دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی

کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی

مکانیک کوانتومی مدرن (پیشرفته)

نویسنده: جی جی ساکورای

تایپ شده با قابلیت جستجو

مترجم:فریما قدمی

کامل ترین ترجمه کتاب به زبان فارسی

تعداد صفحات: 1034

فرمت :PDF

ویرایش جدید

دانلود کتاب

بخشی از متن کتاب:

همانطور که باید باشد نشان دهید که |T|2 + |R|2 = 1. د. با تطبیق امواج سمت راست و چپ در سمت چپ با موج سمت راست در سمت راست در x = 0 تأیید کنید که نتیجه یکسانی به دست می آورید. ه. ما در مسئله 2.29 نشان دادیم که این پتانسیل دارای یک و تنها یک حالت محدود است. نشان دهید که نتایج شما برای T(k) و R(k) دارای قطب های حالت محدود در موقعیت های مورد انتظار هستند، زمانی که k به عنوان یک متغیر مختلط در نظر گرفته می شود.

آ. اثبات کنید:

به هر یک از روش های زیر: آ. با ادغام مقطع دیفرانسیل که با استفاده از تقریب Born مرتبه اول محاسبه می شود. ب. با اعمال قضیه نوری به دامنه پراکندگی رو به جلو در تقریب Born مرتبه دوم. [توجه داشته باشید که اگر از تقریب Born مرتبه اول استفاده شود، f(0) واقعی است.] 6.3 دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی هسته 40Ca را از داده های شکل 6.6 تخمین بزنید و با آنچه از مقدار تجربی ≈1.4A1/3 fm انتظار می رود، مقایسه کنید. توجه داشته باشید که A عدد جرمی هسته است. دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی استفاده از تقریب Born مرتبه اول را برای این داده ها بررسی کنید.

6.4 یک پتانسیل را در نظر بگیرید

که در آن V0 ممکن است مثبت یا منفی باشد. با استفاده از روش امواج جزئی نشان دهید که برای |V0| ≪ E = h ̄2k2/2m و kR ≪ 1 سطح مقطع دیفرانسیل همسانگرد است و سطح مقطع کل بصورت زیر است:

برای اثبات هر ادعا: (i) وقتی پتانسیل دافعه (جذاب) باشد δl منفی (مثبت) است. (ii) هنگامی که طول موج د بروگل بسیار بیشتر از محدوده پتانسیل است، δl با k2l+1 متناسب است. ثابت تناسب را پیدا کنید. 6.6 صریحاً رابطه عدم قطعیت x - px را برای دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی پایه یک ذره محصور در یک کره سخت بررسی کنید: V = ∞ برای r > a، V = 0 برای r <a. (نکته: از تقارن کروی استفاده کنید.) 6.7 پراکندگی یک ذره توسط یک کره غیر قابل نفوذ را دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی زیر در نظر بگیرید

آ. یک عبارت برای تغییر فاز موج s (l = 0) استخراج کنید. (برای اینکه بتوانید این کار را ساده انجام دهید، نیازی به دانستن ویژگی های دقیق توابع بسل کروی ندارید مسئله!) ب. سطح مقطع کل σ[σ =(dσ/dΩ)dΩ] در حد بسیار کم انرژی k → 0 چقدر است؟ پاسخ خود را با مقطع هندسی πa2 مقایسه کنید. شما ممکن است بدون هیچ مدرکی، فرض کنید:

دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی

6.8 از δl = Δ(b)|b=l/k برای بدست آوردن دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فاز δl برای پراکندگی در انرژی های بالا توسط (الف) پتانسیل گاوسی، V = V0 exp(-r2/a2)، و (ب) یوکاوا استفاده کنید. پتانسیل، V = V0 exp(-μr)/μr. این ادعا را تأیید کنید که δl با افزایش l (k ثابت) برای l ≫ kR، که در آن R "محدوده" پتانسیل است، خیلی سریع به صفر می رسد. [فرمول Δ(b) در (6.168 آورده شده است).] درک این موضوع مفید است

که در آن K0(x) تابع بسل اصلاح شده نوع دوم، مرتبه صفر است.

6.9 الف. اثبات کنید:

نشان دهید که اگر tan kR دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی به صفر نباشد، تغییر فاز موج s شبیه نتیجه کره سخت است که در متن بحث شده است. همچنین نشان دهید که برای tan kR نزدیک به (اما نه دقیقاً برابر) صفر، رفتار دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی ممکن است. یعنی با افزایش k، cot δ0 از سمت مثبت از صفر عبور می کند. تقریباً موقعیت رزونانس ها را با حفظ شرایط مرتبه 1/γ تعیین کنید. آنها را با انرژی های حالت محدود برای ذره ای محصور در داخل دیواره ای کروی با همان شعاع مقایسه کنید،

و به ویژه توجه کنید که با بزرگ شدن γ، رزونانس ها بسیار تیز می شوند. (توجه: برای یک رویکرد متفاوت و پیچیده تر به این دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی ، به گوتفرید (1966)، صفحات 131-141 مراجعه کنید، که خصوصیات تحلیلی تابع Dl تعریف شده توسط Al = jl/Dl را مورد بحث قرار می دهد.) 6.11 یک ذره بدون دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی توسط پتانسیل وابسته به زمان پراکنده می شود

نشان دهید که اگر پتانسیل به مرتبه اول در دامنه انتقال داده شود، انرژی ذره پراکنده به اندازه h ̄ω کاهش یا افزایش می یابد. dσ/dΩ بدست آورید. به صورت کیفی بحث کنید که اگر شرایط درجه بالاتر در نظر گرفته شود چه اتفاقی می افتد. 6.12 نشان دهید که سطح مقطع دیفرانسیل برای پراکندگی الاستیک یک پوزیترون سریع توسط حالت پایه اتم هیدروژن بصورت زیر است

6.13 یک برنامه دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی برای بازتولید شکل 6.15 بنویسید. همچنین نموداری را که اندازه‌های نسبی انرژی، عمق چاه و پتانسیل مؤثر را نشان می‌دهد، که مشابه شکل 6.14 برای این مشکل است، اضافه کنید. 6.14 بگذارید انرژی ذره ای که در یک دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی مرکزی حرکت می کند E(J1 J2 J3) باشد، که در آن (J1، J2، J3) سه متغیر عمل هستند. چگونه شکل عملکردی E برای دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی کولن تخصص دارد؟ با استفاده از دستور روش زاویه عمل، انحطاط میدان مرکزی و مسائل کولن را مقایسه کنید و آن را به بردار A مرتبط کنید. اگر همیلتونی بصورت زیر باشد

این اظهارات چگونه تغییر می کند؟ انحطاط های مربوط به میدان مرکزی و کولن را شرح دهید مسائل در تئوری کوانتومی بر حسب اعداد کوانتومی معمول (n، l، m) و دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی از نظر اعداد کوانتومی (k، m، n). در اینجا مجموعه دوم، (k، m، n)، توابع موج Dmk n(αβγ) را برچسب گذاری می کند. توابع موج Dmkn(αβγ) چگونه با هارمونیک های کروی زمان لاگر مرتبط هستند؟

این فصل به بحث در مورد برخی از اثرات مکانیکی کوانتومی قابل توجه ناشی از هویت ذرات اختصاص دارد. ابتدا یک فرمالیسم مناسب و نحوه برخورد طبیعت با آنچه به نظر می رسد یک انتخاب دلخواه است ارائه می کنیم. سپس برخی از دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی را برای اتم های پیچیده تر از اتم های هیدروژن در نظر می گیریم. در ادامه به سیستم‌هایی با دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی یکسان تعمیم دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی و دو فرمالیسم مختلف را برای محاسبات مورد بحث قرار می‌دهیم. در نهایت، یک مثال عینی از یک نظریه میدان مکانیکی کوانتومی چند ذره، یعنی کوانتیزه کردن میدان الکترومغناطیسی را پوشش خواهیم داد.

