منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفاً برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
بردارها و مقادیر ویژه جزو اون دسته مطالبی هستن که تقریباً افراد زیادی، خیلی درک خاصی ازش ندارن و همیشه این سوال براشون پیش میاد که اصلاً چرا همچین چیزی وجود داره و باید چنین کاری بکنیم؟ تو این پست قصد داریم شهود بردار و مقادیر ویژه رو بررسی کنیم و در نهایت بفهمیم که اصلاً این دو چی هستن و چرا اصلاً وجود دارن.
برای اینکه بتونید شهود خوبی نسبت به این موضوعات پیدا کنید، لازمه که از قبل در مورد شهود و مفاهیم تبدیل‌های خطی، دترمینان، دستگاه معادلات خطی و تغییر بردارهای پایه بدونید. پس اگه هنوز درکی از این مفاهیم و موضوعات ندارید، باید در ابتدا محتوای جلسات شامل این مباحث رو مورد بررسی و مطالعه قرار بدین.
خب بریم که شروع کنیم.
فرض کنید یک تبدیل خطی زدیم و دستگاه مختصات اولیه رو بردیم به فضای زیر. ماتریس تبدیل رو هم در تصویر زیر نشون دادیم.
می‌خواهیم این رو بررسی کنیم که این تبدیل خطی، چه بلایی سر span یک بردار میاره. دقت کنید که داریم در مورد span یک بردار صحبت می‌کنیم. منظورمون در فضای دو بعدی خطی هست که از مبدا مختصات و ته بردار دلخواه می‌گذره و هم‌راستا هست با بردار.
فرض کنید در فضای اولیه هستیم و برداری زرد رنگ به صورت تصویر زیر داریم و span بردار رو هم به صورت خط قرمز رنگ نشون دادیم.
خیلی از بردارها، بعد از اینکه تبدیل خطی اعمال میشه از span اولیه‌ای که دارن دور میشن و در راستای متفاوت قرار می‌گیرن. الان مثلاً تو تصویر زیر، بعد از اعمال تبدیل خطی، span بردار زرد رنگ متفاوت هست با چیزی که قبل از تبدیل خطی وجود داشت. span حالت قبل با خط قرمز رنگ نشون داده شده.
در عین حال، یک سری بردار خاص وجود دارن که این اتفاق براشون نمیفته و span بردار قبل و بعد از اعمال خطی دقیقاً یک راستا میشه. مثلاً بردار زیر رو در فضای اولیه در نظر بگیرید.
وقتی تبدیل خطی بزنیم، span بردار بالا بدون تغییر راستا در همون حالت قبلی می‌مونه. به عبارتی دیگه، انگار ماتریس تبدیل خطی میاد بردار رو صرفاً نسبت به حالت اولیه‌ش بزرگ‌تر یا کوچیک‌تر می‌کنه. انگار برای بردار مثل یک scaler می‌مونه.
تو این تبدیلی که اینجا مثال زدیم، span بردار پایه i که با محور افقی هم‌راستاس، چنین چیزی براش صادقه. یعنی قبل از اعمال خطی مختصات (0 ,1) بوده، بعد از اعمال تبدیل خطی شده (0 ,3). یعنی قبل و بعد از اعمال تبدیل خطی راستای بردار تغییری نکرده و بردار عملاً فقط در یک scaler ضرب شده. تو تصویر زیر span در راستای افقی رو با رنگ زرد نشون دادیم.
حالا، چون تبدیل خطی هست، نه تنها فقط برای یک بردار، بلکه برای همه بردارهایی که در راستای محور افقی قرار می‌گیرن چنین چیزی صادقه. الان تصویر زیر داره تعدادی بردار رو در حالت اولیه نشون میده.
وقتی تبدیل خطی اعمال شه، همه اون بردارهای دلخواه انگار فقط در عدد 3 scale میشن و در همون راستای قبلی‌شون می‌مونن.
