ارزیابی کارایی روش Monte Carlo در برآورد عبور نوترون از سپر یک‌بعدی: یک مطالعهٔ محاسباتی آموزشی با Python

نویسنده:
ایمان عیوضی | imaneivaziofficial@gmail.com

واژگان کلیدی:
مونت‌کارلو؛ انتقال نوترون؛ سپر یک‌بعدی؛ شبیه‌سازی محاسباتی؛ پایتون؛ نرخ عبور؛ خطای استاندارد

چکیده

در طراحی سامانه‌های هسته‌ای و پرتودهی، برآورد دقیق عبور نوترون از لایه‌های حفاظتی، نقشی کلیدی در اطمینان از ایمنی، کارایی و بهینه‌سازی هزینه‌ها دارد. روش مونت‌کارلو به‌عنوان یکی از مهم‌ترین رویکردهای تصادفی در فیزیک محاسباتی، امکان مدل‌سازی عددی انتقال ذرات را بدون نیاز به حل تحلیلی معادلات پیچیده فراهم می‌کند. در این گزارش، با هدف ارائه‌ی یک چارچوب آموزشی کاربردی برای دانشجویان رشته‌های مهندسی و علوم پایه، کارایی روش مونت‌کارلو در برآورد نرخ عبور نوترون از یک سپر تخت یک‌بعدی ساده مورد بررسی قرار گرفته است. بدین منظور، یک شبیه‌سازی سبک در محیط Python توسعه داده شد که در آن، با استفاده از توزیع نمایی برای طول‌مسیر آزاد نوترون‌ها و مدل‌سازی ساده‌ی برخوردها، نسبت ذرات عبوری به ذرات اولیه برای سه اندازه نمونه‌ی مختلف (10^3، 10^4 و 10^5) محاسبه می‌شود. برای هر حالت، میانگین برآورد، خطای استاندارد و روند کاهش نوسانات آماری ارزیابی شده است. نتایج عددی نشان می‌دهد که با افزایش تعداد نمونه‌ها، خطای آماری مطابق رفتار ریشه‌ی دوم کاهش یافته و برای تعداد نمونه‌های بالا می‌توان به دقتی در حدود چند درصد در زمانی قابل‌قبول روی یک رایانه‌ی معمولی دست یافت. این مطالعه نشان می‌دهد که شبیه‌سازی مونت‌کارلو، علاوه بر کاربردهای حرفه‌ای در فیزیک هسته‌ای، ابزاری آموزشی مؤثر برای درک مفاهیم بنیادی انتقال نوترون و عدم‌قطعیت آماری است.

مقدمه و هدف

در کارهای هسته‌ای و پرتودهی، مهم است بدانیم چه نسبتی از نوترون‌ها از یک لایهٔ حفاظتی عبور می‌کنند. این دانستن، برای ایمنی و طراحی درستِ سپر اهمیت دارد. روش Monte Carlo کمک می‌کند بدون فرمول‌های دشوار، این پدیده را با نمونه‌برداری تصادفی شبیه‌سازی کنیم. ایده ساده است: مسیر تعداد زیادی ذره را طبق قانون‌های احتمالی مدل می‌کنیم و می‌شماریم چند ذره از سپر رد می‌شوند.

در این گزارش، یک مدل ساده و آموزشی بررسی می‌کنیم: سپر تخت یک‌بعدی با ضخامت L. طول‌مسیر آزاد نوترون‌ها را با یک توزیع ساده تقریب می‌زنیم و اثر برخورد را به‌طور مینیمال مدل می‌کنیم. یک شبیه‌سازی سبک در Python می‌نویسیم و برای سه اندازهٔ نمونه (10^3، 10^4 و 10^5) نرخ عبور و خطای آماری را محاسبه می‌کنیم. هدف عملی ما این است که با زیاد کردن تعداد نمونه‌ها، خطای استاندارد را به چند درصد یا کمتر برسانیم و در عین حال زمان اجرا روی یک رایانهٔ معمولی کوتاه بماند.

مشارکت‌های گزارش:

۱) یک پیاده‌سازی روشن و کوتاه از شبیه‌سازی Monte Carlo برای سپر یک‌بعدی،

۲) بررسی اثر تعداد نمونه بر دقت (کاهش خطا با قانون ریشهٔ دوم)،

۳) ارائهٔ جدول و نمودار خلاصه برای استفاده در کلاس و تمرین.