7.1 تقارن جایگشتی در فیزیک کلاسیک، امکان پیگیری ذرات منفرد وجود دارد، حتی اگر ممکن است شبیه به هم باشند. وقتی ذره 1 و ذره 2 را به عنوان یک سیستم در نظر بگیریم، اصولاً می توانیم مسیر ذره 1 و ذره 2 را به طور جداگانه در هر لحظه از دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی دنبال کنیم. برای مقاصد حسابداری، می توانید یکی از آنها را آبی و دیگری را قرمز کنید و سپس نحوه حرکت ذره قرمز و نحوه حرکت ذره آبی را با گذشت زمان بررسی کنید. با این حال، در مکانیک کوانتومی، ذرات یکسان واقعاً قابل تشخیص نیستند. این به این دلیل است که ما نمی‌توانیم بیش از یک مجموعه کامل از مشاهده‌پذیرهای رفت‌وآمد را برای هر یک از ذرات مشخص کنیم. به ویژه، ما نمی توانیم ذره را با رنگ آبی آن برچسب گذاری کنیم. همچنین نمی‌توانیم مسیر را دنبال کنیم زیرا این امر مستلزم اندازه‌گیری موقعیت در هر لحظه از زمان است که لزوماً سیستم را مختل می‌کند. به ویژه دو وضعیت (الف) و (ب) نشان داده شده در شکل 7.1 را نمی توان - حتی در اصل - متمایز کرد. برای سادگی فقط دو ذره را در نظر بگیرید. فرض کنید یکی از ذرات، که ما آن را ذره 1 می نامیم، با |k′⟩ مشخص می شود، جایی که k′ یک شاخص جمعی برای مجموعه کاملی از قابل مشاهده ها است. به همین ترتیب، کت ذره باقیمانده را |k′′⟩ می نامیم. حالت ket برای دو ذره را می توان به شکل محصول زیر نوشت.

که در آن ذره 1 با |k′′⟩ و ذره 2 با |k′⟩ دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی می شود. اگرچه این دو ذره قابل تشخیص نیستند، شایان ذکر است که از نظر ریاضی (7.1) و (7.2) کت های متمایز برای k′ ̸= k′′ هستند. در واقع با k′ ̸= k′′ متعامد با یکدیگر هستند.

شکل 7.1 دو دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی مختلف، (الف) و (ب)، از یک سیستم دو الکترونی، برای مثال، که در آن ما حتی در اصل نمی توانیم ادعا کنیم الکترون ها از کدام یک از مسیرها عبور می کنند.

فرض کنید روی سیستم دو ذره ای اندازه گیری می کنیم. ممکن است برای یک ذره k′ و برای ذره دیگر k′ به دست آوریم. با این حال، ما دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی از این نمی دانیم که آیا حالت ket |k′⟩|k′′⟩، |k′′⟩|k′⟩، یا، برای آن موضوع، ترکیب خطی از این دو است. به عبارت دیگر، همه کت ها به فرم زیر هستن

c1|k′⟩|k′′⟩ + c2|k′′⟩|k′⟩ (7.3)

هنگامی که اندازه گیری دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی می شود، منجر به مجموعه ای یکسان از مقادیر ویژه می شود. این به انحطاط تبادلی معروف است. انحطاط تبادل مشکلی را ایجاد می‌کند، زیرا، بر خلاف مورد تک ذره‌ای، مشخصه‌ای از مقدار ویژه مجموعه کاملی از مشاهدات، وضعیت ket را به طور کامل دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی نمی‌کند. دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی که طبیعت از این مشکل دوری می کند کاملاً مبتکرانه است. اما قبل از ادامه، اجازه دهید ریاضیات تقارن جایگشت را توسعه دهیم. عملگر جایگشت P12 را بصورت زیر تعریف می کنیم

تحت P12، ذره 1 دارای k′ به ذره 1 دارای k′′ تبدیل می شود. ذره 2 دارای k′′ به ذره 2 دارای k′ تبدیل می شود. به عبارت دیگر، اثر تعویض 1 و 2 را دارد. در دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی ما اغلب با یک قابل مشاهده مواجه می شویم که دارای چند ذرات است. به عنوان مثال در S1 · S2 برای یک سیستم دو الکترونی، S1 (S2) مخفف دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی اسپین ذره 1 (2) است. برای سادگی یک مورد خاص را در نظر می گیریم که حالت دو ذره ای ket کاملاً توسط مقادیر ویژه یک A قابل مشاهده برای هر یک از ذرات مشخص می شود:

A1|a′⟩|a′′⟩ = a′|a′⟩|a′′⟩ (7.6a)

A2|a′⟩|a′′⟩ = a′′|a′⟩|a′′⟩, (7.6b)

که در آن زیرنویس‌های A نشان‌دهنده برچسب‌های ذره هستند، و A1 و A2 بنابراین قابل مشاهده هستند. A به ترتیب برای ذرات 1 و 2. با اعمال P12 در دو طرف (7.6a)، و درج 1 = P-1P12، داریم:

نتیجه این است که P12 باید برچسب ذرات قابل مشاهده را تغییر دهد. حال اجازه دهید همیلتونی سیستمی متشکل از دو ذره یکسان را در نظر بگیریم. مشاهده پذیرها، مانند عملگرهای حرکت و موقعیت، باید به طور متقارن در همیلتون ظاهر دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی ، برای مثال،

دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی

در اینجا ما تعامل متقابل بین دو ذره را از تعامل آنها با برخی پتانسیل های خارجی دیگر جدا کرده ایم. واضح است که داریم

برای H ساخته شده از قابل مشاهده برای دو ذره یکسان. از آنجایی که P12 با H حرکت می کند، می توان گفت که P12 ثابت دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی است. مقادیر ویژه P12 به دلیل (7.5) +1 و -1 هستند. بنابراین نتیجه می شود که اگر حالت دو ذره ای کت برای شروع متقارن یا ضد متقارن باشد، همیشه همینطور باقی می ماند. اگر بر روی Eigenket های P12 پافشاری کنیم، دو ترکیب خطی خاص انتخاب می شوند:

می توانیم متقارن و ضد متقارن را به صورت زیر تعریف کنیم:

ما می توانیم این دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی را به حالت هایی با بیش از دو ذره یکسان دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی دهیم. از جانب (7.12)، اگر S12(A12) را به یک ترکیب خطی دلخواه از |k′⟩|k′′⟩ و |k′′⟩|k′⟩ اعمال کنیم، مقدار کت دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی لزوماً متقارن (ضد متقارن) است. این را می توان به راحتی به صورت زیر مشاهده کرد:

در بخش 7.5 ما بر اساس این رویکرد عمل خواهیم کرد. قبل از بستن این بخش، مکث می کنیم تا به این نکته اشاره دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی که وقتی تقارن جایگشت نادیده گرفته شود، عواقب آن می تواند چشمگیر باشد. شکل 7.2 نتیجه ای را نشان می دهد که دو دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی را، قبل و بعد از تصحیح یک خطا که تقارن جایگشتی را در آنالیز نادیده می گیرد، مقایسه می کند.

شکل 7.2 هنگامی که تقارن جایگشت نادیده گرفته شود، پیامدهای شگرفی به وجود می آید. نقاط داده از McKeown و همکاران، فیزیک Rev. C, 22 (1980) 738، که پیش‌بینی فرضیه CVC را آزمایش کرد. همبستگی β± - α - δ- در برابر انرژی β± ترسیم می شود. این پیش‌بینی از یک آزمایش قبلی متفاوت است که در ابتدا از تقارن جایگشت غفلت می‌کرد. نمودار تصحیح شده در سمت راست، از McKeown و همکاران، Phys. Rev. C, 26 (1982) 2336، که در آن پیش بینی CVC با ضریب √2 کوچکتر است.

