منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفا برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.
سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.
در جلسه گذشته مفاهیم اولیه‌ای از ضرب خارجی رو بررسی کردیم و در نهایت به فرمولی رسیدیم که به کمک اون می‌تونستیم ضرب خارجی دو بردار رو در فضای سه بعدی محاسبه کنیم. قرار بود این رو بررسی کنیم که اون فرمول دقیقاً داره چه چیزی رو نشون میده و اصلاً چرا بردارهای پایه رو در ستون اول ماتریسی که ساخته میشه قرار میدیم.
الان تو تصویر پایین قراره ضرب خارجی دو بردار V و W رو حساب کنیم. حاصل میشه یک بردار که اندازه اون بردار معادل هست با صفحه‌ای که دو بردار V و W میسازن و از طرفی بردار ضرب خارجی بر اون صفحه عموده. جزییات بیشتر مرتبط با این موضوع در جلسه گذشته ارائه شده.
یک سری روابط ریاضی وجود داره که این ویژگی‌هارو میشه به کمکش اثبات کرد. اما چیزی که ما دنبالش هستیم بررسی شهود هندسی هست نه صرفاً یک سری فرمول ریاضی که شاید درکی هم نشه داشت ازش.
برای دنبال کردن ادامه مطالب، لازمه که محتوای جلسه ششم (در مورد دترمینان) و جلسه نهم (در مورد ضرب داخلی و دوگان) رو مطالعه کرده باشین و در جریان باشید.
در مورد دوگان این رو بررسی کرده بودیم که مثلاً دوگان ضرب داخلی، یک تبدیل خطی هست که میاد فضای دو بعدی رو به فضای یک بعدی مپ می‌کنه. یعنی وقتی میایم تبدیل خطی می‌زنیم و فضارو از دو بعد به یک بعد تبدیل می‌کنیم، عیناً مثل این می‌مونه که بیایم ضرب داخلی حساب کنیم.
برای درک بهتر توضیح بالا می‌تونید تصویر زیر رو ببینید. البته لازم به ذکره که جزییات مربوط به دوگان و رابطه بین تبدیل خطی و ضرب داخلی در جلسه نهم به تفصیل بررسی شده و اگر همچنان متوجه نمی‌شید، می‌تونید به محتوای اون جلسه مراجعه کنید.
حالا قراره در ادامه چیکار کنیم؟ قراره این رو نشون بدیم که تبدیل خطی از فضای سه بعدی به فضای یک بعدی دوگان ضرب خارجی هست. برای این کار، اول تبدیل خطی از فضای سه بعدی به یک بعدی رو بررسی می‌کنیم. بعد دوگانش رو به دست میاریم و در نهایت نشون میدیم که چیزی که برای دوگان حساب کردیم همون ضرب خارجی دو برداره.
حالا، همونطور که در جلسه گذشته دیدیم، اگر بخوایم ضرب خارجی رو در فضای دو بعدی برای دو بردار حساب کنیم، نتیجه یک عدد میشه که معادل هست با دترمینان دو بردار که همون مساحت ساخته شده توسط دو برداره.
ممکنه کسی از این تعبیر بالا استفاده کنه و بگه که اگه بخوایم مثلا ضرب خارجی رو در فضای سه بعدی و برای سه بردار U و V و W محاسبه کنیم، کافیه که سه بردار رو به صورت ستونی در یک ماتریس قرار بدیم، بعد بیایم ازش دترمینان بگیریم. در نهایت یک عدد بهمون داده میشه که معادل هست با حجمی که سه بردار ساختن که همون دترمینان در فضای سه بعدیه. ولی خب می‌دونیم که این معادل با تعریف ضرب خارجی نیست و اشتباهه.
ضرب خارجی در واقع دو تا بردار می‌گیره و در خروجی بهمون یک بردار میده. ولی این سناریویی که اینجا دیدیم، اینجوری بود که سه تا بردار می‌گرفت و در خروجی بهمون یک عدد میداد. حالا درسته که این چیزی که الان بررسی کردیم معادل با ضرب خارجی نیست، ولی می‌خوایم از ایده‌ش استفاده کنیم و بریم جلو تا ببینیم در نهایت به چی می‌رسیم.
