منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
هر وقت از عبارت دستگاه معادلات خطی استفاده کنیم، به این معنیه که یک لیست از متغیرها داریم که مقدارش رو نمی‌دونیم و یک سری معادله داریم که با اون متغیرها ارتباط دارن.
یکی از مزایایی که جبر خطی داره اینکه در حل معادلات می‌تونه بهمون کمک کنه. البته نه هر معادله‌ای، فقط اون‌هایی که فرم خطی دارن. یعنی چی؟ یعنی متغیر‌هامون در یک عدد ثابت یا همون scaler ضرب شدن و بعد باهم جمع شدن. فرم توانی، رادیکالی، سینوسی، ضرب متغیرها در هم یا هر فرم دیگه‌ای از متغیرها پذیرفته نیست. در دستگاه معادلات خطی، تمام متغیرها میرن سمت چپ مساوی و تمام اعداد ثابت میرن سمت راست مساوی. برای اینکه فرم نوشتاری درست در بیاد، در معادلاتی که متغیر خاصی رو نداریم از ضریب 0 استفاده می‌کنیم.
دستگاه معادلات رو میشه به فرم ضرب ماتریس در بردار هم درآورد. تمام ضرایب رو در یک ماتریس قرار میدیم و اسمش رو می‌گذاریم A. متغیرها رو در بردار X و جواب رو که اعداد ثابت هستن در بردار V قرار میدیم.
حالا می‌خوایم شهود هندسی رابطه Ax=v رو بررسی کنیم که دقیقا داره چیو نشون میده بهمون. ماتریس A میگه قراره یک تبدیل خطی بزنیم. حالا کل رابطه چیو نشون میده؟ این رو میگه که من دنبال بردار x در دستگاه مختصات اولیه به نحوی هستم که پس از اینکه تبدیل خطی زدم و سیستم مختصات رو از حالت اولیه تغییر دادم بردم تو یه فضای جدید، بردار x بیفته روی بردار v. به عبارتی دیگه، داره میگه می‌خوام بردار x رو جوری پیدا کنم که وقتی تبدیل خطی زدم بردار x تو فضای جدید بیفته رو بردار v.
تصویر زیر دو بردار x و v رو در دستگاه مختصات اولیه نشون میده.
حالا هدف اینکه مختصات بردار x رو در فضای اولیه جوری پیدا کنیم که وقتی تبدیل خطی زدیم، بردار x بیفته روی بردار v. مثل تصویر زیر.
به صورت کلی جواب‌هایی که داریم دو حالت داره و بستگی داره به ماتریس A و تبدیل خطی‌ای که داریم. یه حالت وقتیه که تبدیل خطی ابعاد رو کم نمی‌کنه. به عبارتی دیگه، دترمینان مقدارش غیر 0 میشه. یه حالت دوم هم اینکه تبدیل خطی باعث میشه از ابعاد کم بشه و در نهایت دترمینان مقدارش 0 بشه. اگه رابطه بین دترمینان و ابعاد رو متوجه نمی‌شین، محتوای جلسه قبلی رو مطالعه کنید.
مثلا صفحه رو در نظر بگیرید. اگه بعد از تبدیل خطی همچنان فضامون به صورت یک صفحه باشه و دو بعد داشته باشه یعنی دترمینان که معادل بود با مساحت همچنان به صورت مساحت باقی‌مونده و 0 نشده. حالا اگه بعد تبدیل خطی صفحه معادل بشه با یک خط یا نقطه یعنی دترمینان 0 شده و ابعاد فضا کاهش پیدا کرده.
تو این حالت ما فقط و فقط یک جواب داریم. یعنی چی؟ یعنی بعد اینکه تبدیل خطی می‌زنیم بردار x فقط و فقط روی یک بردار میفته که همون بردار v هست.
برعکس چیزی که بالا گفتیم هم صادقه. یعنی اگه دستگاه مختصات تبدیل یافته رو دوباره برگردونیم به حالت اولیه بردار x بر میگرده سر جای اولش.