هدف این مجموعه آزمایش‌ها آزمایش چیزی به نام فرضیه جریان بردار حفاظت‌شده (CVC) بود که بر اساس فرض یک ارتباط نزدیک بین برهم‌کنش‌های الکترومغناطیسی و ضعیف است. تایید یا رد فرضیه CVC از اولویت بالایی برخوردار بود و این آزمایش یکی از دقیق ترین آزمون ها بود. نتیجه اولیه، که در سمت چپ در شکل 7.2 نشان داده شده است، از دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی بود. نتیجه تصحیح شده، در دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی راست، در نهایت تایید قاطع CVC بود. نقاط داده در شکل 7.2، که برای دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی سمت چپ و راست یکسان هستند، از اندازه گیری فروپاشی بتای 8Li و 8B هستند که هر کدام به حالت نهایی با دو ذره α (یکسان) منتهی می شوند. از طریق یک حالت برانگیخته 8Be. به این معنا که

آزمایش δ-، همبستگی در جهت بین جهت های e± و α را برای دو فروپاشی بتا، به عنوان تابعی از انرژی e± تعیین می کند. دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی این اندازه گیری با عنوان McKeown et al., Phys. Rev. C, 22 (1980) 738. ناحیه هچ شده، پیش‌بینی CVC را نشان می‌دهد که از یک آزمایش قبلی، منتشر شده با عنوان Bowles and Garvey Phys، به دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی آمده است. Rev. C, 18 (1978) 1447. این کار واکنش را اندازه گیری کرده است

1 فرضیه CVC پیش از یکسان سازی برهمکنش های الکترومغناطیسی و ضعیف در آنچه امروزه به عنوان "مدل استاندارد" نامیده می شود، می باشد.

یعنی فرآیندی که برعکس آن در (7.14) است و به جای برهمکنش ضعیف از طریق یک برهمکنش الکترومغناطیسی پیش می‌رود. استخراج پیش‌بینی CVC از این نتیجه مستلزم این است که تابع موج αα متقارن شود، اما در ابتدا برای دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی نشان داده شده در سمت چپ شکل 7.2 از این امر صرفنظر شد. مدتی بعد، این خطا برای ضریب گمشده √2 تصحیح شد و نمودار سمت راست منتشر شد که تطابق بسیار بهتری را بین پیش‌بینی و اندازه گیری نشان می‌دهد.

7.2 اصل تقارن تا دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی بحث نکرده ایم که آیا طبیعت از حالت های کاملاً متقارن یا کاملاً ضد متقارن استفاده می کند. معلوم می‌شود که سیستم‌های حاوی N ذره یکسان یا تحت مبادله هر جفت کاملاً متقارن هستند، در این صورت دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی می‌شود که ذرات آمار بوز-انیشتین (B-E) را برآورده می‌کنند، از این رو به عنوان بوزون شناخته می‌شوند، یا کاملاً ضد متقارن، در این صورت گفته می شود که ذرات آمار فرمی دیراک (F-D) را برآورده می کنند، از این رو به عنوان فرمیون شناخته می شوند. بدین ترتیب:

که در آن Pij عملگر جایگشتی است که ذره ith و j ام را با i و j دلخواه تعویض می کند. این یک واقعیت تجربی است که تقارن مختلط رخ نمی دهد. حتی قابل توجه تر این است که بین چرخش یک ذره و آماری که توسط آن اطاعت می شود ارتباط وجود دارد:

ذرات نیمه صحیح اسپین فرمیون هستند. (7.17a)

ذرات اسپین عدد صحیح بوزون هستند. (7.17b)

در اینجا ذرات می توانند ترکیبی باشند. برای مثال، یک هسته 3He یک فرمیون است درست مانند e- یا پروتون. یک هسته 4He یک بوزون است درست مانند مزون π یا بوزون گاوج Z0 است. این ارتباط آماری اسپین، تا آنجایی که می‌توانیم بگوییم، یک قانون دقیق طبیعت بدون هیچ استثنای شناخته شده‌ای است. در چارچوب مکانیک کوانتومی دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی، این اصل باید به عنوان یک فرض تجربی پذیرفته شود. اما در نظریه کوانتومی نسبیتی می توان ثابت کرد که ذرات اسپین نیمه صحیح نمی توانند بوزون باشند و ذرات اسپین عدد صحیح نمی توانند فرمیون باشند.

_________

2 مطمئناً یک نکته ظریف مهم وجود دارد که متکی بر زندگی ما در فضای سه بعدی است. اگر به دو بعد فضایی محدود شده باشند، دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی است اجسامی به نام آنیون وجود داشته باشند که دارای زنجیره ای از ویژگی های آماری در محدوده بین دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی و بوزون ها هستند. کتب مربوط به این موضوع جذاب، اما پراکنده است. خواننده به دو مقاله اولیه، یعنی "مکانیک دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی ذرات کسری اسپین"، Wilczek، Phys. Rev. Lett., 49 (1982) 957 و "طیف کوانتومی سه آنیون در یک پتانسیل نوسانگر" مورتی و همکاران، Phys. Rev. Lett., 67 (1991) 817.

پیامد فوری فرمیون بودن الکترون این است که الکترون باید اصل طرد پائولی را برآورده کند، که بیان می کند هیچ دو الکترونی نمی توانند یک حالت را اشغال کنند. این به این دلیل است که حالتی مانند |k′⟩|k′⟩ لزوماً متقارن است، که برای دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی ممکن نیست. همانطور که شناخته شده است، اصل طرد پائولی سنگ بنای فیزیک اتمی و دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی و همچنین کل شیمی است. برای نشان دادن تفاوت‌های چشمگیر بین فرمیون‌ها و بوزون‌ها، اجازه دهید دو ذره را در نظر بگیریم که هر یک می‌توانند تنها دو حالت را اشغال کنند که با k' و k' مشخص می‌شوند. برای سیستمی متشکل از دو فرمیون، چاره ای نداریم. فقط یک امکان وجود دارد:

برای بوزون ها سه حالت ممکن است:

می بینیم که در دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی فرمیون غیرممکن است که هر دو ذره یک حالت را اشغال کنند. در مورد بوزون، برای دو مورد از سه کت مجاز، هر دو ذره یک حالت را اشغال می کنند. در مورد آمار کلاسیک (M-B)، هر دو ذره برای دو مورد از چهار کت مجاز، حالت یکسانی را اشغال می کنند. از این نظر فرمیون ها کمترین معاشرت را دارند. آنها از یکدیگر دوری می کنند تا مطمئن شوند که در یک حالت نیستند. در مقابل، بوزون ها اجتماعی ترین هستند، آنها واقعا دوست دارند در یک حالت باشند، حتی بیشتر از ذرات کلاسیک که از آمار M-B پیروی می کنند. تفاوت بین فرمیون ها و بوزون ها در دماهای پایین به طور چشمگیری ظاهر می شود. دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی که از بوزون‌ها تشکیل شده است، مانند مایع 4He، تمایلی را برای همه ذرات نشان می‌دهد که در دمای بسیار پایین به حالت پایه یکسانی برسند.3 این به عنوان چگالش بوز-اینشتین شناخته می‌شود، ویژگی‌ای که توسط یک سیستم ساخته شده مشترک نیست. فرمیون ها 7.3 سیستم دو الکترونی اجازه دهید به طور خاص یک سیستم دو الکترونی را در نظر بگیریم. مقدار ویژه عملگر دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی لزوماً -1 است. فرض کنید کت‌های پایه‌ای که ما استفاده می‌کنیم ممکن است با x1، x2، ms1 و ms2 مشخص شوند، جایی که ms1 و ms2 به ترتیب مخفف اعداد کوانتومی اسپین مغناطیسی الکترون 1 و الکترون 2 هستند. ما می‌توانیم تابع موج را دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی یک سیستم دو الکترونی به‌صورت ترکیبی خطی از حالت ket با eigenbraهای x1، x2، ms1 و ms2 به صورت زیر بیان کنیم:

