مفاهیم هندسی و پایه‌ای جبر خطی - جلسه دوازدهم - شهود هندسی روش کرامر

منبع اصلی این پست، پلی‌لیست Essence of Linear Algebra از کانال یوتیوب 3blue1brown می‌باشد. لطفاً برای حفظ حقوق منتشر کننده اصلی، ویدیوهارو از منبع اصلی دنبال کنید. همچنین، در عنوان تصاویری که از ویدیو اصلی آورده شده، دقیقه و ثانیه متناظر با ویدیو ذکر شده است.

سعی کردم هرچیزی که از ویدیوها فهمیدم رو به صورت متن در بیارم و در این پلت‌فورم با بقیه به اشتراک بذارم. کل ویدیوها 16 تاست که سعی می‌کنم هفته‌ای یک الی دو جلسه رو منتشر کنم. تا جایی که تونستم سعی کردم خوب و کامل بنویسم، اما اگر جایی ایرادی داشت، حتما تو کامنت‌ها بهم بگید تا درستش کنم.

شهود هندسی روش کرامر

در جلسات قبلی در مورد دستگاه معادلات خطی صحبت کردیم و جزییاتش رو بررسی کردیم. تو این جلسه قراره از مطالبی که از قبل بلدیم استفاده کنیم و شهود روش کرامر رو بررسی کنیم. اگه روش کرامر یادتون رفته، دو تصویر زیر کمک می‌کنه که یادتون بیاد. اگه هم که کلا نمی‌دونین روش کرامر چیه با یه سرچ اوکی میشه.

برای اینکه بتونید مطالب این جلسه رو خوب متوجه بشید باید مباحثی که مرتبط با دترمینان، ضرب داخلی و سیستم‌ معادلات جبر خطی هست رو مورد مطالعه قرار داده باشین و مشکلی نباشه.

حالا بریم که شروع کنیم.

اولین نکته اینکه این روش (روش کرامر)، در مقایسه با روش حذف گاوسی (Gaussian Elimination) که بهش روش حذف گاوس-جردن هم گفته میشه، از لحاظ سرعت خیلی کندتره. باز هم اگه نمی‌دونید این روش دقیقاً چیه می‌تونید سرچ کنید و در موردش بخونید، ولی در کل بحث ما تو این جلسه صرفاً در مورد روش کرامر هست.

برای شروع، مثال زیر رو در نظر بگیرید.

حالا این رابطه بالا داره چی میگه بهمون کلا؟ داره میگه من در دستگاه مختصات اولیه دنبال یه برداری هستم که الان نمی‌دونم چیه. می‌خوام به نحوی اون بردار رو پیدا کنم که وقتی اومدم تبدیل خطی زدم و فضارو بردم به یک فضای دیگه، اون بردار مپ بشه به مختصات (2- ,4-) که با رنگ زرد پایین مشخص شده.

یعنی بعد تبدیل زدن این بردار صورتی کاملا میفته روی بردار زرد ولی من نمی‌دونم که باید در دستگاه مختصات اولیه چه مختصاتی داشته باشه تا اینطور بشه.

حالا یه چیزی که ما می‌دونیم اینکه اون برداری که دنبالش هستیم ترکیب خطی‌ای هست از دو بردار پایه در فضای جدید که با رنگ‌های سبز و قرمز مشخص شدن. ولی خب نمی‌دونیم دقیقاً چه ترکیب خطی‌ای ازشون.

حواستون باشه که چیزی که ما اینجا در نظر گرفتیم اینطوره که حتماً یک بردار پیدا میشه. به عبارتی دیگه، یعنی دترمینان 0 نمیشه. اگه دترمینان 0 بشه ما دو حالت برامون پیش میاد. حالت اول اینکه، هیچ برداری نمی‌تونیم پیدا کنیم. که به صورت زیر میشه. یعنی انگار راستای بردار زرد رنگ با راستای بردارهای پایه در فضای جدید یکی نیست و تبدیلی که زدیم باعث شده که فقط یک بعد داشته باشیم که در این صورت هیچ برداری رو نمی‌تونیم پیدا کنیم که بعد از تبدیل خطی بیفته رو بردار زرد.

یه حالت هم وقتی دترمینان 0 باشه جوری میشه که بی‌نهایت جواب داشته باشیم. به این صورت که راستای بردار زرد رنگ بعد از تبدیل دقیقاً هم راستا بشه با بردار‌های پایه تو اون فضای جدید.

