شش وجهی جادویی

تعدادی از اتحادهای مثلثاتی را به راحتی می‌توانید از روی شکل زیر استخراج کنید.

ابتدا بایدِ شاه‌کلیدِ این روش یعنی خودِ تصویر را حفظ کنیم. ترسیمش ساده است؛ کافی است نسبت‌های مثلثاتی رابطۀ (tan(x) = sin(x) / cos(x را به ترتیب از چپ به راست روی شکل قرار دهیم.

در وسطِ شکل یک خطِ فرضی عمود کنید. تمامِ نسبت‌هایی که با لفظ co شروع می‌شوند در سمتِ راست این خط قرار دارند؛ یعنی cos, cot, csc. بعلاوه، کسینوس کنار سینوس، کتانژانت کنار تانژانت و کسکانت کنار سکانت قرار دارد. با این اطلاعات تکلیفِ مابقیِ نسبت‌ها مشخص می‌شود.

برویم سروقتِ فرمول‌ها...

به دو روشِ ساعت‌گرد و پادساعت‌گرد روی گوشه‌های شش وجهی حرکت کنید.

به اتحادهای زیر خواهیم رسید:

ساعت‌گرد
ساعت‌گرد


پاد‌ساعت‌گرد
پاد‌ساعت‌گرد

حالا به این تصویر نگاه کنید.

نسبت‌هایی که در دو طرفِ عددِ 1 قرار دارند یا به عبارتی آن‌هایی که در طولِ قطرهای شش وجهی با هم ضرب شده‌اند نتیجه‌شان می‌شود یک و نسبت‌هایی که روی وجوه شش وجهی با هم ضرب می‌شوند پاسخشان برابر با نسبت میانی خواهد بود.

با این حساب:

  • sin(x)csc(x) = 1
  • tan(x)csc(x) = sec(x)
  • sin(x)sec(x) = tan(x)

در تصویر بالا سینوس x برابر شده با 1 تقسیم بر کسکانت x. مابقی نسبت‌ها به صورت زیر به دست می‌آید:

یک موردِ دیگر

  • sin(30°) = cos(60°)
  • tan(80°) = cot(10°)
  • sec(40°) = csc(50°)

و این هم آخری

به صورت پادساعت‌گرد نیز قابل اجراست؛ مثلاً:

منبع