به نام خدا
تابع نمایی و عدد e
چند نکته دوست داشتم درباره تابع exp(x) اینجا بنویسم. یک خوبی که این تابع به لحاظ ریاضیاتی دارد این است که مشتق آن برابر خودش است. اما قبل از آن باید ببینیم که e چه شکلی محاسبه میشود؟
تقریب عدد e را با بسط مکلورین انجام میدیم. بسط در اینجا، تبدیل تابع به یک جملهای حول یک نقطه است و در بسط مکلورین این نقطه، نقطه x=0 است. برای بسط مکلورین داشتیم:
تقریب بالا رو برای تابع دلخواه f داریم و باقیمانده R به صورت حدی برابر صفر است. حالا اگر این بسط را برای f(x)=exp(x) بنویسیم، از آنجایی که میدانیم:
بسط مکلورین تابع نمایی:
اگر مقدار x را برابر با 1 در نظر بگیریم، خواهیم داشت:
اگر همین 5 جمله اول بسط را در نظر بگیریم، مقدار e تقریبا برابر با 2.708 میشود که تا حدودی به عدد مشهور 2.71 نزدیک است.
البته مقدار e همچنین از حد در بینهایت تابع
هم به دست میآید و این تابع در اقتصاد و پدیده رشد دارای تفسیرهایی هست که نمیخواهم وارد این بخش شوم، با اینکه رشته خودم اقتصاد است.
منبع این نوشته ویرایش چهارم کتاب fundamental methods of mathematical economics نوشته Alpha Chiang و Kevin Wainwright است و نمودار در R رسم شده است.
این فعلا باشد به عنوان یک پست کوچک.
خدا ایران را پیروز کند.