منظور از اینکه بی‌نهایت جواب داریم، چنین چیزیه. یعنی در دستگاه مختصات اولیه بی‌نهایت بردار می‌تونیم پیدا کنیم، که بعد از اینکه تبدیل خطی زدیم مپ بشن به اون بردار زرد رنگی که بالا اومده.

حالا ما فرضمون اینکه دترمینان 0 نمیشه و ابعاد فضامون قبل از زدن تبدیل خطی و بعد از زدن تبدیل خطی باهم یکی هستن. به عبارتی دیگه، هر بردار در دستگاه مختصات اولیه (که بهش بردار ورودی می‌گیم) فقط و فقط به یک بردار بعد از تبدیل خطی (که بهش بردار خروجی می‌گیم) مپ میشه و بر عکس. یعنی هر بردار در فضای تبدیل یافته (بردار خروجی)، فقط و فقط از یک بردار در فضای اولیه (بردار ورودی) به وجود اومده. تصاویر زیر به درک بهتر چیزی که گفتیم کمک می‌کنه.

حالا در ادامه می‌خوایم ایده‌ای رو بررسی کنیم که به صورت کلی درست نیست ولی نگاه جالبیه و حالا جلوتر بررسی می‌کنیم که چرا درست نیست.

ایده اینه که میگه مولفه x از ضرب داخلی بردار مجهول در بردار پایه i در دستگاه مختصات اولیه به وجود اومده و مولفه y هم از ضرب داخلی بردار مجهول در بردار پایه j.

حالا، وقتی که میایم تبدیل خطی می‌زنیم، خب همه این مواردی که داشتیم بخاطر تبدیل خطی تغییر می‌کنن. یعنی من بیام حالت تبدیل یافته بردار مجهول رو در حالت تبدیل یافته بردارهای پایه i و j ضرب داخلی کنم و این داره همون مولفه‌های x و y رو بهم میده، پس دیگه تمومه و مجهول‌هامو پیدا کردم.

چجوری مجهول‌هامو پیدا کردم؟ چون می‌دونم ورژن تبدیل یافته بردارهای پایه در فضای جدید چی میشه. همچنین، مختصات بردار تبدیل یافته مجهول رو هم در فضای جدید دارم. تو تصویر پایین مشخص شدن همشون.

ولی این تحلیل همیشه درست نیست. چون ضرب داخلی بین دو بردار در حالت قبل از تبدیل خطی و در حالت بعد از تبدیل خطی لزوماً یکسان نیست و در مواردی ممکنه کاملاً تفاوت باشه.

مثلا، ممکنه ما قبل از زدن یک تبدیل خطی، برداهایی که داریم جوری باشن که مقدار ضرب داخلی براشون مثبت باشه. مثل تصویر زیر.

ولی بعد از اینکه تبدیل خطی می‌زنیم همین دو بردار جوری در فضای جدید قرار بگیرن که ضرب داخلی‌شون در این حالت منفی بشه. پس یعنی ضرب داخلی قبل و بعد از تبدیل خطی کاملاً دو مقدار متفاوت داشت.

یه مثال دیگه بردارهای پایه i و j در دستگاه مختصات اولیه هستن. وقتی تبدیل خطی نزدیم چون بر هم عمودن ضرب داخلی‌شون 0 میشه.

ولی بعد از اینکه تبدیل خطی می‌زنیم ممکنه به جایی مپ بشن که ضرب داخلی‌شون دیگه 0 نباشه و بر هم عمود نباشن.

ولی یه چیزی رو میشه از مثال بالا به دست آورد و به حالت کلی تعمیم داد. اگه ضرب داخلی بعد از اعمال تبدیل خطی، برای بردارهای پایه همچنان 0 بشه، این به این معنیه که تبدیلی که زدیم باعث شده بردارهای پایه بر هم عمود بمونن و فقط جهتون عوض بشه. به صورت کلی، همه تبدیل‌های خطی که باعث rotation بشن به این صورت هستن. یعنی زاویه بین بردارهای پایه رو تغییر نمیدن و برهم عمود می‌مونن، ولی همزمان تمام بردارهای پایه رو در جهتی خاص می‌چرخونن.

برای اینکه مثال‌هایی از این تبدیل‌ها ببینید به دقیقه 4:35 تا 4:53 از ویدیو این جلسه مراجعه کنید.