تو این مثال خاص یک بردار دیگه هم وجود داره که بعد از اعمال تبدیل خطی راستایی که داره تغییر نمی‌کنه. بردار به مختصات (1 ,1-) که در تصویر زیر هم مشخص شده.
وقتی که تبدیل خطی می‌زنیم بردار بالا صرفاً در عدد 2 scale میشه و راستای قبلی‌ش رو حفظ می‌کنه.
مجدداً به دلیل اینکه تبدیل خطیه، میشه تضمین کرد که تمامی بردارهایی که در راستای قطر ناحیه دوم و چهارم دستگاه مختصات باشن، همشون بعد از اعمال تبدیل، فقط در عدد 2 scale میشن و راستایی که دارن تغییر نمی‌کنه.
برای این مثال یه جمع‌بندی داشته باشیم، بردارهایی که در راستای محور افقی و در راستای قطر گذرنده از نواحی دوم و چهارم قرار می‌گیرن، بعد از اعمال تبدیل خطی راستاشون تغییری نمی‌کنه و فقط در یک scaler ضرب میشن که در تصویر زیر نشون داده شده.
به جز این دو راستا، هر بردار دلخواهی رو در هر راستای دیگه‌ای در نظر بگیریم، چنین چیزی براش صادق نیست و بردار بعد از اعمال تبدیل خطی، راستای قبلی‌ش رو از دست میده. برای مثال، در تصویر خط قرمز رنگ داره راستای بردار صورتی رو قبل از اعمال تبدیل خطی نشون میده.
احتمالاً خودتون تا اینجای کار متوجه ارتباط بینِ مواردی که بررسی کردیم با بردار و مقادیر ویژه شده باشید. تو این مثال، به بردارهایی که در راستای محور افقی و قطر فرعی قرار می‌گیرن و راستاشون قبل و بعد از تبدیل خطی تغییری نمی‌کنه، بردار ویژه گفته میشه. scaler ای هم که نشون میده بردارها بعد از تبدیل چقدر کش اومدن یا جمع شدن هم معادل هست با مقدار ویژه.
از اونجایی که مقادیر ویژه از جنس scaler ها هستن، پس می‌تونن مثبت و منفی باشن. اگه منفی بشن به این معنی هست که جهت بردار بعد از تبدیل خطی عوض شده. دقت کنید، فقط جهت بردار عوض میش و راستا تغییری نمی‌کنه. بعنوان یک مثال، دو تصویر زیر رو در نظر بگیرید. قبل از اعمال تبدیل خطی راستا و بردار به صورت زیر هست.
بعد از اعمال تبدیل خطی، راستای بردار مثل قبل می‌مونه، فقط جهت و اندازه بردار تحت تاثیر scaler که منفی یک دوم هست، قرار می‌گیره.
مقادیر ویژه در بعضی تبدیل خطی‌هایی که به صورت rotation هستن و دستگاه مختصات عادی رو با یک درجه‌ای در یک جهتی می‌چرخونن، 1 می‌مونن.
به صورت کلی، رابطه‌ای که برای بردار و مقدار ویژه داریم به صورت زیر تعریف میشه. A ماتریس تبدیل، v بردار ویژه و لامبدا معادل با مقدار ویژه هست.
حالا این رابطه داره چی میگه؟ داره میگه من دنبال scaler لامبدا و بردار v به نحوی هستم که باعث بشه ضرب ماتریس تبدیل A در بردار v مثل ضرب یک scaler در بردار v باشه.
از اونجایی که این رابطه به صورتی هست ک در سمت چپ داره یک ماتریس در بردار ضرب میشه و در سمت راست داره یک scaler در بردار ضرب میشه، ممکنه که اولش یکم عجیب به نظر بیاد که چجوری میشه که یک ماتریس و یک عدد، هر دو مثل یک scaler در بردار عمل کنن. برای اینکه این رابطه منطقی‌تر به نظر برسه، تصویر زیر رو ببینید. scale کردن در لامبدا مثل این می‌مونه که یک ماتریس داشته باشیم که به صورت قطری باشه و مولفه‌های قطر همگی برابر با لامبدا باشن، بعد اون ماتریس رو ضرب کنیم در بردار v.