که در آن χ+- با χ (ms1 = 12، ms2 = - 21) مطابقت دارد. توجه داشته باشید که توابع اسپین سه گانه همگی متقارن هستند. این معقول است زیرا عملگر نردبان S1− + S2− با P12 رفت و آمد می کند و حالت |+⟩|+⟩ حتی زیر P12 است. ما یادآور میشویم:

که در آن P (فضا) فقط مختصات موقعیت را تعویض می کند، در حالی که P (spin) فقط حالت های اسپین را تعویض می کند. جالب است که می توانیم P(spin) را به صورت زیر بیان کنیم

این به همراه (7.26) نشان می دهد که اگر قسمت فضای تابع موج متقارن (ضد متقارن) باشد، قسمت اسپین باید ضد دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی (متقارن) باشد. در نتیجه، حالت سه گانه اسپین باید با دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی تابع فضای ضد متقارن و حالت اسپین تک با یک تابع متقارن فضایی ترکیب شود. بخش فضایی تابع موج φ(x1,x2) تفسیر دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی معمول را ارائه می دهد. احتمال یافتن الکترون 1 در عنصر حجمی d3x1 با محوریت حول x1 و الکترون 2 در عنصر حجمی d3x2 است.

برای درک دقیق تر معنای این، اجازه دهید مورد خاصی را در نظر بگیریم که در آن برهمکنش متقابل بین دو الکترون [به عنوان مثال، Vpair(|x1 -x2|)،S1·S2] را می توان نادیده گرفت. اگر وابستگی به اسپین وجود نداشته باشد، معادله موج برای تابع ویژه انرژی ψ مراجعه کنید به (7.9)]،

اکنون قابل تفکیک است راه حلی به شکل ωA(x1)ωB(x2) برابر تابع اسپین داریم. بدون وابستگی به چرخش، S2tot لزوماً (و به طور پیش پاافتاده) با H رفت و آمد می‌کند، بنابراین قسمت اسپین باید سه‌گانه یا منفرد باشد که دارای دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی تقارن مشخصی تحت P12 (اسپین) هستند. سپس دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی فضا باید به صورت ترکیبی متقارن و ضد متقارن از ωA(x1)ωB(x2) و ωA(x2)ωB(x1) نوشته شود:

آخرین عبارت در براکت فرفری به عنوان چگالی تبادل شناخته می شود. بلافاصله می بینیم که وقتی الکترون ها در حالت اسپین سه گانه قرار می گیرند، احتمال یافتن الکترون دوم در همان نقطه از فضا از بین می رود. به عبارت دیگر، هنگامی که دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی های آنها در حالت سه گانه قرار دارند، الکترون ها تمایل دارند از یکدیگر دوری کنند. در مقابل، هنگامی که اسپین های آنها در حالت تکی هستند، به دلیل وجود چگالی تبادل، احتمال یافتن آنها در یک نقطه از فضا افزایش می یابد. واضح است که مسئله هویت تنها زمانی مهم دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی که چگالی مبادله ناچیز باشد یا زمانی که همپوشانی اساسی بین تابع ωA و تابع ωB وجود داشته باشد. برای درک واضح این نکته، اجازه دهید حالت شدید را در نظر بگیریم که در آن |ωA(x)|2 (که در آن x دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی است به x1 یا x2 اشاره داشته باشد) فقط در ناحیه A بزرگ است و |ωB(x)|2 فقط در منطقه B بزرگ است. به طوری که این دو منطقه به طور گسترده ای از هم جدا شده اند. اکنون d3x1 را در منطقه A و d3x2 را در منطقه B انتخاب کنید. شکل 7.3 را ببینید. تنها عبارت مهم تنها عبارت اول در (7.35) است.

که چیزی بیش از چگالی احتمال مشترک مورد انتظار برای ذرات کلاسیک نیست. در این رابطه، به یاد بیاورید که ذرات کلاسیک لزوماً به خوبی محلی هستند و مسئله هویت به سادگی مطرح نمی شود. بنابراین، اگر نواحی A و B با هم تداخل دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی باشند، عبارت چگالی مبادله اهمیتی ندارد. اگر الکترون ها از هم دور باشند و دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی ناچیز باشد، نیازی به ضد تقارن نیست. این کاملاً خوشحال کننده دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی . ما هرگز نباید نگران مسئله ضد تقارن با 10 میلیارد الکترون باشیم، همانطور که لازم نیست که نیاز ضد تقارن بین یک الکترون در نیویورک و یک الکترون در پکن را در نظر بگیریم.

شکل 7.3 دو منطقه A و B به طور گسترده از هم جدا شده اند؛|ωA(x)|2 در منطقه A بزرگ است در حالی که |ωB(x)|2 منطقه بزرگ در منطقهB است.

7.4 اتم هلیوم مطالعه اتم هلیوم به چند دلیل مفید است. اول از همه، این ساده ترین مشکل واقع بینانه است که در آن مسئله هویت، که در بخش 7.3 با آن مواجه شدیم، نقش مهمی ایفا می کند. دوم، با وجود اینکه این یک دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی ساده است، معادله شرو ̈دینگر دو ذره ای را نمی توان به دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی تحلیلی حل کرد. بنابراین، این مکان خوبی برای نشان دادن استفاده از تئوری اغتشاش و همچنین استفاده از روش تغییرات است. همیلتونین پایه بصورت زیر بدست می‌آید

که در آن r1 ≡ |x1|، r2 ≡ |x2|، و r12 ≡ |x1 − x2|; شکل 7.4 را ببینید. فرض کنید ترم e2/r12 وجود نداشت. سپس، با نادیده گرفتن سؤال هویت، تابع موج فقط حاصل ضرب دو تابع موج اتم هیدروژن با Z = 1 به Z = 2 خواهد بود. دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی کل ثابت حرکت است، بنابراین حالت اسپین یا منفرد است یا سه قلو. بخش دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی تابع موج برای حالت مهمی که یکی از الکترون ها در حالت پایه و دیگری در حالت برانگیخته است که با (nlm) مشخص می شود.

برای وضعیت پایه، ما دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی به یک درمان ویژه داریم. در اینجا پیکربندی با (1s)2 مشخص می شود، یعنی هر دو الکترون در n = 1، l = 0. تابع فضا باید الزاماً متقارن باشد و فقط تابع اسپین تکی مجاز است. بنابراین ما داریم

برای انرژی حالت پایه، که حدود 30 درصد بزرگتر از مقدار آزمایشی است. این تنها نقطه شروع بررسی ما است زیرا در به دست آوردن شکل فوق (7.39)، آخرین عبارت در (7.37) را که برهمکنش بین دو الکترون را توصیف می کند، کاملاً دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی گرفته ایم. یک راه برای نزدیک شدن به مسئله به دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی آوردن مقدار انرژی بهتر، اعمال نظریه اغتشاش مرتبه اول با استفاده از (7.39) به عنوان موج بدون اغتشاش است. تابع و e2/r12 به عنوان اغتشاش. ما خواهیم داشت:

که r> (r<) بزرگتر (کوچکتر) r1 و r2 و γ زاویه بین x1 و x2 است. ادغام زاویه ای به راحتی با بیان Pl(cosγ) بر حسب Yml (θ1,φ1) و Yml (θ2,φ2) با استفاده از قضیه جمع هارمونیک های کروی انجام می شود. (به عنوان مثال به بخش 12.8 آرفکن و وبر (1995) مراجعه کنید.)