تو این حالت که ضرب داخلی قبل و بعد از اعمال تبدیل خطی تغییر نمی‌کنه می‌تونیم از همون ایده‌ای که بالاتر مطرح شد استفاده کنیم. برای یک مثال تصویر زیر رو ببیند. اگه تبدیل خطی‌مون جوری باشه که مثلا بیایم دستگاه مختصات رو 30 درجه در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخونیم، می‌تونیم بردار مجهول رو به همون روشی که بالاتر گفتیم به دست بیاریم.

حالا اصلاً چرا باید ایده‌ای که همیشه درست نیست رو مطرح کنیم و توضیح بدیم؟ دلیلش اینه. درسته که ضرب داخلی قبل و بعد از تبدیل‌های خطی ثابت نمی‌مونه و تغییر می‌کنه ولی ما می‌تونیم مورد دیگه‌ای رو در نظر بگیریم که قبل و بعد تبدیل خطی عوض نمیشه و یه جورایی ثابته و به کمک همون می‌تونیم مقادیر مجهول رو بیابیم. اون مورد دیگه یه جورایی از ایده دترمینان میاد و حالا در ادامه جزییاتش رو بررسی خواهیم کرد.

فرض کنید بیایم مساحتی که بردار مجهول با بردار پایه i میسازه رو در نظر بگیریم. در این حالت مساحت میشه y×1=y که در تصویر زیر هم مشخص شده. این عملاً یکسانه با همون مولفه مجهول y.

البته یک نکته‌ای رو حواستون باشه. مساحتی که اینجا در نظر می‌گیریم به صورت علامت‌دار هست و ممکنه مثبت یا منفی بشه. یعنی جهت بردارها برامون مهمه. در مورد اینکه کی مساحت مثبت میشه و کی منفی در جلسه مرتبط با دترمینان مفصلاً توضیح دادیم. الان تو این مورد و تو تصویر زیر، چون مولفه y سمت منفی محور عمودی هست پس مساحت منفی میشه. ولی تو تصویر بالا مثبت بود.

حالا همونطور که اومدیم مولفه y رو بر اساس مساحت به دست‌ آوردیم، می‌تونیم بیایم مولفه x رو هم به صورت مشابهی بر اساس مساحت به‌دست بیاریم. یعنی مساحت بین بردار مجهول و بردار پایه j معادل هست با مولفه مجهول x.

تا اینجا کار خاصی نکردیم. فقط اومدیم مولفه‌های مجهول x و y رو به صورت جدیدی نشون دادیم.

می‌تونیم این کار رو به فضای سه بعد هم تعمیم بدیم. با این تفاوت که در اون فضا به جای مساحت میایم از حجم استفاده می‌کنیم. حواسمون هم هست که حجم رو هم به‌صورت علامت‌دار باید در نظر بگیریم. علامت هم به کمک قانون دست راست مشخص میشه، که در جلسات گذشته کاملاً توضیح دادیم.

مثلاً برای اینکه بیایم مولفه z رو از طریق حجم معادلشو به‌ دست بیاریم، باید بیایم حجمی که از طریق سه بردار مجهول، بردار پایه i و بردار پایه j به دست میاد رو در نظر بگیریم. به همین تریب مولفه‌های x و y رو هم می‌تونیم به‌ دست بیاریم.

مولفه y به صورت زیر به ‌دست میاد:

مولفه x هم به صورت زیر:

حالا، برگردیم به همون فضای دو بعدی. حالا چرا اصلا اومدیم از این مساحت استفاده کردیم و اینجوری مجهول‌هارو نشون دادیم؟ مگه مساحتی که قبل از تبدیل خطی در نظر گرفتیم بعد از تبدیل خطی تغییر نمیکنه؟ چرا! تغییر می‌کنه! منتها نکته اینجاست که تمام مساحت‌ها به یک اندازه بعد از تبدیل خطی تغییر می‌کنن و اون اندازه معادله با دترمینان ماتریس تبدیل. یعنی چی؟ برای درک بهتر تصویر زیر رو ببینید. یه ماتریسی داریم به نام A که داره میگه تبدیل خطی چجوری باشه. تو حالت اولیه هستیم و یک سری شکل رو که مساحت‌های دل‌خواهی دارن در نظر گرفتیم.

