شیپور گابریل

یپور گابریل یا(ترومپت توریچلی) یک تصویر هندسی با سطح بی نهایت و حجم محدود است. نامگذاری این شکل برمیگردد به یک اتفاق معهود سنتی که گابریل به عنوان یک فرشته بر شیپوری میدمد تا همگان را خبر کند که روز قضاوت فرا رسیده است، با وسیله ای محدود جهانی نامحدود را اطلاع رسانی میکند.(در فرهنگ اسلامی صور اسرافیل).

مشخصات این شکل برای اولین بار توسط فیزیکدان و ریاضیدان ایتالیایی توریچلی در قرن 17 بررسی شد.

شکلی با سطح بی نهایت و حجمی متناهی به سان داشتن سطلی است که می توانید آن را از رنگ پر کنید ولی نمیتوانید سطح آن را رنگ آمیزی کنید که منجر به یک پارادوکس میشود. ز این دست پارادوکس ها میتوان به برف‌دانه کخ نیز اشاره کرد که محیطی بی نهایت دارد اما سطحی محدود.

شیپور گابریل با دوران دادن تابغ y=1/x حول محور xها بدست می‌آید.(بازه انتگرالگیری را از 1 تا بی نهایت در نظر بگیرید). به برکت کتابخانه سیمبولیک متلب می توانیم به شکلی نمادین این انتگرالگیری را انجام دهیم.

با استفاد از دستور ezplot که باز از کتابخانه سیمبولیک متلب است داریم:

ezplot(1/x,1,10)

اگر این نمودار را حول محور x دوران دهید، میتوانید حجم آن رابه صورت مجموع حجم دیسک های دیفرانسیلی در نظر بگیرید. حجم هر دیسک دیفرانسیلی برابر است با مساحت سطح دیسک(دایره ای به شعاع y یا 1 بخش بر x) در ارتفاع آن(dx).

با استفاده از دستور cylinder که یک استوانه رسم میکند، میتوان با ورودی دادن نمودار بالا، آن را دوران دهد تا چیزی شبیه شیپور گابریل بدست آید.

اگر نیک بنگریم، تابع حجم این شیپور دارای یک ترم درجه دو از x در مخرج که ناشی از به توان دو رساندن شعاع دایره میشود می باشد. همین باعث میشود که انتگرال محدود شود. دوباره در متلب داریم:

یشینه حجم برابر pi میباشد.

اگر به رابطه ریاضی این انتگرال هم نگاه کنیم، مهم نیست کران بالای انتگرال چقدر بزرگ باشد، به هر حال مقدار انتگرال به یک عدد متناهی میل میکند.

این پارادوکس در ریاضیات و هنگامی که از بی نهایت صحبت میکنیم باید معتبر باشد. در عمل همچین چیزی امکان پذیر نیست.

شما نمیتوانید سطلی بسازید که بیرون آن نشود رنگ کرد اما بتوان آن را از رنگ پر کرد، چرا که نیاز است سطل را تا بی نهایت امتداد داد. چطور میتوانید در بی نهایت رنگ بزنید؟ لبه سطل در بی نهایت خیلی خیلی ریز شده است، اینقدر ریز شده است که در عمل هیچ مولکولی از رنگ از آن کوچکتر نیست.

پی نوشت: هیچ مسئولیتی در مورد استدلال آخر به عهده نمیگیریم، صرفا یک ریزالویشن بود.