همانطور که از پایگاه داده طیف اتمی NIST مشخص شده است. این بد نیست، اما ما می توانیم بهتر عمل کنیم! ما پیشنهاد می کنیم از روش متغیر با Z استفاده کنیم که آن را Zeff می نامیم، به عنوان یک پارامتر متغیر. دلیل دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی این انتخاب این است که Z موثر مشاهده شده توسط یکی از الکترون ها کوچکتر از 2 است زیرا بار مثبت 2 واحدی در مبدأ (نگاه کنید به شکل 7.4) دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی ابر با بار منفی الکترون دیگر "غربال" می شود. به عبارت دیگر، الکترون دیگر به دلیل وجود هسته هلیوم در مرکز، بار مثبت را خنثی می کند. برای تابع آزمایشی نرمال شده از مورد زیر استفاده می کنیم

از نظر تاریخی، این دستاورد یکی از اولین نشانه هایی است که نشان می دهد مکانیک موج شرودینگر در مسیر درست قرار دارد. ما نمی توانیم این نوع اعداد را با دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی صرفا جبری (عملگر) بدست آوریم. محاسبه هلیوم اولین بار توسط A. Unso ̈ld در سال 1927.4 انجام شد اجازه دهید به طور خلاصه حالت های برانگیخته را در نظر بگیریم. این از نقطه نظر نشان دادن اثرات مکانیکی کوانتومی به دلیل هویت جالب تر است. ما فقط (1s)(nl) را در نظر می گیریم. انرژی این حالت را به صورت زیر می نویسیم

در تئوری اغتشاش مرتبه اول، ΔE با ارزیابی مقدار انتظاری e2/r12 به دست می آید. ما میتوانیم بنویسیم

علامت بالا (پایین) با حالت اسپین تک (چرخ سه گانه) می رود. بدیهی است که من مثبت هستم. همچنین می توانیم نشان دهیم که J مثبت است. بنابراین نتیجه خالص به گونه‌ای است که برای همان پیکربندی، حالت اسپین تک‌نفره دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی است، همانطور که در شکل 7.5 نشان داده شده است. تفسیر فیزیکی برای این به شرح زیر است: در حالت منفرد تابع فضا متقارن است و الکترون ها تمایل به نزدیک شدن به یکدیگر دارند. بنابراین، اثر دافعه الکترواستاتیک جدی تر است. از این رو، انرژی بالاتری دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی می شود. در حالت سه گانه، تابع فضا ضد متقارن است و الکترون ها تمایل دارند از یکدیگر دوری کنند. هلیوم در حالت‌های اسپین منفرد به عنوان پارهلیوم شناخته می‌شود، در حالی که هلیوم در حالت‌های اسپین سه‌گانه به عنوان ارتوهلیوم شناخته می‌شود. هر پیکربندی به حالت para و حالت ارتو تقسیم می‌شود که حالت para بالاتر است. برای حالت پایه فقط پارهلیوم امکان پذیر است. شکل 7.6 را برای دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی سطح انرژی شماتیک اتم هلیوم ببینید. یادآوری این نکته بسیار مهم است که همیلتونین اصلی مستقل از چرخش است زیرا پتانسیل فقط از سه عبارت کولن تشکیل شده است. هیچ ترم S1·S2 وجود نداشت. با این حال یک اثر وابسته به اسپین وجود دارد - الکترون‌های با اسپین‌های موازی انرژی کمتری دارند - که از آمار فرمی دیراک ناشی می‌شود.

این توضیح از وابستگی ظاهری اسپین سطوح انرژی اتم هلیوم به دلیل هایزنبرگ است. اعتقاد بر این است که منشاء فیزیکی فرومغناطیس - هم ترازی اسپین های الکترون در فواصل میکروسکوپی - اساساً یکسان است، اما محاسبه کمی خواص دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی ها از اصول اولیه بسیار دشوارتر است.

7.5 حالت های چند ذره ای گسترش تقارن بخش 7.2 به سیستمی که از بسیاری از ذرات یکسان تشکیل شده است دشوار نیست. با یادآوری (7.13) داریم:

درست مانند قبل، و مقادیر ویژه مجاز Pij +1 و -1 هستند. با این حال، توجه به این نکته ضروری است که به طور

که در آن k"، k"، و k" همه متفاوت هستند. بنابراین انحطاط مبادله ای شش برابری وجود دارد. با این حال، اگر اصرار داشته دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی که حالت کاملاً متقارن یا کاملاً ضد متقارن باشد، می‌توانیم هر کدام فقط یک ترکیب خطی تشکیل دهیم. به صراحت داریم

اینها هر دو ویژگی هم‌زمان P12، P23 و P13 هستند. ما اشاره کردیم که در مجموع شش کشور مستقل وجود دارد. بنابراین دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی می شود که چهار کت مستقل وجود دارد که نه کاملاً متقارن هستند و نه کاملاً ضد متقارن. همچنین می‌توانیم با تعریف عملگر P123 را معرفی کنیم

جایی که ترتیب کت ها در تعیین کننده با ردیفی که از آن منشاء می گیرند تنظیم می شود. این ساختار به عنوان یک تعیین کننده Slater شناخته می شود. تعمیم آن به مورد N-ذره ساده است. در اصل، ما می‌توانیم از خطوط بخش 7.4 پیروی کنیم تا این فرمالیسم را در سیستم‌های N-particle اعمال کنیم، اما می‌تواند به سرعت حتی با منابع محاسباتی مدرن، سخت‌گیر شود. اگر N به ترتیب عدد آووگادرو باشد، همانطور که برای مسائل فیزیک ماده متراکم یا شیمی مواد است، پس این رویکرد غیرقابل حل است. برای رسیدگی به این موارد نیاز به اختراع سایر تکنیک های محاسبه بود. دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی مانده این فصل دو تکنیک از این قبیل را توسعه می دهد. بخش 7.6 اصول تئوری تابعی چگالی را پوشش می‌دهد، یک رویکرد مبتنی بر بازنمایی مختصات که مشکل را به یک با تنها سه درجه آزادی (مکانی) کاهش می‌دهد. بخش 7.7 پایه های نظریه میدان کوانتومی را با استفاده از فرمالیسم معروف به "دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی دوم" معرفی می کند. هر یک از این تکنیک ها هم قدرتمند هستند و هم به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند. در نهایت، بخش 7.8 کوانتیزاسیون دوم را برای میدان الکترومغناطیسی در فضای آزاد اعمال می کند. (کوانتیزاسیون دوم برای میدان نسبیتی کلاین-گوردون در بخش 8.1، به صفحه 485 مراجعه کنید، اعمال می شود.

۶.۷ نظریه تابعی چگالی مشکل داشتن تعداد زیادی ذرات یکسان، در تعامل با یکدیگر و با مقداری پتانسیل خارجی، را می توان به عنوان یک معادله شرودینگر جسم N برای یک تابع موج در فضای مختصات نوشت. با این حال، این معا دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی له را نمی توان دقیقاً حل کرد، بنابراین باید طرح های تقریبی ایجاد شود. یک رویکرد خاص در دهه های اخیر به عنوان یک انتخاب محبوب، به ویژه برای ساختار الکترونیکی سیستم های ماده متراکم پدیدار شده است. این رویکرد، که به عنوان نظریه تابعی چگالی (DFT) شناخته می شود، بر اساس دو مقاله اصلی به نام های دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی و کوهن، فیزیک است. Rev., 136 (1964) B864 and Kohn and Sham, Phys. Rev., 140 (1965) A1133. DFT کاربرد گسترده ای در فیزیک و شیمی مواد متراکم و مواد پیدا کرده است. در واقع جایزه نوبل شیمی در سال 1998 به والتر کوهن فیزیکدان و جان پوپل شیمیدان برای توسعه و کاربرد این فرمالیسم اعطا شد. درمان ما در اینجا کاملاً یک مقدمه است. جونز و گونارسون، کشیش مد را ببینید. Phys., 61 (1989) 689 برای بررسی کامل پس از بلوغ DFT. امروزه DFT به طور گسترده در فیزیک ماده متراکم استفاده می شود و در کتاب های درسی مدرن در این زمینه دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی داده شده است، به عنوان مثال کوهن و لویی (2016). برای خواندن جالب تاریخی و متنی، به سخنرانی جایزه نوبل والتر کوهن، Rev. Mod مراجعه کنید. Phys., 71 (1999) 1253 و همچنین Perdew et al., J. Chem. Theory Comput., 5 (2009) 902.