همین جا بهتره که مفهوم معکوس ماتریس رو هم بررسی کنیم. چون وقتی داریم حالت تبدیل یافته رو به حالت اولیه برمی‌گردونیم انگار داریم تبدیل معکوس انجام میدیم. معکوس ماتریسی مثل A در تصویر زیر نشون داده شده:
برای مثال اگه تبدیل خطی چرخش 90 درجه دستگاه مختصات اولیه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت باشه:
تبدیل معکوسش میشه چرخش 90 درجه‌ی نتیجه در جهت عقربه‌های ساعت:
اگه تمایل دارید مثال تبدیل و تبدیل معکوس shear رو هم ببینید به دقیقه 4:35 از ویدیو این جلسه مراجعه بفرمایید.
حالا اگه ما یک ماتریس رو در معکوسش ضرب کنیم، مثل این می‌مونه که هیچ کاری نکنیم. یعنی اینکه یه دور اول تبدیل خطی می‌زنیم، بعد برش می‌گردونیم حالت اولش. در نهایت نتیجه میشه همون دستگاه مختصات اولیه. اینکه هیچ کاری نکنیم رو بهش ماتریس همانی میگن و به صورت زیر نمایش میدن:
حالا برای اینکه دستگاه معادلات رو حل کنیم، باید معکوس ماتریس A رو در دو طرف ضرب کنیم.
در نتیجه این کار سمت چپ صرفا یه x می‌مونه و سمت راست معادل میشه با حاصل ضرب معکوس ماتریس A در بردار v. حالا شهود هندسی این رابطه چیه؟ داره میگه من میام تبدیل معکوس میزنم. یعنی صفحه مختصات رو از حالت جدید به حالت اولیه بر می‌گردونم، بعد نگاه می‌کنم ببینم بردار v در صفحه مختصات اولیه کجا میفته. اولش حالت زیر رو دارم:
بعد دستگاه مختصات رو بر می‌گردونم حالت اولیه نگاه می‌کنم ببینم بردار v کجا میفته. اون جایی که میفته رو اسمشو میذارم x.
اگه به تعداد مجهول‌هایی که داریم معادله داشته باشیم با احتمال خیلی خوبی یک جواب یکتا داریم صرفا.
به صورت کلی، این همه داستان سر هم کردیم که به این نکته برسیم که اگر دترمینان یک ماتریس مخالف 0 بشه، یعنی اون ماتریس معکوس برای اون ماتریس وجود داره و اگه ماترس رو به صورت یک تبدیل خطی در نظر بگیریم، بعد از اعمالش کاهش ابعاد فضا نداریم.
تمام این مواردی که در مورد فضای دو بعدی بررسی کردیم، در مورد فضا با ابعاد بیشتر هم صادقه. اگه تمایل دارید انیمشین‌های مرتبط با فضای سه بعدی رو ببینید، ویدیو این جلسه رو که مجموعا 12 دقیقه هست ببینید.
حالا وقتی دترمینان 0 میشه چه اتفاقی میفته؟ تو فضای دوبعدی یعنی اینکه تبدیل خطی‌ای که زده شده فضارو به ابعاد کمتر از دو برده. یعنی انگار صفحه رو تبدیل کرده به یک خط.
تو این حالت هیچ معکوسی وجود نداره. چرا؟ یعنی ما نمی‌تونیم یک خطی رو پیدا کنیم تو این حالت که مپ بشه به صفحه. به عبارتی دیگه، یک بردار رو در فضای کاهش یافته مثل بالا تصور کنید. مانند تصویر زیر:
حالا وقتی که میایم فضا رو تغییر میدیم به همون حالت اولیه، اون بردار زرد رنگ دیگه معادل نمیشه با یک بردار در صفحه. بلکه معادل میشه با بی‌نهایت بردار در صفحه. بخاطر همین هم نمی‌تونیم براش معکوس در نظر بگیریم. تو حالت قبلی وقتی دترمینان مخالف صفر بود اینطور نبود. هر بردار معادل بود فقط و فقط با یک بردار در حالیکه اینجا یک بردار معادل میشه با بی‌نهایت بردار.
