نگاهی کیفی به معادلات دیفرانسیل

می توان جواب یک معادله دیفرانسیل را بدون اینکه آن را حل کنیم بصورت جئومتریکی بررسی کنیم. یکی از این روش ها استفاده از میدان های برداری است.

میدان برداری با رسم خط کوتاهی که از نقطه (t,y) عبور میکند و شیب آن f(t,y) است. جواب ها، یا منحنی‌های انتگرالی، این ویژگی را دارند که در هر نقطه مماس بر میدان‌ برداری است و بنابراین یک ارزیابی کلی و کیفی از حل یک معادله دیفرانسیل از میدان برداری استنتاج می شود.

برای معادلات ساده، می توانید میدان برداری را دستی رسم کنید، اما Matlab برای هر معادله درجه اولی قادرست میدان برداری را رسم کند.

در زیر یک مثال برای معادله دیفرانسیل خطی آورده شده است.

دستوری که متلب برای رسم میدان برداری استفاده میکند quiver است. در کنار این دستور همواره meshgrid وجود دارد.

کاری که این کد انجام میدهد مجموعه ای نقاط (گرید) میسازد و این نقاط را در معادله دیفرانسیل (شیب هر نقطه) قرار میدهد. بردارهای (1,s) شیب مطلوب را به ما میدهد ولی با طول های متفاوت. به همین منظور نرمال کرده ایم.

در این شکل مشخص است که کجا نمودار صعودی است، کجا ماکزیمم دارد و ... . وقتی زمان به بی نهایت میل کند، جواب ها به صفر میل میکند و ... .

دسته جواب دقیق معادله به صورت زیر است:

شکل زیر این دسته جواب ها را بر روی میدان برداری نشان می دهد.شما میتوانید به عنوان یک تمرین منحنی که نقاط ماکزیمم دسته جواب ها را به هم متصل میکند بر روی این نمودر بیندازید. البته این نقاط به صورت کیفی بر روی صفحه میدان برداری مشخص است.

Reference

B .R .Hunt, R.L.Lipsman, “Differential equation with matlab “, John Wiley, second edition, 2005,pp.65-68.