فرض کنید به جای اینکه سه بردار ثابت داشته باشیم، دو بردار V و W رو به صورت ثابت داریم و بردار U رو متغیر در نظر گرفتیم که مولفه‌هاش رو با x و y و z نشون میدیم. یعنی انگار یه تابعی داریم که یک بردار با سه مولفه می‌گیره و در خروجی بهمون یک عدد میده که همون دترمینان سه برداره. کاری که این تابع برامون می‌کنه به صورت شهودی اینطوره که انگار میاد حجم ساخته شده بین سه بردار رو برامون محاسبه می‌کنه و با توجه به قانون دست راست و جهتی که داره ، میگه که حجم ساخته شده مثبت میشه یا منفی. پس به کمک این تابع می‌تونیم بردارهای سه بعدی رو به یک عدد مپ کنیم.
حالا، این تابع رو اصلاً چرا اینجوری تعریف کردیم؟ خب، ویژگی‌هایی که این تابع داره باعث میشه که در نهایت بتونیم باهاش ضرب خارجی رو توضیح بدیم. اولین ویژگی این تابع اینکه خطیه و به همین دلیل، می‌تونیم براش دوگان به‌دست بیاریم و بقیه مراحل رو جلو ببریم. حالا اینکه چرا خطیه برمی‌گرده به خواص دترمینان که از توضیح جزییاتش در اینجا می‌پرهیزیم.
حالا دوگان چی بود و چه ربطی داره؟ همونطور که در جلسات قبلی دیدیم، اگه ما بتونیم به یک نحوی یک تبدیل خطی رو به محور اعداد مپ کنیم، به عبارتی دیگه، تبدیل خطی‌ای داشته باشیم که در نهایت بهمون یک بعد بده می‌تونیم تو این حالت تعریفی از دوگان داشته باشیم. اگه گنگ یا مبهمه نگران نباشید. در ادامه با جزییات بیشتری بررسی می‌کنیم.
همون طور که گفتیم، این تابع یک بردار می‌گیره و در خروجی بهمون یک عدد میده. مثل این می‌مونه که انگار بیایم برداری که مولفه‌هاش متغیر هستن رو در یک ماتریس دیگه ضرب ماتریسی کنیم. قبول دارید که ضرب یک ماتریس با یک سطر و سه ستون در یک بردار با سه مولفه خروجی‌ش یک عدد میشه دیگه؟
همونطور هم که از جلسات قبلی می‌دونیم، ضرب ماتریس‌ها یک جورایی داشت همون تبدیل خطی رو بهمون نشون میداد. یعنی الان تو شکل پایین، سمت چپ شهودش اینکه بیا بردار با مولفه‌های متغیر رو بگیر و روش یک تبدیل خطی بزن و از فضای سه بعدی ببرش به فضای یک بعدی. یعنی بیا تبدیل خطی‌ای روش اعمال کن که فضای سه بعدی رو یک بعدی بکنه.
طبق تعریفی هم که برای دوگان داشتیم و در جلسه نهم بررسی کردیم، تبدیل خطی و ضرب ماتریسی بالا، معادل با این هست که انگار بیایم ماتریس 3×1 رو تبدیل کنیم به یک بردار با سه مولفه و در بردار با مولفه‌های متغیر ضرب داخلی کنیم. ضرب ماتریسی که در تصویر بالا اومده، دوگانش میشه ضرب داخلی که تو تصویر پایین نشون داده شده.
حالا الان دنبال چی هستیم؟ دنبال یک بردار به نام p می‌گردیم که وقتی در هر بردار دلخواهی با مولفه‌های متغیر ضرب شد، دقیقا معادل بشه با رابطه‌ای که سمت راست نوشته شده. یعنی معادل بشه با دترمینان سه بردار با مولفه‌های متغیر، بردار ثابت V و بردار ثابت W.