7.6.1 عملکرد انرژی برای تک ذره در بخش 5.4 ما یک قضیه را ثابت کردیم که مبنای تقریب متغیر انرژی حالت پایه بود. از نظر مکانیک موج، ما متوجه شدیم که:

برای H همیلتونی و تابع موج آزمایشی (به درستی نرمال شده) ψ ̃(x)، که در آن E0 انرژی حالت پایه واقعی است. نماد E[ψ ̃] به این معنی است که انرژی تابعی از تابع موج آزمایشی است. یعنی با توجه به تابع ψ ̃(x)، می توانیم مقدار E[ψ ̃] را محاسبه کنیم. ما از این در تقریب تغییرات با دادن پارامترهای ψ ̃ آزاد استفاده کردیم، که برای به حداقل رساندن E[ψ ̃] تغییر دادیم و در نتیجه تقریبی به E0 ارائه کردیم. ایده اصلی پشت DFT این است که انرژی را می توان تابعی از چگالی به دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی تابع موج در نظر گرفت. دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی ، کوهن و شم با دقت ثابت کردند که این مسئله، مسئله چند جسمی کوانتومی را به یک مسئله تک بدنی مؤثر تبدیل می کند، یک محاسبه قابل حمل. با این حال، قبل از توصیف کار آنها، اجازه دهید ببینیم که چگونه این کار برای مورد تک ذره کار می کند. بازنویسی (7.66) با استفاده از قضیه واگرایی و این واقعیت که تابع موج در بی نهایت برای حالت های محدود به صفر میل می کند، راحت خواهد بود. به این معنا که

از آنجایی که عبارت با واگرایی در بی نهایت به یک انتگرال سطحی تبدیل می شود. این دگرگونی به دلیل شباهت آن به تبدیل‌های مورد بحث در بخش 2.7، گاهی اوقات «انتخاب سنج» نامیده می‌شود. سپس تابع انرژی (7.66) می شود:

برای انرژی حالت پایه به عنوان تابعی از چگالی. در این مرحله، می‌توانیم برای تابع ρ ̃(x)، از جمله یک یا چند پارامتر آزاد حدس بزنیم، E[ρ ̃] را محاسبه کنیم، و نتیجه را با توجه به آن پارامترها به حداقل برسانیم. این به طور مستقیم دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی رویکرد ما در بخش 5.4 است. با این حال، ما می توانیم رویکرد متفاوتی داشته باشیم. معادله (7.69) نشان می دهد که انرژی E[ρ ̃] تابعی از ρ ̃ و اولین مشتقات آن است. به حداقل رساندن E[ρ ̃] معادل یافتن یک مقدار ثابت دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی است، یعنی δE[ρ ̃]=0، یک مشکل شناخته شده در حساب تغییرات.5 ابتدا (7.69) را به صورت زیر می نویسیم.

5 محاسبات تغییرات در هر کتاب درسی مکانیک کلاسیک پوشش داده شده است، و کنش را تابعی از مختصات مکانی و دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی آنها با زمان به عنوان متغیر مستقل در نظر می گیرد. در اینجا ما از چند متغیر مستقل استفاده می کنیم که معمولاً در کتاب های درسی فیزیک ریاضی پوشش داده شده است. برای مثال به آرفکن، وبر و هریس (2013)، فصل 22، یا بایرون و فولر (1992)، فصل 2 مراجعه کنید.

این کار به راحتی با ضرب (7.72) در یک ثابت انجام می‌شود، که آن را -μ می‌گیریم، و آن را به (7.70) اضافه می‌کنیم و یک E(μ)[ρ ̃] تابعی جدید ایجاد می‌کنیم. (این به طور رسمی به عنوان روش ضرب‌کننده‌های لاگرانژ نامیده می‌شود.) به دلیل محدودیت (7.72)، به حداقل رساندن E[ρ ̃] معادل کمینه کردن E(μ)[ρ ̃] است، که δE(μ)[ρ را تنظیم می‌کند. ̃] = 0. داریم

با تشخیص اینکه δρ ̃x = ∂ (δρ ̃)/∂ x، و به طور مشابه برای ρ ̃y و ρ ̃z، آن عبارت ها را با قسمت هایی با δρ ̃ ثابت شده روی صفر در بی دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی ، ادغام می کنیم. سپس δρ ̃ را فاکتور کنید و انتگرال را صفر کنید. نتیجه این است

این یک معادله دیفرانسیل است که می تواند برای ρ ̃(x) حل شود، مشابه روشی که معادله شرودینگر را می توان برای تابع موج حل کرد. توجه داشته باشید که ادغام هر دو طرف (7.76) ثابت می کند که μ برابر با انرژی حالت پایه، برای حل دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی ρ ̃ است. این به این دلیل است که دو عبارت اول در دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی چپ ε(ρ ̃,∇ρ ̃) هستند، ما محدودیت (7.72) داریم و (مشابه روشی که با عبارت انرژی جنبشی (7.67) برخورد کردیم) انتگرال ∇2 ρ ̃ در بی نهایت به یک انتگرال سطح تبدیل می شود و ناپدید می شود. مسئله 7.12 در دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی این فصل مثالی از اعمال این ایده ها برای یک ذره در یک پتانسیل نوسانگر هارمونیک یک بعدی را ارائه می دهد. در سه بعد، این را می توان با نوسان ساز هارمونیک ناهمسانگرد یا اتم هیدروژن نیز نشان داد.

7.6.2 قضیه هوهنبرگ–کوهن حال حالت پایه سیستمی با N ذره یکسان با تابع موج Ψ(x1,x2,...,xN) را در نظر بگیرید که در آن دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی آرگومان عدد ذره را مشخص می کند. (ما نماد Ψ ̃ را کنار می گذاریم.) تابع موج باید به طور مناسب متقارن باشد، یعنی

به غیر از اذعان به تقارن تابع موج، درجات آزادی اسپین را در بحث خود در نظر نخواهیم گرفت. چگالی عدد n(x) در این مورد، مقدار مورد انتظار عملگر خواهد بود که یک ذره خاص را در موقعیت x قرار می دهد، که روی همه ذرات جمع می شود. به این معنا که

که اندازه انتگرال شامل عامل d3xi نمی شود. با فراخوانی تقارن (7.77)، می توانیم x1 را با xi برای هر جمله در (7.78) مبادله کنیم تا بنویسیم:

هدف ما نوشتن انرژی حالت پایه E = ⟨Ψ|H|Ψ⟩ به شکل تابعی از چگالی n(x) است. ما این دیدگاه را خواهیم داشت که پتانسیل خارجی Vext(x) است که مشکل ما را تعریف می کند. به عنوان مثال، اگر ما در تلاش برای یافتن دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی پایه یک سیستم چند الکترونی هستیم، آنگاه T + Upair برای همه این دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی جهانی است. به عبارت دیگر تابع موج Ψ توسط Vext(x) تعیین می شود. نکته اصلی قضیه هوهنبرگ-کوهن این است که n(x) نیز با Vext(x) تعیین می شود. زمانی که ρ = ψ2 را برای سیستم تک ذره ای نوشتیم، این امر بی اهمیت بود، اما برای حالت چند ذره ای ظریف تر است. ابتدا اجازه دهید مقدار انتظار حالت پایه را برای عبارت Uext در (7.81) پیدا کنیم. با بازگشت برای لحظه ای به تمایز رسمی خود بین یک عملگر x و مقدار ویژه آن x′، داریم:

سپس مجدداً متغیرهای دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی را در هر جمله از مجموع تغییر می دهیم و x′i را با آن مبادله می کنیم x′1، و درک اینکه هر عبارت به دلیل (7.77) یکسان است. با تغییر نام متغیر ادغام ساختگی x′1 به x، از (7.79) برای نوشتن مورد زیر استفاده می کنیم.