همین بحث‌ها برای فضای سه بعدی یا بیشتر هم برقراره. تو فضای سه بعدی اگه تبدیل خطی بزنیم و به یک صفحه یا خط یا نقطه برسیم، اون تبدیل خطی معکوس پذیر نیست و دترمینان براش 0 میشه.
حالا بالاخره وقتی دترمینان 0 میشه جواب داریم برای دستگاه مختصات یا نداریم؟ هم جواب داریم هم جواب نداریم. بستگی داره بردار v کجا بیفته. اگه بردار v هم‌راستا باشه با خطی که بعد تبدیل خطی بهش می‌رسیم، دستگاه معادلات خطی جواب داره. ولی اگه بردار v هم راستا نباشه با راستای خطی که بعد تبدیل خطی به دست میاد، مسئله جواب نداره.
تو بعضی از حالات احتمال وجود جواب خیلی کمتره. مثلا فضای سه بعدی رو در نظر بگیرید. اگه تبدیل خطی جوری باشه که در نتیجه بهمون یک صفحه بده احتمال وجود جواب خیلی بیشتره تا حالتی که تبدیل خطی در نتیجه بهمون یک خط بده. در هر دوی این حالات دترمینان 0 هست ولی خب باهم فرق دارن. این فرق رو چجوری نشون میدیم؟ مفهومی به نام رنک ماتریس باعث میشه تمایز به وجود بیاد.
رنک ماتریس چیه حالا؟ توضیح میدیم. وقتی یک تبدیل خطی می‌زنیم که باعث میشه نتیجه یک خط باشه و ابعادمون 1 بعدی باشه، میگیم رنک ماتریس برابر با 1 هست. حالا اگه تبدیل خطی جوری باشه که نتیجه یک صفحه بشه و 2 بُعد داشته باشه، میگیم رنک ماتریس 2 هست. پس تعریف رنک ماتریس چی شد؟ معادل میشه با ابعادی که بَعد از تبدیل خطی خواهیم داشت.
حالا در مورد ماتریس 2 در 2 اگه رنک معادل با 2 بشه خیلی حالت ایده آلیه. چرا؟ چون به این معنیه که دترمینان مخالف 0 شده و برداهای پایه تعدادشون همون 2 تاست و یک جورایی تمام صفحه مختصات رو span میکنن. مفهوم span رو در جلسات گذشته بررسی کردیم. ولی رنک 2 برای یک ماتریس 3 در 3 مفهومش متفاوته و داره میگه دترمینان 0 شده و ما یک صفحه داریم بعد از تبدیل خطی. از طرفی رنک 3 برای یک ماتریس 3 در 3 مثل رنک 2 می‌مونه برای ماتریس 2 در 2 و اون ویژگی‌ها رو داره به صورت کلی.
حالا می‌خوایم مفهوم جدیدی رو با عنوان Column Space بررسی کنیم. به مجموعه‌ای که در نتیجه یک تبدیل خطی به دست میاد، که می‌تونه یک حجم، صفحه، خط یا نقطه باشه Column Space میگن.
چرا حالا از Column یا ستون استفاده میکنن؟ در جلسات اول هم دیدیم که هر ستون از ماتریس رو معادل با مختصاتی در نظر می‌گرفتیم که بردارهای پایه اونجا میفتادن. بخاطر همین بهش Column Space میگن.
همچنین این رو هم بررسی کردیم در جلسات گذشته که Span هر ماتریس (که به صورت ستونی بررسی می‌کردیم) بهمون اون فضایی رو میداد که توسط بردارهای پایه می‌تونست پوشش داده بشه. حالا این Span یه جورایی معادل با همون Column Space هست. به عبارتی دیگه، Column Space معادل هست با Span ستون‌های یک ماتریس.
حالا آیا رابطه‌ای بین رنک ماتریس و Column Space هست؟ بله! تعریف دقیق‌تر رنک معادل هست با تعداد ابعادی که در Column Space وجود داره.
حالا اگه رنک ماتریس برابر باشه با حداکثر مقدار خودش که برابر با همون تعداد ستون‌های ماتریس هست به اون ماتریس، ماتریس فول رنک میگیم. یعنی اگه ماتریس 3 تا ستون داشته باشه و رنک 3 باشه به اون ماتریس میگیم فول رنک.
نکته‌ای که هست اینکه بردار 0 همواره در Column Space وجود داره. چرا؟ چون تو همون جلسات اول گفتیم که تبدیل خطی مبدا مختصات رو ثابت نگه میداره و تغییر نمیده.
حالا اگه ماتریس فول رنک باشه، بعد از اینکه تبدیل خطی می‌زنیم، بردار 0 همون جای خودش می‌مونه و تغییر نمی‌کنه. یعنی فقط یک بردار 0 داریم و همون سر جاش باقی می‌مونه.
حالا اگه ماتریس فول رنک نباشه، نقاط بیشتری هست که بعد از اعمال تبدیل خطی مپ میشه به بردار 0 و نقطه مبدا. برای مثال اگه در فضای دو بعدی یک تبدیل خطی بزنیم و صفحه رو تبدیل به یک خط کنیم، یک خط وجود داره که میفته رو مبدا. مثلا خط زرد رنگ در تصویر زیر بعد از اعمال تبدیل خطی میفته رو مبدا و معادل میشه با بردار 0.
بعد از اعمال تبدیل خطی، صفحه تبدیل به خط میشه و خط زرد رنگ هم میفته رو مبدا.
در مورد فضای سه بعدی هم همینه. یعنی اگه تبدیل خطی باعث بشه یک فضای سه بعدی تبدیل بشه به یک صفحه که دو بعد هست، باز هم یک خط وجود خواهد داشت که مپ بشه روی مبدا و معادل بشه با بردار 0.
حالا اگه تبدیل خطی باعث بشه که فضای سه بعدی تبدیل بشه به یک خط که یک بعدی هست، یک صفحه وجود خواهد داشت که مپ میشه به مبدا و معادل میشه با بردار 0.
انگار بستگی داره که چه تعداد از بُعد کاهش پیدا کنه. وقتی 1 بعد از فضای اصلی بعد از تبدیل خطی کم میشه، یک خط مپ میشه به مبدا ولی وقتی 2 بعد از فضای اصلی کم بشه یک صفحه مپ میشه به بردار 0 و مبدا.
این بردارهایی که بعد از تبدیل خطی به بردار 0 تبدیل میشن و مپ میشن به مبدا رو بهشون Null Space یا Kernel میگن. (من نمی‌دونم معادل فارسی این عبارات در قالب جبرخطی چیه. اگر کسی می‌دونه لطفا در کامنت‌ها بگه.) به عبارتی دیگه، Null Space یعنی فضایی که بعد از تبدیل خطی Null یا پوچ میشه و مپ میشه به مبدا.
حالا اگه در یک دستگاه معادلات بردار v که همون ثابت‌ها بود و سمت راست تساوی قرار می‌گرفت برابر با 0 باشه، Null Space معادل میشه با همون جواب دستگاه.
به شدت پیشنهاد می‌کنم که ویدیو این جلسه رو یک نگاهی بهش بندازید تا به کمک انیمیشن‌هایی که نشون داده میشه درک بهتری نسبت به مطالبی که توضیح داده شد پیدا کنید.
تو این جلسه با دستگاه معادلات خطی آشنا شدیم و بعد مفاهیم معکوس ماتریس، رنک ماتریس، Column Space و Null Space رو بررسی کردیم.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
