه. دو تا ستون داریم که معادل با مختصاتی هستن که بعد از تبدیل خطی، بردارهای پایه i و j معادل میشن باهاش و چون هم راستا نیستن پس یک صفحه رو تشکیل میدن. حالا چرا در یک فضای سه بعدی؟ چون که مختصات هر بردار داره با سه تا مولفه مشخص میشه. مثلا اگه به جای یک ماتریس 3 در 2 یک ماتریس 5 در 2 داشتیم، فضا 5 بعدی میشد.
حالا این ماتریس فول رنکه. مفهوم رنک ماتریس و فول رنک بودن رو هم در جلسه گذشته بررسی کردیم. چرا فول رنکه؟ چون ابعاد Column Space تو این فضای جدید برابر هست با ابعاد فضای ورودی‌مون و هر دو برابر با 2 هستن. فضای ورودی رو از کجا بفهمیم چند بعدیه؟ از تعداد ستون‌ها که همون تعداد بردارهای پایه رو نشون میده.
پس الان فهمیدیم که وقتی یک ماتریس غیر مربعی مثلا 3 در 2 داریم، داره اینو بهمون نشون میده که انگار یک فضای دو بعدی رو به یک فضای سه بعدی مپ کردیم. یعنی، دو ستون داریم که میگه فضای ورودی‌مون دو بعدی بوده و دو بردار پایه داشتیم و همچنان در فضای جدید هم داریم. حالا سه ردیف داریم که میگه مختصات بردارهای پایه در فضای جدید با سه مولفه تعریف میشه و انگار فضا سه بعدیه.
می‌تونیم این مفهوم رو تعمیم بدیم به هر ماتریس غیر مربعی دیگه‌ای. الان مثلا، یک ماتریس 2 در 3 داره چیو نشون میده؟ داره میگه من یک دستگاه مختصات با دو محور دارم و سه تا بردار پایه که باعث میشه فضام سه بعدی بشه. یعنی انگار یک فضای سه بعدی رو به یک فضای دو بعدی مپ کردیم.
تبدیل خطی مثال بالا شبیه تصویر زیر میشه:
حتی می‌تونیم تبدیل‌هایی داشته باشیم که به جای زیاد کردن ابعاد، بعد رو کاهش بدن. مثلا ورودی رو دو بعدی بدیم، خروجی رو یک بعدی تحویل بگیریم. محور یک بعدی رو از ریاضیات ابتدایی باهاش آشنایی داریم.
تو این مثال ورودی‌مون یک فضای دو بعدیه:
خروجی‌مون یک بعدیه و بردارهای پایه مثلا به صورت زیر مپ میشن روش:
حالا این تبدیل هم خطیه. چرا؟ اینجوری فرض کنید که مثلا یک خطی رو در فضای دو بعدی با یک سری نقطه زرد رنگ که فاصلشون هم باهم یکسانه مثل تصویر زیر نشون بدیم:
حالا وقتی تبدیل رو انجام میدیم و فضا رو ابعادش رو کم می‌کنیم این نقطه‌ها تو فضای جدید هم فاصله‌شون حفظ میشه و فاصله هر نقطه با نقطه دیگه برابر می‌مونه. مبدا مختصات هم که سر جاشه. پس تبدیل خطیه.
ماتریس تبدیلی که فضای دو بعدی رو به یک بعدی کاهش میده تو تصویر زیر آورده شده. دو ستون داریم یک سطر. دو ستون داره میگه که فضای ورودی دو بعدی بوده و ما دو بردار پایه داریم. یک سطر داره میگه که فضای جدیدم یک بعدیه و هر بردار پایه رو صرفا با یک مولفه میشه نشون داد.
این مطالبی که این جلسه بررسی کردیم یه جورایی به مفهوم ضرب داخلی ربط دارن. جلسه بعدی دقیق‌تر بررسی خواهیم کرد.
به شدت پیشنهاد می‌کنم که ویدیو این جلسه رو یک نگاهی بهش بندازید تا به کمک انیمیشن‌هایی که نشون داده میشه درک بهتری نسبت به مطالبی که توضیح داده شد پیدا کنید.
ماتریس‌های غیر مربعی رو بررسی کردیم و فهمیدیم که به صورت شهودی و هندسی هر ماتریسی چه چیزی رو بهمون نشون میده.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