این نشان می دهد که این مقدار انتظار تابعی از n است و البته کاملاً مشابه جمله دوم در (7.69) است. اکنون باید نشان دهیم که ⟨Ψ|(T + Upair )|Ψ⟩ تابعی از n(x) است. یعنی، باید نشان دهیم که پتانسیل خارجی Vext به طور دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی n(x) را تعیین می‌کند، درست همانطور که تابع موج حالت پایه 6 Ψ را انجام می‌دهد. قضیه تغییرات بخش 5.4 اثبات مورد نیاز ما را ارائه می کند. فرض کنید V'ext پتانسیل خارجی دیگری وجود دارد، که بیش از یک ثابت افزایشی با Vext متفاوت است، که تابع موج دیگری Ψ' اما چگالی یکسان n(x) می دهد. اگر Ψ′ را به عنوان یک تابع موج آزمایشی در نظر بگیریم، پس:

این نتیجه البته پوچ است. ما فقط می توانستیم به راحتی اجازه دهیم Ψ تابع موج آزمایشی باشد و نتیجه مخالف را پیدا کنیم. تنها راه دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی رفت این است که Ψ' همان Ψ است (در یک فاز کلی)، و در نتیجه همان چگالی n(x) است. با استفاده از یک نماد استاندارد، می نویسیم:

برای عملکرد "جهانی" مسئله ای که شامل یک گونه ذره ای خاص و تعامل دو بدنه است. ما پس از آن داریم

که به قضیه هوهنبرگ – کوهن معروف است. این نتیجه، البته، ساده ‌سازی فوق ‌العاده ای از مسئله چند جسمی مکانیکی کوانتومی است، که به جای نیاز به یافتن تابع موج چندذره Ψ(x1,x2) آن را به یافتن تابع n(x) از یک متغیر موقعیت تقلیل می‌دهد. ،...، xN).

7.6.3 معادلات کوهن-شام حتی اگر (7.87) رویکرد به مسئله چند جسمی کوانتومی مکانیکی را در اصل ساده می کند، به کار بردن مستقیم آن برای مسائل عملی دشوار است. هوهنبرگ و کوهن از آن برای مطالعه دو مورد محدود کننده دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی چگالی در یک گاز الکترونی استفاده کردند، اما بدون دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی ای برای F[n]، محاسبات دقیق حالت پایه چند جسمی امکان پذیر نیست. کوهن و شم راهی برای استخراج یک طرح تقریب خودسازگار، بر اساس توابع موج تک ذره ای 7 φj(x) یافتند که معادله شرودینگر یک بدنه، هرچند ساختگی، خاص را حل می کند.

_________ 6 ما فقط حالت های پایه غیر منحط را در نظر می گیریم. در واقع، قضیه هوهنبرگ – کوهن را می توان به طور کلی با استفاده از رویکرد جستجوی محدود اثبات کرد. 7در بسیاری از متون مربوط به DFT، به ویژه در مورد شیمی، این توابع موج "اوربیتال" نامیده می شوند.

توجه داشته دانلود کتاب مکانیک کوانتوم پیشرفته ساکورایی که اگرچه ما φj(xi) را با j = 1,2,...,N برچسب گذاری کردیم، آنها لزوماً نباید توابع متمایز باشند. برای دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی ، برای بوزون‌ها، همه آنها می‌توانند عملکرد یکسانی داشته باشند، و برای فرمیون‌ها، می‌توانند به صورت جفتی یکسان باشند و هر کدام دارای یک عدد کوانتومی اسپین متفاوت باشند. در مرحله بعد، یک محدودیت دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسیمی شود تا φj(x) چگالی صحیح n(x) را به دست آورد. از آنجایی که φj(x) معادله شرودینگر را حل می کند، آنها متعامد هستند، بنابراین با وارد کردن (7.88) در (7.78)، این محدودیت شکل می گیرد.

از φj(x) برای ساخت F[n] استفاده می‌شود، و سپس حساب تغییرات برای به حداقل رساندن تابع انرژی اعمال می‌شود. توابع موج کوهن-شام φj(x) راه حل هایی برای معادلات شرودینگر هستند.

که در آن εj مقادیر ویژه انرژی هستند. به حدی که

انرژی واقعی حالت پایه ⟨Ψ|H|Ψ⟩ را تقریب می‌کند، می‌توانیم به عبارت انرژی جنبشی تکیه کنیم.

برای تقریبی ⟨Ψ|T|Ψ⟩ در (7.86). در واقع، یک مفهوم اساسی مهم برای فرمالیسم کوهن-شام این است که محدودیت (7.89) دلالت دارد که (7.92) یک تقریب استثنایی خوب برای ⟨Ψ|T|Ψ⟩ است. برخلاف حالت تک ذره‌ای، دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی صریح ⟨Ψ|TKS|Ψ⟩ بر حسب چگالی n(x) ساده نیست، اما دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی از قضیه هوهنبرگ–کوهن برای نوشتن ⟨Ψ|TKS|Ψ استفاده کنیم. ⟩ ≡ TKS[n]. سپس می نویسیم

F[n] = T[n] + Upair [n] (7.93a) = TKS [n] + Ulr [n] + Uxc [n] (7.93b)

که در آن Ulr[n] جزء برد بلند برهمکنش دو ذره است و Uxc[n] که «انرژی همبستگی تبادل» نامیده می‌شود، چیزی است که باقی می‌ماند. از آنجایی که معتقدیم TKS[n] تقریب خوبی برای انرژی جنبشی است، و در مسائل معمولی انتظار داریم که برهمکنش طولانی برد غالب باشد، Uxc[n] در بسیاری از مسائل مورد علاقه کوچک است. بنابراین، دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی خوب به Uxc[n] باید تقریب عالی برای E[n] در (7.86) به دست آورد. ما توجه می کنیم که برای مسئله چند الکترونی در سیستم های اتمی، مولکولی یا ماده متراکم، که تا دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی زیادی رایج ترین کاربرد DFT است، برهم کنش دو ذره با برد بلند فقط پتانسیل کولن بین جفت الکترون ها است. در این مورد، می‌توانیم از یک رویکرد کلاسیک برای نوشتن Ulr[n] = Uee[n] استفاده کنیم. چگالی بار در هر نقطه فقط e n(x) است، بنابراین انرژی کولن برابر است با:

که در آن ضریب 1/2 فقط اثر شمارش مضاعف الکترون ها را حذف می کند، مانند (7.81). در این مرحله، همانطور که برای یک مسئله چند الکترونی، یعنی با Ulr[n] = Uee[n] پیش می‌رویم. به دنبال (7.73) برای به حداقل رساندن عملکرد انرژی، و با استفاده از (7.87) با (7.93b) و اعمال محدودیت (7.80)، ما داریم

که در آن تغییر بر حسب چگالی n(x) است. اولین و آخرین عبارت ساده هستند و تبدیل به * [Vext − μ]δnd3x می شوند. برهم کنش الکترون-الکترون برد بلند نیز آسان است، یعنی

اکنون تصور کنید که سیستم توسط مجموعه‌ای از الکترون‌های غیر متقابل با توابع موج تک ذره‌ای φj(x) اداره می‌شود که توسط یک پتانسیل خارجی مؤثر VKS(r) تعیین می‌شود. با استفاده از (7.90) به وضوح خواهیم داشت:

با توجه به مقداری پتانسیل خارجی Vext(x) (شاید یک پتانسیل اتمی یا مولکولی غربال شده، یا حتی یک شبکه تناوبی از آنها) و تابعی همبستگی مبادله ای Uxc[n]، اکنون می بینیم که چگونه می توانیم از طریق یک تقریب تکراری دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی انجام دهیم. ابتدا یک تقریب معقول برای چگالی n(x) انتخاب کنید. سپس از (7.99) برای محاسبه پتانسیل تک ذره کوهن شم VKS(x) استفاده کنید. (7.90) را با استفاده از این دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی برای یافتن توابع موج تک ذره φj(x) حل کنید و n(x) را با استفاده از (7.89) مجدداً تعیین کنید. سپس این فرآیند را با استفاده از چگالی جدید تکرار کنید، تابع n(x) را در پایان با آنچه که با آن شروع کردید مقایسه کنید، تا زمانی که راضی شوید که به همگرایی رسیده‌اید. وقتی تابع نهایی n(x) خود را دارید، انرژی حالت پایه را از آن محاسبه می کنید