به صورت ریاضی اگه بیایم دو رابطه سمت چپ و راست رو باز کنیم به روابط زیر می‌رسیم. سمت راستی داره میگه بیا مولفه x رو در یه چیزی ضرب کن، مولفه y رو در یه چیز دیگه ضرب کن و مولفه z رو هم در یه چیزی ضرب کن و در نهایت جمعشون کن. چیزهایی که اینجا دارن ضرب میشن در متغیرها در واقع همون مولفه‌های بردار p هستن. رابطه سمت راست هم اومده ترکیب‌های مختلف مولفه‌های بردار V و بردار W رو که عدد ثابت هستن در مولفه x و مولفه y و مولفه z ضرب کرده و در نهایت جمعشون کرده.
مولفه‌های بردار p در واقع همون ترکیبات مختلف مولفه‌های بردار V و بردار W هست.
حالا اگه بیایم به جای مولفه‌های متغیر x و y و z از i و j و k استفاده کنیم، انگار که به همون فرمول ضرب خارجی رسیدیم که در اول جلسه می‌خواستیم بررسی کنیم.
در ادامه می‌خوایم این رو بررسی کنیم که بردار p که یکم بالاتر دیدیمش چه ویژگی‌هایی باید داشته باشه که باعث بشه رابطه زیر درست باشه. البته به صورت ریاضی یکم قبل‌تر بررسی کردیم، قراره به صورت هندسی ببینیم که چیو داره بهمون نشون میده.
از ویدیو مرتبط با ضرب داخلی می‌دونیم که ضرب داخلی دو بردار p و یک بردار با مولفه‌های متغیر به صورت شهودی یعنی اینکه بیایم بردار با مولفه‌های متغیر رو روی بردار p تصویر کنیم و در نهایت طول تصویر شده بردار متغیر رو در طول بردار p ضرب کنیم.
حالا، قراره رابطه سمت راست رو به صورت شهودی بررسی کنیم. فرض کنید بیایم مساحت ساخته شده توسط دو بردار V و W رو در نظر بگیریم. بعد بیایم مساحت رو به جای اینکه در طول خود بردار متغیر ضرب کنیم، در طول اون بخشی از بردار متغیر که بر دو بردار V و W عموده ضربش کنیم.
به عبارتی دیگه، اول بیایم بردار متغیر رو در محوری که بر دو بردار V و W عمود هست تصویر کنیم. بعد طول تصویر شده اون بردار رو در مساحت ضرب کنیم.
این کاری که اینجا می‌کنیم دقیقاً معادل هست با اینکه بیایم تصویر بردار متغیر رو، روی برداری که بر بردار V و W عمود هست و اندازه‌ش برابر با سطح ساخته شده توسط دو بردار V و W هست، به دست بیاریم. به عبارتی دیگه، ضرب داخلی بین بردار متغیر و بردار عمود بر دو بردار V و W رو حساب کنیم. حالا منفی یا مثبت شدن ضرب داخلی هم داره همون جهت رو مشخص می‌کنه که قبلا در موردش توضیح دادیم.
الان فهمیدین که دقیقاً چی شد؟ ما تونستیم یک برداری مثل p پیدا کنیم که اولاً اندازه‌ش برابر با مساحتی هست که توسط دو بردار V و W ساخته شده و دوماً وقتی اون رو در بردار متغیر ضرب داخلی می‌کنیم، معادل بشه با همون محاسبه دترمینان بین سه بردار متغیر، V و W.
می‌خواستیم فرمول ضرب خارجی رو بررسی کنیم. اومدیم از مفهوم تبدیل خطی استفاده کردیم. بعد از مفهوم دوگان کمک گرفتیم و در نهایت به این رسیدیم که ضرب خارجی بین دو بردار V و W مثل این می‌مونه که انگار بیایم یک بردار سوم (بردار متغیر) و یک بردار چهارم (بردار p) داشته باشیم. بعد ضرب داخلی بردار سوم (بردار متغیر) و بردار چهارم (بردار p) معادل بشه با محاسبه دترمینان برای یک ماتریسی که ستون‌هاش به ترتیب میشه بردار متغیر، V و W.
اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.