حالا، میشه فرم ماتریس بالا رو تغییر داد. یعنی اومد و لامبدا رو از ماتریس کشید بیرون و به صورت یک scaler در یک ماتریسی ضرب کرد که به صورت قطری همه مولفه‌هاش برابر با 1 هست و معادله با ماتریس همانی. به این ترتیب، میشه سمت راست معادله رو بازنویسی کرد و به صورت ضرب scaler در ماتریس نوشت. شاید الان که در هر دو طرف یک ماتریس وجود داره، رابطه منطقی‌تر به نظر بیاد.
میشه رابطه بالاتر رو بیشتر تغییر داد. یعنی تمامی عبارات رو برد سمت چپ مساوی و از بردار v فاکتور گرفت. حالا چیزی که داره رابطه میگه اینکه، من به صورتی دنبال بردار v و scaler لامبدا می‌گردم که باعث بشه ضرب ماتریسِ سمت چپ (که پایین تصویر نشون داده شده معادل با چه چیزی هست) در بردار v معادل بشه با بردار 0. واضحه که اگر بردار v برابر بشه با بردار 0 رابطه زیر برقراره، ولی مقادیری از v برامون اهمیت دارن که مخالف بردار 0 باشن. حالا چجوری باید مقادیر غیر 0 بردار v رو پیدا کنیم؟ در مرحله اول، نیاز داریم که مقادیری از لامبدا رو پیدا کنیم که باعث شه دترمینان ماتریس سمت چپ برابر با 0 بشه. می‌پرسید چرا؟ در ادامه توضیح میدیم.
اگه بخوایم رابطه بالا رو به صورت هندسی نشون بدیم، به این صورت میشه که میگه در فضای عادی هستیم و یک بردار مانند v که با رنگ زرد مشخص شده داریم. قراره به نحوی تبدیل خطی اعمال کنیم که در فضای جدید بردار v به بردار 0 مپ بشه. یعنی چی این حرف؟ یعنی قراره تبدیل خطی جوری باشه که انگار از ابعاد اولیه کم کنه.
حالا، وقتی ابعاد کم بشن چه اتفاقی میفته؟ به عبارتی دیگه، فرض کنید در فضای دو بعدی هستیم و دو بردار پایه داریم، بعد تبدیلی زدیم که فضارو یک بعدی کردیم. حالا، اگه مثلاً ما بخوایم این فضای یک بعدی رو با دو بردار پایه نشون بدیم اصلاً شدنیه؟ مشخصاً شدنی نیست. چون در یک بعد صرفاً یک راستا وجود داره و دو بردار در یک راستا میفتن. پس در فضای جدید دیگه نمی‌تونیم مساحتی داشته باشیم. چون فقط یک بعد داریم. وقتی هم که مساحت نداریم، پس یعنی اینکه دترمینان در فضای جدید معادل با صفر شده.
فضای جدید کجای رابطه بود؟ تو رابطه‌ای که در تصویر زیر اومده، ماتریس سمت چپ داره تبدیل خطی رو نشون میده که باعث میشه از فضای اولیه به فضای جدید بریم. پس با توجه به چیزی که دنبالش هستیم، منطقیه که دترمینان اون ماتریس رو برابر با 0 بذاریم. دنبال چی بودیم؟ دنبال مپ کردن بردار زرد رنگ تصویر بالا به بردار 0 که با کم کردن ابعاد امکان پذیره. برای درک شهودی بهتر، فضای کاهش یافته پس از اعمال تبدیل خطی در تصویر زیر نشون داده شده که چطور یک راستا خواهیم داشت و دو بردار در اون قرار می‌گیرن.
تصویر زیر رو در نظر بگیرید. داره دترمنیان یک ماتریس دلخواه رو نشون میده که هنوز میزان لامبدا براش در نظر گرفته نشده و برابر با 0 هست. برای اینکه میزان تغییر دترمینان رو به ازای مقادیر مختلف لامبدا ببینید می‌تونید به دقیقه 7:43 از ویدیو مراجعه کنید.
وقتی مقدار لامبدا تغییر می‌کنه، ماتریس تبدیل هم دچار تغییر میشه که در نتیجه باعث میشه دترمینان حاصل از ماتریس هم تغییر بکنه. هدف اینجا اینکه مقداری از لامبدا رو پیدا کنیم که باعث بشه مقدار دترمینان ماتریس برابر با 0 بشه. بالاتر توضیح دادیم که چرا 0 بودن دترمینان برامون مهمه. اگه دترمینان صفر بشه انگار فضای جدید نسبت به حالت اولیه ابعاد کمتری خواهد داشت.
حالا تو مثال بالا، اگر مقدار لامبدا 1 بشه ما به هدفمون می‌رسیم و دترمینان 0 میشه. منطقیه که در ماتریس‌ها با مقادیر مختلف، مقدار لامبدا هم متفاوت خواهد بود.
حالا یک دور چیزایی که تا اینجا بررسی کردیم رو جمع‌بندی کنیم.
گفتیم دنبال برداری به نام v می‌گردیم که بعد از اینکه رو فضای اولیه تبدیل خطی زدیم، بردار v مپ بشه به بردار 0 که مبدا مختصات هست. در چه صورتی این اتفاق میفته؟ منطقاً اگر فضای اولیه ما دو بعد باشه، تبدیل خطی‌ای هم که می‌زنیم همچنان دارای دو بعد باشه، چنین چیزی امکان‌پذیر نیست. پس دنبال تبدیل خطی‌ای هستیم که بتونه ابعاد فضارو کاهش بده.
حالا، یک سری مولفه از ماتریس تبدیل برامون از قبل واضحه. ولی مولفه‌های قطری که شامل لامبدا هستن برامون واضح نیست و باید مقدار لامبدا رو پیدا کنیم. مقدار لامبدا رو چجوری میشه پیدا کرد؟ اگر بخوایم در فضای جدید ابعاد رو کم کنیم، مثلاً از دو بعد به یک بعد بریم، مثل این می‌مونه که دیگه در فضای جدید دترمینان مساحت نداشته باشه. مساحت نداشتن دترمینان در فضای جدید یعنی اینکه مقدار دترمینان در فضای جدید معادل با 0 بشه. به همین ترتیب می‌تونیم مقدار لامبدا و سپس مقدار مولفه‌های بردار v رو پیدا کنیم.
برای درک بهتر توضیحات ارائه شده می‌تونید تصویر زیر رو ببینید. این تصویر، داره حالت اولیه و حالت ثانویه (پس از اعمال تبدیل خطی و کاهش ابعاد) رو در یک جا نشون میده. حالت اولیه واضح‌تر و حالت ثانویه یکم محوتر نشون داده شده.
اگه رابطه بالا رو مجدداً تبدیل کنیم به رابطه زیر، چیزی که نشون میده در قالب همین مثالی که بررسی کردیم به صورت زیر میشه.
حالا تا اینجا دیدیم که چطور میشه مقدار لامبدا رو محاسبه کرد. در قالب مثال اولی که در ابتدای این جلسه ارائه شد، می‌خوایم ببینیم که چطور میشه مولفه‌های بردار v رو هم محاسبه کرد.
مثال اول رو در نظر بگیرید. به صورت زیر میشه مقادیر لامبدا رو براش محاسبه کرد. در واقع مقادیر ویژه رو تا اینجای کار حساب کردیم.
حالا در ادامه می‌خوایم به ازای هر مقدار ویژه، یک بردار ویژه به دست بیاریم. یکی از مقادیر ویژه رو انتخاب می‌کنیم. مثلاً 2 و سپس در ماتریسی که داشتیم جای‌گذاری می‌کنیم. به صورتی دنبال بردار v هستیم که وقتی مقدار ویژه 2 رو در ماتریس تبدیل اعمال کردیم و در بردار v ضرب کردیم، به بردار 0 برسیم. به عبارتی دیگه، رابطه زیر داره میگه من به صورتی دنبال بردار v می‌گردم که بعد اینکه تبدیل خطی زدیم و رفتیم تو فضای جدید، بردار v مپ بشه به بردار 0 که همون مبدا مختصات هست.
به کمک ایجاد یک دستگاه معادلات، میشه رابطه بالا رو حل کرد و در نهایت به ازای مقدار ویژه 2، بردار ویژه با مولفه‌های (1 ,1-) رو پیدا کرد.
حالا وقتی که تبدیل خطی بالا رو بزنیم، فضای یک بعدی جدید به صورت زیر میشه.
اگه ماتریس تبدیل رو قبل از اعمال لامبدا در اون در نظر بگیریم، یعنی به این صورت که تبدیل خطی‌مون بشه ماتریس زیر و نسبت به حالت اولیه بردارهای زرد رنگ رو مقایسه کنیم، انگار که تمامی بردارها (بردارهای ویژه) در عدد 2 scale شدن.
برای اینکه بردار ویژه دوم رو هم پیدا کرد باید همین مراحل رو برای مقدار ویژه بعدی براش تکرار کرد.
ممکنه تبدیل‌های خطی‌ای وجود داشته باشن که نشه براشون هیچ بردار ویژه‌ای پیدا کرد. مثلا rotation 90 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت به این صورته. به صورت شهودی میشه گفت چون تمامی بردارهارو 90 درجه نسبت به حالت اولشون منحرف می‌کنه عملاً هیچ برداری بعد از تبدیل خطی، راستایی که از قبل داره رو حفظ نمی‌کنه.
اگه به صورت ریاضی هم بخوایم نشون بدیم به صورت زیر میشه. مقادیری که برای لامبدا به دست اومدن حقیقی نیستن و موهومی‌اند. به همین دلیل نمیشه هیچ مقدار ویژه‌ای رو پیدا کرد. در نتیجه هیچ بردار ویژه‌ای هم وجود نداره.
تبدیل خطی shear رو که در جلسات گذشته بررسی کردیم یادتون هست؟ این تبدیل خطی فقط یک بردار ویژه داره که معادل هست با محور افقی و مقدار ویژه هم براش 1 هست.
اینکه چطور محاسبات انجام میشه در تصویر زیر آورده شده. تو این حالت یک مقدار ویژه داریم و یک سری بردار ویژه که در یک راستا قرار گرفتن. اما آیا ممکنه حالتی وجود داشته باشه که یک مقدار ویژه وجود داشته باشه با کلی بردار ویژه در بیشتر از یک راستا؟ در ادامه توضیح میدیم.
جواب سوال بالا بله هست. ممکنه حالتی باشه که فقط یک مقدار ویژه داشته باشیم، ولی بیشتر از یک راستا وجود داشته باشه که بردارهای ویژه در اون قرار می‌گیرن.
یک مثال ساده از این حالت تبدیل خطی‌ای هست که باعث میشه همه چیز در فضای جدید دو برابر حالت قبلی بشه. تصویر زیر داره یک سری بردار رو در حالت اولیه نشون میده.
تصویر زیر داره بردارهای بالا رو پس از اعمال تبدیل خطی نشون میده که همشون دو برابر شدن. یعنی در واقع در این تبدیل خطی (ماتریس) یک مقدار ویژه داریم که برابر هست با 2، و بی‌نهایت بردار ویژه در بیشتر از یک راستا. چون راستای هیچ کدوم از بردارهای حالت اولیه پس از تبدیل خطی تغییر نمی‌کنه و فقط از لحاظ اندازه دو برابر میشن.
قبل از اینکه وارد مبحث آخر از این جلسه بشیم، مطالبی که تا اینجا دیدیم رو یک مرور کلی کنیم. در مورد مقادیر و بردارهای ویژه تا اینجا کلی مطلب کنیم و موارد مختلف رو بررسی کردیم. به صورت کلی ممکنه چند حالت پیش بیاد:
مبحث آخری که در این جلسه بررسی میشه در مورد بردارهای پایه ویژه هست. قبل از اینکه این بخش رو ادامه بدین، مطمئن بشید که حتماً محتوای جلسه قبل رو که درباره تغییر بردارهای پایه بود، مورد مطالعه و بررسی قرار دادین.
بردارهای پایه ویژه اصلا یعنی چی؟ یعنی اینکه بیایم بردارهای ویژه رو در فضای جدید جوری در نظر بگیریم که بردار پایه باشن. مثال زیر رو در نظر بگیرید. قبول دارید که بردارهای زیر، نوعی بردار ویژه از بردارهای پایه i و j هستن؟ یه ویژگی‌ای که در ماتریس تبدیل زیر نمایان هست قطری بودنشه.
به ماتریسی می‌گیم قطری که بجز قطر بقیه مولفه‌هاش برابر با 0 بشه. بردارهای پایه‌ای که ماتریس زیر رو ساختن، همگی بردارهای ویژه هستن و عدد غیر صفری که در هر ستون وجود داره، نشون دهنده مقدار ویژه برای اون بردار ویژه هست.
ماتریس‌های قطری خواصی دارن که باعث میشن خیلی جالب و کاربردی باشن. مثلاً اگر 100 تا ماتریس قطری داشته باشیم که بخوایم در هم ضرب ماتریسی‌شون بکنیم و در نهایت در یک بردار ضرب بشن، فقط کافیه که مولفه غیر صفر در هر ستون رو به توان 100 برسونیم و سپس در بردار مورد نظر ضرب کنیم.
در واقع رابطه بالا متناظر میشه با رابطه زیر.
در عوض، اگه یک سری ماتریس غیر قطری داشته باشیم و بخوایم 100 بار در هم ضربشون کنیم، واقعاً محاسباتی که باید انجام بشه خیلی زیاد میشه و خیلی طول می‌کشه.
دوباره برگردیم به مثال اول این جلسه. تو این مثال ما تونستیم دو تا راستا با کلی بردار ویژه پیدا کنیم. یعنی انگار اگه بخوایم هر راستارو با یک بردار نشون بدیم، در واقع دو بردار ویژه تونستیم پیدا کنیم. می‌تونیم تو این حالت که به اندازه کافی بردار ویژه داریم و یه جورایی دارن کل صفحه دو بعدی رو span می‌کنن، یه حرکتی بزنیم و بردارهای پایه رو جوری تغییر بدیم که بردارهای ویژه‌ای که داریم معادل بشن با برداهای پایه در فضای جدیدمون.
یعنی فقط بیایم از یک بردار در هر راستا استفاده کنیم. مثل تصویر زیر. الان تصویر زیر چی داره میگه؟ داره میگه ماتریسی داشتیم که میومد فضای اولیه رو تغییر میداد و یه تبدیل خطی روش میزد. ماتریس تو تصویر پایین آورده شده. حالا، ما با روش‌هایی که بلد بودیم، اومدیم بردارهای ویژه ماتریس داده شده رو حساب کردیم. حالا می‌خوایم جوری فضا رو تغییر بدیم که بردارهای ویژه‌ای که به دست اومدن بشن بردارهای پایه در فضای جدید. مختصات بردارهای پایه ویژه (1 ,0) و (1 ,1-) هست که با رنگ سبز و زرد نشون داده شده.
جزییات تغییر بردارهای پایه رو در جلسه گذشته مفصلاً بررسی کردیم. اینجا در حد کلیات و فقط در قالب یک مثال بهش اشاره می‌کنیم. برای اینکه مفاهیم بعدی رو خوب متوجه بشید، پیشنهاد می‌کنم اول جلسه قبل رو مورد مطالعه قرار بدین، بعد ادامه بدین.
همین مثال بالا رو در نظر بگیرید. قراره فضارو جوری تغییر بدیم که از بردارهای ویژه بعنوان بردار پایه در اون فضای جدید استفاده بشه. قدم اول اینکه بردارهای ویژه به دست اومده رو در یک ماتریس کنار هم قرار بدیم.
حالا، عبارت تصویر زیر رو در نظر بگیرید. از سمت راست به سمت چپ می‌خوایم حرکت کنیم و بریم جلو. ماتریس اول داره میگه که قراره بیایم یک تبدیل خطی در دستگاه مختصات اولیه با بردارهای پایه i و j اعمال کنیم. ماتریس دوم داره میگه که قراره رو نتیجه تبدیل خطی اول، تبدیل خطی دوم رو بزنیم و ببینیم که نتیجه اعمال دو تبدیل خطی پشت سر هم روی حالت اولیه چی میشه. تا اینجای کار، داریم داستان رو از دید دنیای خودمون نگاه می‌کنیم. دنیایی که حالت اولیه‌ش دستگاه مختصات عادی با بردارهای پایه i و j هست.
هدف چی بود؟ هدف این بود که دنیارو عوض کنیم و ببریم تو حالتی که بردارهای پایه بشه بردارهای ویژه. به عبارتی دیگه، قراره دنیارو نه از دیدگاه خودمون، بلکه از دیدگاه بردارهای ویژه که به حالت پایه در اومدن ببینیم. برای این کار، ماتریس سوم، که معکوس ماتریس اول هست هم باید در چیزی که تا اینجا حساب کردیم ضرب بشه.
حالا، نتیجه‌ای که به دست میاد چی داره میگه؟ داره میگه من در فضایی هستم که بردارهای پایه‌ای که دارم از نگاه خودم طولشون 1 هست (تصویر بالا) و تو این فضا یک تبدیل خطی زدم. بردار پایه‌ای که در راستای محور افقی دارم (بردار سبز رنگ تصویر بالا) از حالت اولیه (0 ,1) مپ شده به مختصات (0 ,3) (بردار سبز رنگ تصویر پایین) و بردار پایه‌ای که داره محور بَعدیم رو مشخص می‌کنه (بردار زرد رنگ تصویر بالا) و مختصاتش تو فضایی که دارم (1 ,0) هست، به مختصات (2 ,0) (بردار زرد رنگ تصویر پایین) مپ شده. در واقع انگار در فضای جدید و از یک نگاه دیگه اومدیم رو دستگاه مختصاتی که به دست اومده بود یک تبدیل خطی زدیم.
این مقادیر 3 و 2 هم که در هر ستون ظاهر شدن، در واقع همون مقادیر ویژه هستن که برای هر بردار به دست اومدن. این مثال حالتی بود که هر بردار ویژه با یک مقدار ویژه مشخص میشد. برای توضیح بیشتر، ماتریس‌های قبل و بعد مساوی رو ببینید. ستون اول که رنگش سبزه یکی از بردارهای ویژه‌ست و مقدار ویژه متناظر باهاش در ستون اول ماتریس سمت راستی اومده (0 ,3). ستون دوم هم که رنگش زرده بردار ویژه دومه و مقدار ویژه متناظر باهاش در ستون دوم ماتریس سمت راستی اومده (2 ,0).
بذارید برای درک بهتر نتیجه‌ای که بالا به دست اومد، عیناً از کلمات و جملاتی که در ویدیو اصلی استفاده میشه، استفاده کنیم و سعی کنیم همون رو یکم بیشتر تحلیل کنیم. چیزی که منتشرکننده اصلی ویدیو تو این قسمت میگه:
The result would be a matrix representing that same transformation, but from the perspective of the new basis vectors coordinate system.
منظور Grant Sanderson عزیز (مولف اصلی این محتوا) از جمله‌ای که بالا میگه اینکه، نتیجه‌ای که از کاری که داریم بالا می‌کنیم حاصل میشه معادل هست با زدن تبدیل خطی زیر، ولی به جای اینکه این تبدیل خطی رو در همون فضای اولیه با بردارهای پایه i و j بزنیم، داریم رو فضایی می‌زنیم که بردارهای پایه‌ای که داره معادل هست با بردارهای ویژه‌ای که به دست آوردیم. در واقع، فضایی که بردارهای پایه جدید در اونجا دارن مختصات (0 ,1) و (1 ,0) هست.
این همه سختی رو به جون می‌خریم و این همه محاسبات و مفاهیم پیچیده رو می‌فهمیم برای چی؟ برای اینکه با این کار ما می‌تونیم ماتریس بالا رو که غیر قطری هست تبدیل کنیم به یک ماتریس قطری که عیناً همونه ولی در یک فضای دیگه. چرا؟ دیوانه‌ایم؟ نه خیر! نکته‌ش اینجاست که ماتریس‌های قطری فواید زیادی برامون دارن و محاسبات رو برامون خیلی ساده‌تر می‌کنن. مثلاً تو همین مثال، فرض کنید بخوایم توان صدم ماتریسی که تو دایره تصویر پایین آورده شده و قطری نیست رو حساب کنیم. ماتریس رو قطری می‌کنیم، به توان 100 می‌رسونیم. بعد نتیجه رو از دنیای بردارهای پایه ویژه برمی‌گردونیم به فضای عادی خودمون.
البته که برای همه ماتریس‌ها نمیشه این کار رو انجام داد. مثلاً ماتریس تبدیل shear که هم این جلسه و هم در جلسات گذشته بررسی کردیم، فقط یک بردار ویژه داره. با یک بردار ویژه نمیشه کل صفحه دو بعدی رو span کرد، پس نمیشه محاسبات بالا رو براش انجام داد.
بعنوان یک تمرین می‌تونید مواردی رو که در تصویر زیر خواسته شده به دست بیارید و ببینید که چطور میشه. پاسخ این قسمت در بخش پاسخ سوالات ارائه شده آورده شده.
پیشنهاد می‌کنم که حتماً حتماً ویدیو این جلسه رو یه نگاهی بهش بندازید تا بهتر مطالب در ذهنتون جا بگیره.
شهود بردارهای ویژه و مقادیر ویژه رو بررسی کردیم و فهمیدیم که جزییاتشون به چه صورت هست. در مورد ماتریس‌های قطری حرف زدیم و گفتیم که برامون بهتره که اگه بشه ماتریس‌ها رو به فرم ماتریس‌های قطری در بیاریم و بعد از انجام محاسبات، مجدداً برگردونیم به فضای اولیه.
قسمت اول سوال برمی‌گرده به دنباله اعداد فیبوناچی. چند تا جمله‌‌ش رو که بنویسید، الگوش مشخص میشه که چطور به دست میاد.
برای محاسبه قسمت دوم سوال یه تیکه کدی رو به کمک کتابخونه numpy نوشتم و در نهایت تا توان 10 ام ماتریس A رو محاسبه و چاپ کردم. در ادامه یک شرح کوتاه از کد زده شده و اتفاقاتی که داره میفته ارائه میدم.
همونطور که در خروجی می‌بینید، جواب هر دو حالت یکسان شده. چه حالتی که ماتریس A رو به کمک بردارهای ویژه‌ای که داشت قطری کردیم و سپس به توان 10 رسونده و در نهایت برگردوندیم به حالت عادی. چه در حالتی که توان 10 ماتریس A رو به صورت مستقیم محاسبه کردیم.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
