منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفاً برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
اگر محتوای جلسه قبل رو مورد مطالعه قرار دادین و در مفهوم بردار ویژه و مقدار ویژه مشکلی وجود نداره، می‌تونید ادامه این پست رو دنبال کنید تا با کلکی آشنا بشین که این امکان رو بهتون بده که خیلی سریع مقادیر ویژه رو در ماتریس‌های 2×2 حساب کنید.
همونطور که در جلسه گذشته دیدیم، اگر برداری در دستگاه مختصات اولیه وجود داشته باشه که بعد از اعمال تبدیل خطی راستاش تغییر نکنه و فقط کش بیاد یا جمع‌تر بشه، به اون بردار، بردار ویژه می‌گیم و اون مقداری که باعث شده بردار نسبت به حالت قبلی‌ش کش بیاد یا جمع‌تر بشه (در واقع همون scaler) رو مقدار ویژه می‌نامیم و با لامبدا نشون میدیم.
حالا در قالب یک مثال، ببینیم که روش قدیمی محاسبه مقادیر ویژه به چه صورت هست. ماتریس زیر رو در نظر بگیرید. اگه بخوایم مقادیر ویژه رو براش حساب کنیم، باید طبق فرمول‌هایی که در تصویر بالا آورده شده عمل کنیم. در نهایت یک معادله درجه تشکیل میشه و ریشه‌های این معادله برابر هست با مقادیر ویژه‌ای که دنبالش هستیم.
مراحلی که اینجا طی می‌کنیم تا مقادیر ویژه رو به دست بیاریم نسبتاً طولانیه. در ادامه می‌خوایم روشی رو معرفی کنیم که کمک می‌کنه در ماتریس‌های 2×2 بتونیم خیلی راحت‌تر به جواب برسیم و مقادیر ویژه رو محاسبه کنیم.
قبل از اینکه روش رو معرفی کنیم، اول باید در مورد سه فکت مختلف در مورد ماتریس‌های 2×2 صحبت کنیم.
منطقاً می‌تونیم دو طرف رابطه بالا رو در ضریب 1/2 ضرب کنیم، تا بتونیم از دو طرف میانگین بگیریم. یعنی با این کار، می‌تونیم بگیم میانگین اثر یک ماتریس معادل هست با میانگین مقادیر ویژه برای همون ماتریس.
رابطه بالا منطقی به نظر می‌رسه. به این دلیل که مقادیر ویژه بهمون میگن که بعد از اعمال تبدیل خطی بردارهای ویژه نسبت به حالت قبل چقدر کش اومدن یا جمع‌تر شدن و از طرفی دترمینان ماتریس این رو نشون میده که مساحت اولیه ساخته شده بعد از تبدیل خطی چقدر تحت تاثیر قرار می‌گیره و عوض میشه.
قبل از اینکه فکت سوم رو ببینیم، این رو در نظر داشته باشید که میانگین مقدایر ویژه رو با m و حاصل‌ضربشون رو با p نشون میدیم.
یه مثال ببینیم. فرض کنید ماتریس زیر رو داریم و می‌خوایم مقادیر m و p رو طبق چیزی که بالاتر دیدیم براش به دست بیاریم. حاصل در تصویر پایین آورده شده.
حالا برای این مثال، تا اینجا می‌دونیم که میانگین دو مقدار ویژه برابر شده با 7 و حاصل‌ضربشون هم برابر با 40 هست. چون میانگین 7 شده، به این معنیه که دو مقدار ویژه اطراف 7 خواهند بود. یا کمی کمتر از 7 و یا کمی بیشتر از 7.
جواب رو می‌تونیم به دست بیاریم و مقدار d برابر میشه با 3. پس دو مقدار ویژه به ترتیب 4 و 10 خواهند بود.
