به نام خدا
سلام
درسنامه اعداد صحیح
عدد صحیح
عدد صحیح یا عدد درست، عددی است که می‌تواند بدون جزء کسری نوشته شود. برای مثال، ۲۱، ۴، ۰، و ۴− عدد صحیح هستند، در حالی که ۹٫۷۵، و √۲ عدد صحیح نیستند؛ مجموعه اعداد صحیح از صفر (۰)، اعداد طبیعی مثبت (۱، ۲، ۳، ...)، که همچنین اعداد شمارشی نیز گفته می‌شوند، و وارون جمعیشان (اعداد صحیح منفی، یعنی، ۱−، ۲−، ۳−، ...) تشکیل شده‌است.
این مجموعه شامل اعداد مثبت و صفر و اعداد منفی است. در ریاضیات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (یونی کد ℤ) (ابتدای کلمهٔ آلمانی Zahlen ([ˈtsa:lən] به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ نامتناهی‌ست.
شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد. در واقع می‌توان گفت اعداد طبیعی و حسابی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند؛ و اعداد صحیح هم زیر مجموعه اعداد گویا هستند.
همانطور که اشاره شد، ممکن است که تفاصل دو عدد طبیعی دیگر یک عدد طبیعی نباشد. در این حالت، زمانی که اعداد صحیح بوجود نیامده بودند، برای تفریق دو عدد طبیعی این قانون را باید در نظر می‌گرفتیم که حتما در رابطه زیر aa بزرگتر از bb باشد.
a−b∈N,a≥ba−b∈N,a≥b
بدون توجه به این شرط دیگر امکان تفاضل وجود نداشت برای حل این مشکل، لازم است که گستره اعداد شناخته شده را افزایش دهیم و به کمک آن مجموعه (که بیانگر اعداد صحیح است) حاصل این تفریق را مشخص کنیم.
هر عددی که بدون نمایش به صورت کسری قابل نمایش باشد، یک عدد صحیح خوانده می‌شود. برای مثال اعداد 1، 2 ،0، 5-، 10-، و 7 در گروه اعداد صحیح قرار می‌گیرد زیرا می‌توانیم بدون آنکه احتیاج به نمایش کسر متعارفی داشته باشیم، آن‌ها را مشخص کنیم.
مجموعه اعداد صحیح (Integers) با علامت ZZ نشان داده می‌شود. علامت ZZ از ابتدای کلمه آلمانی (Zahlen) به معنی «عدد» گرفته شده است. البته در انگلیسی به این گونه اعداد Integer گفته می‌شود که از کلمه لاتین (Integer) به معنی عدد گرفته شده است. این مجموعه اعداد شامل صفر، اعداد طبیعی و اعداد منفی (قرینه اعداد مثبت) است.
Z={…,−2,−1,0,1,2,…}Z={…,−2,−1,0,1,2,…}
همانطور که دیده می‌شود، مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از اعداد صحیح خواهد بود. از طرفی مجموعه اعداد صحیح نیز زیر مجموعه اعداد گویا (Q) است. در نهایت مجموعه اعداد حقیقی (R) و اعداد مختلط (C) نیز با مجموعه‌های گفته شده در رابطه زیر قرار میگیرند.
N⊂Z⊂Q⊂R⊂CN⊂Z⊂Q⊂R⊂C
نکته: در مقابل با اعداد گویا یا کسری (Rational Numbers)، اعداد صحیح را گاهی اعداد درست گویا (Rational Integers) نیز می‌نامند.
در دیگر مطالب فرادرس اشاره کردیم که می‌توان اعداد طبیعی را روی محوری جهت دار نمایش داد. به همان شکل، اعداد صحیح را نیز می‌توانیم روی دو محوری نشان دهیم که از هر دو طرف بی‌کران است. عدد صفر مرکز یا محل اتصال این دو محور است. در سمت راست صفر، مقادیر مثبت و در سمت چپ آن مقادیر منفی قرار میگیرند. برای درک بهتر این موضوع به تصویر زیر توجه کنید.
در این محور، اعداد مثبت با رنگ آبی و اعداد منفی با رنگ قرمز مشخص شده‌اند. همچنین عدد صفر نیز در مرکز این محورها دیده می‌شود. واضح است که هر چه از سمت چپ این محور به سمت راست حرکت کنیم، اعداد بزرگتر خواهند شد. برای مثال می‌توان گفت که −9<3−9<3 است زیرا روی محور اعداد عدد −9−9 در سمت چپ 33 قرار گرفته است. بنابراین هنگام مقایسه دو عدد روی محور، آن عددی بزرگتر است که در سمت راست عدد دیگر قرار گرفته باشد. به همین ترتیب اگر عددی در سمت چپ عدد دیگر روی محور باشد، کوچکتر از آن خواهد بود.
عددهای آبی (سمت راست مقدار صفر) در تصویر ۱ را اعداد صحیح مثبت و اعداد قرمز (سمت چپ مقدار صفر) را اعداد صحیح منفی می‌نامند. واضح است که در سمت راست مقدار صفر، مقادیر مثبت بوده و در سمت چپ صفر روی محور اعداد، همه مقادیر منفی هستند.
اگر دقت کنید، اعدادی که در سمت چپ محور دیده می‌شوند، قرینه اعداد سمت راست هستند. به این معنی که هر عدد صحیح مثبتی را با قرینه کردن، می‌توان به صورت یک عدد صحیح منفی درآورد. برای اعداد مثبت روی محور، اغلب از علامت + استفاده می‌شود. ولی اگر برای عددی، علامت گذاشته نشود، آن را مثبت در نظر می‌گیریم.
اجرای اعداد صحیح در موتور جستجوی هوشمند ولفرم آلفا
مثال1: آیا عدد 5 یک عدد صحیح است؟
نتیجه:
عدد 5 یک عدد صحیح است.
مثال 2: آیا عدد 5/4 یک عدد صحیح است؟
نتیجه:
عدد 5/4 یک عدد صحیح نیست.
منبع درسنامه
فیلم آموزشی 1 اجرای اعداد صحیح در موتور جستجوی هوشمند ولفرم آلفا
https://aparat.com/v/hAVnK
فیلم آموزشی 2
اجرای اعداد صحیح در موتور جستجوی هوشمند ولفرم آلفا
https://aparat.com/v/Me63O
موفق باشید
به امید خدا
