منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
در جلسات گذشته، اکثر مطالبی که بیان کردیم همه در فضای دو بعدی بود. از این جهت که فضای دو بعدی در صفحه میفته درکش هم برامون راحت‌تره. اما خب تمام مطالب و مفاهیمی که برای فضای دو بعدی بیان شد، برای فضا با ابعاد بیشتر هم صادقه و چون الان مفاهیم رو می‌دونیم، می‌تونیم خودمون تعمیم بدیم. به هرحال، تو این جلسه سعی شده در مورد فضای سه بعدی صحبت بشه و ببینیم که در این فضا تبدیل‌های خطی به چه صورت هست.
تو فضای سه بعدی، ورودی و خروجی تبدیل‌های خطی، بردارهایی با سه مولفه هست.
اگر تبدیلی بخواد تو فضای سه بعدی هم خطی باشه، باید ویژگی‌هایی که قبلا برای خطی بودن تبدیل‌ها گفتیم رو داشته باشه. یعنی مبدا تغییری نکنه و خطوط در فضا به صورت موازی باشن و یه فاصله یکنواختی بینشون باشه. فضای سه بعدی رو اگه بخوایم در نظر بگیریم به صورت زیر میشه.
تو این حالت هم مثل فشای دو بعدی، یک بردار ورودی داریم و قراره با تبدیل خطی به یک بردار خروجی مپش کنیم.
همچنین بردارهای پایه هم تو این فضا به صورت زیر می‌تونن نشون داده بشن. بردار سبز رنگ بردار واحد i، بردار قرمز رنگ بردار واحد j و بردار جدید آبی رنگ بردار واحد k هست.
برای نمونه، یک تبدیل خطی در تصویر زیر نشان داده شده است، اما از آنجایی که ممکن است کمی پیچیده باشد، می‌توانید مختصات جدید هر بردار پایه را در نظر بگیرید.
ماتریسی که این تبدیل خطی رو می‌تونه نمایش بده یک ماتریس مربعی 3 در 3 است که به صورت زیر تعریف میشه:
حالت زیر رو بعنوان حالت پایه مختصات در این فضا نظر بگیرید:
حالا فرض کنید که یک rotation به صورت 90 درجه حول محورهای x و z اتفاق و بعد از تبدیل خطی به فضای زیر می‌رسیم. بردار پایه j سرجاش مونده و بردارهای i و k هر کدوم 90 درجه در جهت عقربه‌های ساعت چرخیدن.
اگر گریدهای فضا رو حذف کنیم، مختصات بردارها و فضا به صورت زیر در میاد:
حالا این ماتریس 3 در 3 زیر داره ماتریس تبدیل خطی رو نشون میده که به چه صورت هست و در واقع این رو میگه که بعد از انجام این تبدیل خطی بردارهای پایه دارای چه مختصاتی خواهند شد.
هر برداری هم توی این فضا بر اساس بردارهای پایه به صورت زیر نوشته میشه:
حالا هر بردار دلخواهی رو که بهمون بدن، مشابه فضای دو بعدی، با ضرب ماتریس تبدیل در اون بردار، می‌تونیم بگیم که تو دستگاه مختصات جدید اون بردار اولیه چه مقادیری پیدا می‌کنه و خروجی چی میشه.
مباحثی هم که برای ترکیب دو تبدیل خطی، به صورت ضرب دو ماتریس در هم در فضای دو بعدی دیدیم، در اینجا هم صادقه. یعنی اگه ضرب دو تا ماتریس 3 در 3 رو در هم ببینیم، می‌تونیم اینجوری در نظر بگیریم که انگار دستگاه مختصات اولیه یک بار توسط ماتریس سمت راستی دچار تبدیل خطی شده، بعد نتیجه‌ش در اثر ماتریس دوم، مجددا یک تبدیل خطی دیگه روش اعمال شده.
اگر بخوایم ضرب ماتریس‌هارو به صورت عددی هم در نظر بگیریم، باز هم مشابه مطالبی هست که در مورد فضای دو بعدی گفتیم.
به شدت پیشنهاد می‌کنم که ویدیو این جلسه رو یک نگاهی بهش بندازید تا به کمک انیمیشن‌هایی که نشون داده میشه درک بهتری نسبت به فضای سه بعدی پیدا کنید.
تمام مفاهیمی رو که در جلسات گذشته در فضای دو بعدی بررسی کرده بودیم، به صورت کلی به فضای سه بعدی هم تعمیم دادیم.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