که در آن می‌فهمیم که تابع انرژی جنبشی TKS[n] از (7.92) با استفاده از توابع موج تعیین‌شده توسط روش تکراری که n(x) را یافت، محاسبه می‌شود. این روش همچنین تقریب خوبی برای تابع موج (7.88) به ما می دهد، که از آن می توان سایر ویژگی های حالت پایه را محاسبه کرد. یک مسئله باقی مانده این است که کدام توابع ویژه φj(x) که با دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی (7.90) به دست می آید، باید برای ساختن n(x) استفاده شود. احتمالاً اگر از توابع موج تک ذره ای کم انرژی برای ساخت تابع موج (7.88) استفاده کنیم، رویه تکراری ما به سرعت همگرا خواهد شد. برای سیستمی از بوزون‌ها، این تماماً φj(x) = φ0(x)، تابع ویژه حالت پایه است. برای فرمیون ها، ما از کمترین توابع ویژه انرژی منطبق با ضد تقارن کل، از جمله محاسبه درجه آزادی اسپین استفاده می کنیم. به ندرت راه حل تحلیلی برای (7.90) وجود دارد. با این حال، می‌توان آن را به صورت عددی حل کرد، یا می‌توان همیلتونی را در یک پایه (کوتاه) از توابع خاص شناخته شده، برای مثال اتم هیدروژن یا دانلود کتاب مکانیک کوانتوم ساکورایی فارسی هارمونیک، و ماتریس آن مورب نشان داد. درک این نکته مهم است که روش کوهن-شام بسیار بیشتر از انرژی حالت پایه سیستم است. پس از تعیین توابع ویژه φj(x) که چگالی حالت پایه را نشان می دهند، سپس یک تقریب عالی (7.88) برای تابع موج حالت پایه داریم. این تابع موج می تواند برای محاسبه مقادیر انتظاری هر عملگر دینامیکی استفاده شود. به عنوان مثال، در فیزیک ماده چگال که DFT کاربردهای زیادی پیدا می کند، نتایج محاسبات شامل مقاومت الکتریکی و حرارتی، و پاسخ به میدان های الکترومغناطیسی، کرنش مکانیکی، و سایر اغتشاشات است. برای بحث مفصل به کوهن و لویی (2016)، بخش 7.4 مراجعه کنید.

7.6.4 مدل های انرژی مبادله-همبستگی تئوری تابعی چگالی به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد زیرا می تواند نتایج دقیق و دقیقی را برای سیستم های چند الکترونی ارائه دهد. این به این دلیل است که همه چیز در (7.100) از اصول اولیه شناخته شده است، به جز انرژی تبادل-همبستگی Uxc[n]، که می تواند به خوبی تقریب شود. این دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی اصلاحات پتانسیل موثر یک بدنه کوهن-شام، و همچنین اثرات همبستگی بین ذرات یکسان، به عنوان مثال در (7.35) است. چندین نویسنده مجموعه‌ای از محدودیت‌های دقیق را استخراج کرده‌اند که تابع تبادل-همبستگی باید آن‌ها را برآورده کند. سپس می توان توابع مدل را تولید کرد که تا حد امکان بسیاری از آن محدودیت ها را برآورده کند. این مدل‌ها را می‌توان در برابر سیستم‌های ساده‌ای مانند گاز الکترونی یکنواخت، یا سیستم‌هایی که تا حدودی پیچیده‌تر، اما دقیقاً قابل محاسبه هستند، آزمایش کرد. به این ترتیب، عملکردهای متفاوتی برای سیستم های مختلف از اتم های منفرد گرفته تا مواد پیچیده به دست آمده است. توابع Uxc[n] به طور کلی به دو کلاس تقسیم می شوند، یعنی تقریب چگالی محلی (LDA) و تقریب گرادیان تعمیم یافته (GGA). فرم های زیر را در نظر بگیرید

که در آن ε(n) و f(n،∇n) می توانند توابع پارامتری شوند. هدف تعیین این پارامترها از اصول اولیه اولیه است، اما تعیین آنها با تطبیق با داده ها نیز امکان پذیر است. در فرمالیسم اصلی کوهن-شام، ε(n) در (7.101) انرژی همبستگی دانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی در هر الکترون برای یک گاز الکترونی با چگالی یکنواخت است و f (n, 0) = nε(n). یک شکل مخصوصاً محبوب برای f(n،∇n) که در غیر این صورت فقط شامل ثابت‌های بنیادی می‌شود، در مقاله 8 توسط Perdew و همکاران، Phys توضیح داده شده است. Rev. Lett., 77 (1996) 3865.

7.6.5 کاربرد در اتم هلیوم ما این بخش را در مورد DFT با کاربرد سیستم دو الکترونی که اتم هلیوم است به پایان می‌رسانیم. همچنین فرصت خوبی برای مقایسه با نتایج در بخش 7.4 است. بحث ما در اینجا به تشریح راه حل می پردازد، با جزئیات باقی مانده به مسئله 7.14 در پایان این فصل. مثل همیشه می خواهیم معادلات دیفرانسیل نوشته شده را بر حسب متغیرهای بدون بعد حل کنیم. در محاسبات DFT استفاده از "واحدهای اتمی" رایج است که در آن h ̄ = e = m = 1 است. و انرژی‌ها در واحدهای e2/a0 اندازه‌گیری می‌شوند که "Hartree" نامیده می‌شود. از (3.315) به یاد بیاورید که بزرگی انرژی حالت پایه یک اتم هیدروژن E0 = e2/2a0 = 13.6 eV است، بنابراین یک هارتری برابر با 27.2 eV است. معادله کوهن-شام شرودینگر (7.90) می شود:

پتانسیل خارجی Vext(x) را به عنوان قانون کولن در نظر می گیریم که در واحدهای اتمی تبدیل می شود به:

که در آن Z = 2 برای هلیم است. ما باید یک تقریب اولیه n(0)(x) را برای چگالی انتخاب کنیم. ما در بخش 7.4 یاد گرفتیم که یک تابع موج شروع خوب با e-Zefدانلود رایگان کتاب مکانیک کوانتومی ساکورایی به زبان فارسی r متناسب است که در آن Zeff = 2-5/16 است. این نشان می دهد که چگالی شروع متناسب با e-2Zeffr. با این حال، اغلب در محاسبات DFT، ما حدس خوبی برای n(0)(x) نداریم. بنابراین، ما فرآیند همگرایی را با یک حدس ضعیف، کنار گذاشتن ضریب دو و شروع با n(0)(x) متناسب با e-Zeffr نشان می‌دهیم. با عادی سازی درست، متوجه می شویم:

8 با نزدیک به 100000 استناد، این مقاله ادعای پراستنادترین مقاله ای را دارد که تاکنون در Physical Review Letters منتشر شده است.

توجه داشته باشید که برای این، یا هر چگالی متقارن کروی دیگری n(r)، عبارت اندرکنش ee برد بلند در (7.99) را می توان به صورت زیر نوشت:

که یک عبارت مفید برای محاسبات عددی بعدی است. برای Uxc[n] تابعی تبادل-همبستگی، از فرمی از (7.101a) استفاده می‌کنیم که توسط Sun و همکاران، J. Chem مشتق شده است. Phys., 144 (2016) 191101. این تابع به طور خاص برای محاسبات دقیق در سیستم های دو الکترونی توسعه یافته است و فقط از ثابت های اساسی استفاده می کند. ما داریم: