ما تعریف گرادیان را میدانیم: مشتق هر متغیر از تابع. نماد گرادیان یک دلتا سر و ته شده است و به آن "دل" می گویند(اگه بخایم خیلی غیرفنی صحبت کنیم این جمله خیلی هم بی راه نیست. دلتا نشان دهنده تغییرات یک متغیر است و گرادیان هم تغییر همه متغیرهاست). اگر تابع سه متغیره را در نظر بگیریم:
دقت کنید مولفه X بردار گرادیان مشتق جزیی تابع نسبت به X است و این موضوع در مورد دو متغیر دیگر نیز صادق است. دقت کنید که گرادیان به صورت یک عملگر هم می تواند بر روی تابع اعمال شود.
اگر بخواهیم جهتی بیابیم که به سمت افزایش تابع حرکت کنیم باید مختصات کنونی را (3,4,5) درون گرادیان تابع قرار دهیم.
بنابراین جهت این بردار جدید (1,8,75) قطب نمای ما در جهت افزایش مقدار تابع است. در این مثال عنصر x عملا چیز زیادی به مقدار تابع اضافه نمیکند: مشتق جزیی این بخش همواره 1 است.
کاربرد واضح گرادیان یافتن بیشینه/کمینه توابع چند متغیره است. کاربرد دیگری که کمتر به چشم میخورد یافتن بیشینه توابع مقید است: تابعی که مقادیر x و y آن باید در یک دامنه خاصی باشند، برای مثال یافتن بیشینه یک تابع که تمام دامنه آن درون یک دایره تعریف شده است. حل چنین مسائلی نیازمند اینه که به پیر ریاضیات یعنی لاگرانژ توسل کنیم. اما از من میشنوید فعلا از گرادیان لذت ببرید.
خلاصه همه مطالب:
۱- گرادیان فرم کلی تری ازمشتق است.
۲- گرادیان جهت بیشترین افزایش را مشخص میکند.
۳- گرادیان را دنبال کنید، به بیشینه محلی خواهید رسید. مطمئن باشید.
