در این مطلب، به معرفی توزیع‌های مهم و پرکاربرد برخی از متغیرهای پیوسته میپردازیم.
توزیع یکنواخت پیوسته:
ساده ترین توزیع پیوسته، توزیع یکنواخت است. اگر تمام نقاط در بازه (a,b) دارای امکان وقوع یکسان باشند، در این صورت متغیر تصادفی X را که برد آن مقادیر موجود در بازه (a,b) است، متغیر تصادفی یکنواخت می نامند که با نماد X~U(a,b) نشان داده میشود. تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی یکنواخت برابر است با:
و تابع توزیع آن به صورت زیر می‌باشد.
مثال: شخصی هر روز صبح رأس ساعت ۸:۰۰ به ایستگاه اتوبوس می‌آید. اگر اتوبوس در لحظه‌ای تصادفی بین ساعت ۸:۰۰ تا ۸:۳۰ صبح به ایستگاه برسد، متوسط مدت زمان انتظار این شخص چقدر است؟
پاسخ : اگر اتوبوس X دقیقه بعد از ساعت ۸:۰۰ به ایستگاه برسد، در این صورت X متغیر تصادفی یکنواخت روی بازه‌ی (0,30) است. در نتیجه متوسط زمان انتظار این شخص به صورت زیر بدست می‌آید:
توزیع نمایی:
اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد
گوییم X دارای توزیع نمایی با پارامتر λ است و آن را با نماد X ~ E(λ) نشان میدهیم. در یک آزمایش تصادفی پواسن، اگر متغیر تصادفی را زمان رسیدن به اولین رخداد (موفقیت یا شکست) در نظر بگیریم یک متغیر تصادفی پیوسته ایجاد شده که دارای توزیع نمایی است. به عنوان مثال، زمان سپری شده تا سوختن اولین قطعه ی الکترونیکی در یک کارخانه دارای توزیع نمایی است.
مثال: فرض کنید به طور متوسط هر سه ماه یکبار زمین‌لرزه‌ای در یک شهر رخ می‌دهد. احتمال اینکه زمین‌لرزه‌ی بعدی بعد از سه ماه و قبل از هفت ماه آینده رخ دهد، چقدر است؟
پاسخ: فرض می‌کنیم X زمان لازم برای وقوع زمین لرزه‌ی بعدی باشد( بر حسب ماه ). همچنین میتوان فرض کرد که X متغیر تصادفی نمایی با λ=1/3 است. برای محاسبه‌ی (P(3<X<7 می‌توانیم از تابع توزیع X استفاده کنیم که به صورت زیر می‌باشد:
لذا میتوان نوشت:
توزیع گاما:
اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد.
گوییم X دارای توزیع گاما است و آن را با نماد های زیر نمایش میدهیم.
در فرمول تابع چگالی گاما، تابعی تحت عنوان r(a) وجود دارد که به صورت زیر می‌باشد:
برای این تابع در صورتی که پارامتر آن (a) عدد صحیح و مثبتی باشد،
* در نمودار های بالا منظور از k همان a می‌باشد. همچنین λ=1/θ می‌باشد.
مثال: فرض کنید در حال حل سوالات سخت ریاضی هستید و انتظارتان این است که در هر نیم ساعت، ۱ سوال حل شود . مطلوب است محاسبه‌ی اینکه برای حل ۶ سوال باید بین ۲ تا ۴ ساعت زمان صرف کنید.
پاسخ : ?
بر اساس مواردی که سوال مطرح کرده به طور میانگین در هر ساعت ۲ سوال حل میشود پس λ=2 و همچنین چون هدف حل ۶ سوال است ، a=6 می‌باشد.
برای محاسبه به صورت زیر عمل می‌کنیم :
توزیع نرمال:
مهمترین توزیع پیوسته توزیع نرمال است. زیرا بسیاری از پدیده های طبیعی مثل قد و وزن افراد، نمرات درسی، میزان محصول در طول سال و... از توزیع نرمال پیروی میکنند. متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال است و آن را با نماد ? نمایش میدهیم اگر تابع چگالی احتمال زیر باشد.
مد، میانه و میانگین توزیع نرمال با یکدیگر برابر است. حالت خاص ? و ? به نرمال استاندارد معروف است و معمولا متغیر تصادفی نرمال استاندارد را با Z، تابع چگالی احتمال آن را با ? و تابع توزیع آن را با ? نشان میدهند. با استفاده از تغییر متغیر ? به سادگی میتوان مقادیر احتمال متغیر تصادفی نرمال را از روی جدول توزیع متغیر تصادفی نرمال استاندارد به دست آورد.
مثال : فرض کنید اندازه قفسه‌ی سینه یک سرباز دارای توزیع نرمال با میانگین ۳۹.۸ اینچ و انحراف معیار ۲.۰۵ اینچ باشد. احتمال اینکه اندازه‌ی قفسه سینه یک سرباز، حداقل ۴۰ اینچ باشد چقدر است؟
پاسخ: فرض کنید p این احتمال باشد که اندازه قفسه‌ی سینه سرباز انتخاب شده، ۴۰ یا بیشتر از ۴۰ اینچ باشد. اگر X یک متغیر تصادفی نرمال با میانگین ۳۹.۸ و انحراف معیار ۲.۰۵ باشد، آنگاه
توزیع لاگ نرمال:
اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد
گوییم X دارای توزیع لاگ نرمال با پارامترهای ? و?است و آن را با نماد ? نشان میدهیم.
نکته: هرگاه X دارای توزیع لاگ نرمال باشد آنگاه Y = ln X دارای توزیع نرمال است.
مثال : استفاده از توزیع ، هنگام تحلیل قیمت سهام بسیار مفید است. تا زمانی که فاکتور رشد مورد استفاده دارای توزیع نرمال باشد، توزیع لاگ نرمال منطقی است. از طرفی، از توزیع نرمال نمی‌توان برای مدل سازی قیمت سهام استفاده کرد زیرا جنبه منفی دارد و قیمت سهام نمی‌تواند به زیر صفر برسد.
توزیع وایبل:
توزیع وایبل به دلیل تنوع کاربرد به طور گسترده ای در علوم مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. کاربرد خاص این توزیع در بررسی طول عمر سیستم هایی است که از مدل «ضعیف‌ترین اتصال» پیروی میکنند. به عبارت دیگر توزیع وایبل برای سیستم هایی که از اجزای متعددی تشکیل شده‌اند و سیستم، زمانی خراب میشود که هریک از اجزا آن خراب شود، تقریب مناسبی ارائه می‌دهد.
اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد
گوییم X دارای توزیع وایبل با پارامترهای k و λ است و آن را با نماد X~W(k,λ) نشان میدهیم. حالت خاص k=1 همان توزیع نمایی با پارامترλ است.
مثال: از توزیع وایبل برای مطالعه و تحلیل داده‌های زندگی (اندازه گیری زمان تا حصول شکست) استفاده میشود. به عنوان نمونه، میتوان از تحلیل وایبل برای مطالعه موارد زیر استفاده کرد:
و زمینه‌های دیگر که زمان تا شکست (time-to-failure) در آنها مهم است.
توزیع کوشی:
متغیر تصادفی X دارای توزیع کوشی با پارامتر x0 و Y است اگر تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر باشد
و آن را با ? نشان می دهند. حالت خاص x0=0 و y=1 به کوشی استاندارد معروف است.
مثال:
توزیع بتا:
اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد
گوییم X دارای توزیع بتا با پارامترهایa وb است و آن را با نماد X~Beta(a,b) نشان میدهیم.
نکته: حالت خاص b=1، یعنی Beta(a,1) به توزیع توانی معروف است .
نکته: حالت خاص a=b=1 یعنیBeta(1,1) همان توزیع یکنواخت U(0,1) است.
مثال: توزیع‌های بتا اغلب مدل‌های مناسبی برای متغیرهای تصادفی هستند که بین دو کران متناهی یعنی یک کران بالا و یک کران پایین تغییر میکنند. به این دلیل متغیرهای تصادفی زیر می‌توانند بتا باشند:
در این سه مورد متغیر تصادفی به ترتیب به فاصله ی بین صفر و 1، صفر و 100، و صفر و طول آن درخت، محدود شده است.
توزیع ارلانگ:
توزيع ارلانگ یک توزیع پیوسته است که به ازای همه مقادیر حقیقی مثبت بزرگتر از صفر و با دو پارامتر مشخص می شود.
پارامتر شکل عددی a صحيح و مثبت و پارامتر نرخ b یک عدد حقیقی مثبت است. این توزیع گاهی با معکوس پارامتر نرخ معرفی می شود که به این پارامتر، θ (پارامتر مقیاس) گفته می شود. θ≥0
نکته: زمانی که پارامتر شکل برابر با ۱ باشد این توزیع به توزیع نمایی تبدیل می شود.
نکته : توزیع ارلانگ حالت خاصی از توزیع گاما می باشد در صورتیکه پارامتر شکل یک عدد صحیح باشد. در توزیع گاما این پارامتر به عدد صحیح محدود نمی شود.
تابع چگالی ارلانگ به صورت زیر می‌باشد:
زمانی که پارامتر مکان θ را داریم ، تابع چگالی به فرم زیر نوشته میشود:
نمودار تابع چگالی ارلانگ به صورت زیر می‌باشد
همچنین نمودار تابع توزیع تجمعی ارلانگ نیز به صورت زیر است.
توزیع رایلی :
اگر متغیر تصادفی X دارای تابع توزیع به فرم زیر باشد، توزیع رایلی نامیده میشود. پارامتر
را پارامتر مقیاس برای این توزیع می‌نامیم. همچنین این توزیع را به صورت می نویسیم.
نکته : اگر پارامتر مقیاس برابر با ۱ باشد ، این توزیع به توزیع کای دو با درجه آزادی ۲ تبدیل میشود.
مثال: از توزیع رایلی غالباً برای مدل سازی ارتفاع موج در اقیانوس شناسی و در تئوری ارتباطات برای توصیف اوج قدرت متوسط و لحظه‌ای سیگنال‌های رادیویی دریافت شده، استفاده میشود. همچنین این توزیع در مدلسازی فرکانس سرعت‌های مختلف باد در سایت‌های توربین بادی، در طول یک سال، کاربرد دارد.
توزیع F :
یک توزیع احتمال پیوسته است که معمولا برای آزمون‌های فرض مربوط به تحلیل واریانس (ANOVA) به کار می‌رود. این توزیع براساس تحقیقات «رونالد فیشر» (Ronald Fisher) و «جورج سندکور» (George Snedecore) ابداع و خصوصیات آن بررسی و ارائه شد.
اگر X دارای توزیعی با پارامترهای (که d1,d2 اغلب اعدادی صحیح و نامنفی می‌باشند و به آنها درجه‌ی آزادی توزیع F می گوییم)، باشد و تابع چگالی احتمال X برای مقادیر مثبت آن به صورت زیر باشد:
یا به صورت زیر :
آنگاه X دارای توزیع F می‌باشد و آن را به صورت زیر نمایش میدهیم.
نمودار توزیع تجمعی و چگالی احتمال آن به صورت زیر می‌باشد:
توزیع کای ۲ :
اگر X یک متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال زیر باشد.
در این صورت X دارای توزیع کای ۲ با درجه آزادی k می‌باشد که آن را به صورت زیر نمایش میدهیم:
نمودار چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی این توزیع به صورت زیر می‌باشد:
قضیه : فرض کنید Z1,Z2,....,Zk تعداد k متغیر تصادفی با توزیع نرمال استاندارد باشند. آنگاه جمع این مربعات دارای توزیع کای‌دو با k درجه آزادی می‌باشد. داریم:
