لگاریتم، ادراک و اطلاعات (قسمت ۳)

فضای اطلاعات: فضایی لگاریتمی

اگر فرض کنیم که اطلاعات در یک فضای احتمالاتی (مثلاً مجموعه‌ای از داده‌ها با احتمال‌هایی برای هر بخش) رمزگذاری شده باشد، برای سازمان‌دهی مؤثر این فضا، باید آن را به‌صورت مرحله‌ای و سلسله‌مراتبی تقسیم کنیم. این تقسیم‌بندی مرحله‌به‌مرحله، چیزی است که در ریاضیات به آن فیلترسازی (filtration) می‌گویند.

در هر مرحله از این تقسیم، کل فضا به بخش‌هایی جدا از هم تقسیم می‌شود. برای مثال: «چاقو» در زیرمجموعه «ابزارهای آشپزخانه» قرار می‌گیرد، که خود زیرمجموعه «وسایل خانه» است. در هر مرحله، زیرمجموعه‌های ریزتر داخل یک مجموعه بزرگ‌تر قرار دارند. این ساختار به‌صورت یک درخت سلسله‌مراتبی (hierarchical tree) دیده می‌شود.

اگر در هر مرحله تقسیم‌بندی ثابتی وجود داشته باشد، مثل این‌که هر دسته به ۲ یا ۳ دسته کوچکتر تقسیم شود، تعداد کل بخش‌ها با افزایش مرحله‌ها به‌شکل نمایی رشد می‌کند. برای شناسایی دقیق یک مورد خاص (مثلاً یک برگ در انتهای درخت)، کافی است تعداد ثابتی سوال چندگزینه‌ای (یا بله/خیر) بپرسیم. این دقیقاً شبیه کارکرد مغز برای فشرده‌سازی اطلاعات است.

چه چیزی رمزگذاری می‌شود؟ نسبت بین دسته‌بندی‌ها

در این ساختار درختی، مهم‌ترین چیزی که ذخیره می‌شود نسبت بین هر دسته و زیرمجموعه‌های آن است. مثلاً اگر یک دسته به ۴ بخش تقسیم شود، ممکن است هرکدام سهم خاصی از «احتمال» را به خود اختصاص دهند. این نسبت‌ها اطلاعات اصلی هستند که مغز یا سیستم رمزگذاری نگه می‌دارد.

هر داده‌ای که در فضای اطلاعاتی قرار دارد، می‌تواند با دنباله‌ای از این نسبت‌ها شناخته شود. در واقع، برای رسیدن به یک نقطه خاص در این فضا، می‌توان مسیر را از ریشه درخت تا آن نقطه با دنباله‌ای از نسبت‌ها (که در بازه ۰ تا ۱ هستند) مشخص کرد. برای درک این موضوع به بازی بیست سوالی دقت کنید: در هر قدم شما به دنبال یافتن سوالی هستید که با نسبت بهتری فضای حالت های ممکن را تقسیم بندی کند. در اینجا «نسبت» بهینه سوالی است که با جواب دادن به آن به زیربخش کوچکتری از فضا میرسیم به طور مثال اگر طرف مقابل چیزی در ذهن داشته باشد سوال «آیا یک موجود زنده است یا خیر؟» سوال بسیار بهتری است تا «آیا قاشق است؟» چرا که سوال اول تعداد حالت های بیشتری را حذف می کند!

حالا اگر به‌جای ضرب کردن این نسبت‌ها، لگاریتم آن‌ها را بگیریم، عملیات ضرب به جمع تبدیل می‌شود. این کار باعث می‌شود تا بتوانیم اطلاعات را به‌صورت ساده‌تر و افزایشی ذخیره کنیم. به همین دلیل، لگاریتم نقشی کلیدی در نحوه پردازش اطلاعات توسط مغز ایفا می‌کند.

اگر این نسبت‌ها در هر مرحله یکسان باشند، ساختاری شبیه فرکتال (fractal) داریم؛ اما در حالت کلی، هر مرحله می‌تواند نسبت متفاوتی داشته باشد. در این صورت، فضای اطلاعاتی به یک ساختار چندفرکتالی (multifractal) تبدیل می‌شود که در آن هر مسیر، ویژگی خاص خود را دارد. برای هر مسیر می‌توان عددی به نام «توان هولدر محلی» (local Hölder exponent) تعریف کرد که نشان می‌دهد چقدر اطلاعات در آن مسیر فشرده یا گسترده شده‌است.

مجموعه‌ای از نقاط که نمای هولدر یکسان دارند، یک «طیف» می‌سازند که به آن طیف چندفرکتالی (multifractal spectrum) گفته می‌شود. این طیف به ما کمک می‌کند تا بفهمیم چگونه اطلاعات در مقیاس‌های مختلف توزیع شده‌اند.

نتیجه‌گیری

ما با یک مشاهدهٔ ساده ولی عمیق شروع کردیم: اینکه ادراک ما از جهان خطی نیست، بلکه لگاریتمی است. این واقعیت ساده پیامدهای بزرگی دارد. از آنجا به این نتیجه رسیدیم که این ساختار لگاریتمی فقط ویژگی حواس ما نیست، بلکه یک اصل بنیادی در سازمان‌دهی مغز و هر سیستم شناختی است.

در قلب این ساختار، توانایی شگفت‌انگیز مغز برای درک جهان از طریق نسبت‌ها قرار دارد؛ چیزی که در نظریهٔ اطلاعات به آن طول کد (code length) می‌گویند. طول کد لگاریتم تعداد حالت‌های ممکن است. این یعنی مغز به‌طور طبیعی اطلاعات را فشرده می‌کند. شناخت یعنی فشرده‌سازی: یعنی تبدیل سیل ورودی‌های حسی به روابط معنادار.

چه در مقایسهٔ صداها، وزن‌ها، روشنایی‌ها یا حتی مفاهیم انتزاعی، بدن ما همیشه به‌دنبال ساختار از طریق تناسب است. مغز تجربیات وسیع را در قالب‌های فشرده و نسبی رمزگذاری می‌کند. این فقط یک راهبرد نیست؛ این مهراز (معماری) اندیشه است.

در پس هر احساس، هر تصمیم، و هر درک، منطقی عمیق وجود دارد: ذهنی لگاریتمی که جهان را نه آن‌گونه که هست، بلکه آن‌گونه که نسبت دارد می‌بیندو در نهایت، درک کردن یعنی سنجیدن جهان بر اساس نسبت‌های آن.