حالا میایم تبدیل خطی می‌زنیم و فضارو از حالت اولیه می‌بریم به حالتی که ماتریس A داره نشون میده. واضحه که تمام شکل‌های اولیه دچار تغییر شدن و مساحتشون تغییر کرده ولی نکته اینجاست که تمامی شکل‌ها در فضای جدید مساحتشون به یک اندازه عوض شده و تغییر کرده و اون اندازه معادله با دترمینان ماتریس A که داشت تبدیل رو مشخص می‌کرد.

بیاید با یه مثال یکم دقیق‌تر توضیح بدیم. حالت زیر قبل از اعمال تبدیله و مساحت بین بردار مجهول و بردار پایه i معادل شده با y که یکی از مولفه‌های مجهولمون هست.

حالا تبدیل خطی می‌زنیم و فضا عوض میشه تو این حالت مساحت بین بردار مجهول تغییر یافته و بردار پایه تغییر یافته i، میشه همون حالت قبلی منتها ضرب در دترمینان ماتریس تبدیل. یعنی مولفه مجهول y در دترمینان ماتریس A.

حالا می‌دونید نکته هیجان‌انگیز ماجرا کجاست؟ اینجا که تو حالت تغییر یافته ما می‌دونیم که مولفه‌های بردار مجهولمون چیه! یعنی اینکه بردار مجهول تغییر یافته همون بردار خروجیه که در اوایل این جلسه در موردش توضیح دادیم.

حالا اگه بخوایم مولفه مجهول y رو با توجه به شکل بالا، به دست بیاریم باید چیکار کنیم؟ آره خودشه! باید بیایم مولفه y رو تنها کنیم! که در این صورت مولفه مجهول y میشه مساحتی که در فضای جدید داریم، تقسیم بر دترمینان ماتریس تبدیل که تو این مثال با A نشونش دادیم.

شکل زیر رو ببینید. با توجه به اینکه می‌دونیم مختصات بردار مجهول تبدیل‌ یافته چیه و از اونجایی که مقادیر بردار‌های پایه رو هم در فضای جدید داریم، پس می‌تونیم مساحتی رو که می‌خوایم در فضای جدید حساب کنیم. دترمینان ماتریس A که ماتریس تبدیل هست هم که قابل محاسبه‌س. پس خیلی زیبا و جالب‌انگیزناک اومدیم مقدار مجهول مولفه y رو به دست آوردیم!

همین حرکات مشابه رو برای به دست‌ آوردن مولفه مجهول x هم میشه انجام داد.

خب دیگه حل شد! فهمیدیم مولفه‌های بردار مجهول چی میشه! به این روشی که به این زیبایی به صورت هندسی تونستیم تعبیرش کنیم روش کرامر میگن.

این چیزایی که برای دو بعد اینجا بررسی کردیم، برای سه بعد و بیشتر هم قابل تعمیمه. فقط نکته‌ش اینکه در فضای سه بعدی دیگه با مساحت کاری نداریم، همونطور که یکم پیش‌تر توضیح دادیم، با مساحت کار می‌کنیم.

حالا برای اینکه ببینید که آیا مفاهیمی که بررسی کردیم رو خوب متوجه شدید یا نه، می‌تونید به عنوان یک مثال دستگاه معادلات زیر رو به صورت شهودی برای خودتون تحلیل کنید.

البته، اگر دوست داشتین، می‌تونید تحلیل‌هاتون رو به صورت کامنت زیر همین پست به اشتراک بذارید که منم بخونم و یکم ذوق کنم که برام کامنت گذاشتن ^.^

همچنین، به شدت پیشنهاد می‌کنم که یک دور ویدیو این جلسه رو نگاهی بهش بندازید تا مطالبی که مطالعه کردین خیلی خوب براتون جا بیفته. ویدیو‌های یوتیوبِ منتشرکننده اصلی رو هم اگر خوشتون اومد لایک کنید و براش کامنت بذارید که اگر اوشون نبود و این محتوای خفن رو تولید نمی‌کرد، الان همچین پستی هم نوشته و منتشر نمی‌شد!

جمع‌بندی مطالب گفته شده

روش کرامر رو به صورت شهودی بررسی کردیم و دیدیم که داره دقیقاً چه اتفاقی میفته و چجوری انجام میشه.

اگر جایی ایراد یا مشکلی بود، حتما بهم بگید تا تصحیحش کنم.

ویدیو این جلسه

محتوای جلسه قبلی (جلسه یازدهم)

محتوای جلسه بعدی (جلسه سیزدهم)