بیاید چیزی رو که برای این مثال حل کردیم به حالت کلی تعمیم بدیم. تصویر زیر رو ببینید. از اونجایی که محاسبات آورده شده در تصویر زیر به اندازه کافی گویا هست دیگه توضیح خاصی نمیدیم.
حالا با توجه به چیزی که تا اینجا دیدیم می‌تونیم فکت سوم رو بررسی کنیم.
تو تصویر زیر، سه موردی که تا اینجا بررسی کردیم و در موردشون توضیح دادیم، یک جا آورده شده.
حالا روش سریعی که دنبالش بودیم نتیجه‌ای هست که از بررسی سه مورد بالا گرفتیم.
بریم برای چند تا ماتریس بررسی کنیم ببینیم چطور میشه به کمک این فرمول مقادیر ویژه رو حساب کرد.
مثال اول در تصویر زیر آورده شده. m برابر هست با میانگین مقادیر 3 و 1 که میشه 2. مقدار p هم معادل هست با دترمینان ماتریس که میشه 1-. بقیه‌ش جایگذاری در فرمول بالاست و در نهایت مقادیر ویژه به دست میان.
برای مثال دوم تصویر زیر رو ببینید. فکر می‌کنم محاسبات انجام شده به اندازه کافی گویا هست که دیگه نیازی به توضیح نباشه.
در ادامه یک مثال دیگه رو بررسی خواهیم کرد که مرتبط هست با مکانیک کوانتومی. جزییات این مثال رو من در پست نیاوردم و اگه علاقه‌مند هستید که بیشتر در مورد این مثال بدونین، به ویدیو این جلسه مراجعه کنید.
همونطور که در تصویر زیر می‌بینید، مقادیر ویژه برای هر سه ماتریس برابر مثبت و منفی 1 هست.
ممکنه سوال پیش بیاد که چرا اصلاً داریم این مثال رو بررسی می‌کنیم. هدف این بوده که نشون بدیم ماتریس‌های 2×2 فقط یک سری ماتریس‌ساده نیستن و اتفاقاً ازشون در جاهای مختلفی مثل مکانیک کوانتومی استفاده میشه.
در مورد این مثال اگه از همون روش قدیمی استفاده می‌کردیم، احتمالاً با سرعت بیشتری به جواب می‌رسیدیم. ماتریس سوم که اصلا نیازی به محاسبات نداشت! یک ماتریس قطری بود و همون مقادیر برابر هستن با مقادیر ویژه.
به صورت کلی، این روشی که اینجا مورد بررسی قرار دادیم، بهمون کمک می‌کنه که بدون اینکه مجبور باشیم معادله درجه 2 تشکیل بدیم و محاسبات پیچیده برای پیدا کردن ریشه‌ها انجام بدیم، خیلی سریع مقادیر ویژه رو حساب کنیم.
البته، هدف فقط این نبوده که صرفاً یک روش معرفی بشه و حالا بخواید حفظش کنید. بیشتر هدف این بوده که ببینید مقادیر ویژه به چه صورت به دترمینان و اثر یک ماتریس ربط پیدا می‌کنن و در کل چه رابطه‌ای با این دو مفهوم دارن.
بعنوان یک تمرین، سعی کنید عباراتی رو که در تصویر زیر با مستطیل نشون داده شده رو بررسی کنید و ببینید که چه ارتباطی بین اون عبارات، مقادیر ویژه و مفاهیم دیگه وجود داره.
این جلسه مثال‌ها و توضیحات بیشتری داشت که من همه‌ش رو در این پست نیاوردم. پیشنهاد می‌کنم که یک دور ویدیو این جلسه رو هم ببینید، تا مثال‌ها به شکل بهتری در ذهنتون بمونه.
یک روش سریع رو برای محاسبه مقادیر ویژه در ماتریس‌های 2×2 بررسی کردیم. همچنین، فهمیدیم که چه ارتباطی بین مقادیر ویژه و دترمینان و اثر یک ماتریس وجود داره.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