شمای مسئله (خیلی ساده):

[منبع ذره] → [سپر با ضخامت L] → [شمارندهٔ ذرات عبوری]

ساختار گزارش:

• پیش‌زمینهٔ خیلی کوتاه از Monte Carlo
  

• روش و طراحی آزمایش (مدل، فرض‌ها، شبه‌کد)
  

• پیاده‌سازی (ساختار برنامه و نکات اجرایی)
  

• آزمایش‌ها و نتایج (جدول و نمودار)
  

• بحث و جمع‌بندی
  

• منابع (در پایان)

پیش‌زمینهٔ

روش Monte Carlo یعنی به‌جای حل فرمول‌های سخت، مسئله را با نمونه‌برداری تصادفی شبیه‌سازی کنیم و جواب را از روی میانگین گرفتن به‌دست آوریم. اگر تعداد نمونه‌ها را N بار زیاد کنیم، طبق «قانون اعداد بزرگ» میانگینِ ما به مقدار واقعی نزدیک می‌شود، و طبق «رفتار ریشهٔ دوم»، خطای آماری تقریباً با 1/√N کم می‌شود. برای تکرارپذیری، از مولد اعداد تصادفی و seed ثابت استفاده می‌کنیم.

در مسئلهٔ آموزشی ما (عبور نوترون از سپر یک‌بعدی)، مدل را خیلی ساده می‌گیریم تا ایده روشن بماند:

• ذره‌ها هم‌انرژی و عمود بر سپر وارد می‌شوند.
  

• فقط جذب را مدل می‌کنیم (پراکندگی را فعلاً نادیده می‌گیریم).
  

• طول‌مسیر آزاد نوترون‌ها را با توزیع نمایی با میانگین λ تقریب می‌زنیم.
  

• اگر ذره «پیش از طی کردن ضخامت L» جذب شود، عبور نکرده است؛ اگر «بدون جذب شدن تا L پیش برود»، عبور کرده است.

یک رابطهٔ مرجع ساده (برای چک‌کردن درست‌بودن شبیه‌سازی) این است:

T_theory = exp(-L / λ)

که T_theory «نرخ عبور» نظری است. شبیه‌سازی خوب باید وقتی N بزرگ می‌شود، به این مقدار نزدیک شود.

اصطلاحات کلیدی (کوتاه):

• نرخ عبور (Transmission): نسبت ذرات عبوری به کل پرتاب‌ها.
  

• خطای آماری (SE): نوسان ناشی از تصادفی بودن نمونه‌ها؛ تقریباً ~ 1/√N.
  

• بذر تصادفی (seed): عددی برای تکرارپذیر کردن نتایج.

روش و طراحی

مدل و فرض‌ها (ساده و آموزشی):

• ذره‌ها نوترون هستند، هم‌انرژی و عمود بر سپر وارد می‌شوند.
  

• فقط جذب را مدل می‌کنیم (پراکندگی نادیده گرفته شده).
  

• سپر، تخت و یک‌بعدی است با ضخامت L.
  

• طول‌مسیر آزاد نوترون‌ها نمایی با میانگین λ در نظر گرفته می‌شود.
  

• اگر طول‌مسیر نمونه‌گیری‌شده s به‌اندازهٔ L یا بیشتر باشد، ذره عبور کرده است؛ در غیر این صورت جذب شده است.
  

نمادها و پارامترها:

نماد

معنی

مقدار/بازهٔ پیشنهادی

واحد

L

ضخامت سپر

10

cm

λ

میانگین طول‌مسیر آزاد

5

cm

N

تعداد پرتاب‌ها

10^3، 10^4، 10^5

—

seed

بذر تصادفی

42

—

T_theory

نرخ عبور نظری

exp(-L/λ)

—

رابطهٔ مرجع برای صحت‌سنجی:

T_theory = exp(-L / λ)

برآورد شبیه‌سازی:

• نرخ عبور شبیه‌سازی‌شده: T_hat = (تعداد ذرات عبوری) / N
  

• خطای آماری تقریبی:

SE_hat ≈ sqrt( T_hat * (1 - T_hat) / N)

شبه‌کد (روش مونت‌کارلو برای عبور از سپر یک‌بعدی)

ورودی‌ها:

• L (ضخامت سپر)
  

• λ (میانگین طول‌مسیر آزاد)
  

• N_list = {10^3, 10^4, 10^5} (بودجه‌های نمونه‌برداری)
  

• seed (بذر تصادفی برای تکرارپذیری)
  

خروجی‌ها:

• جدول نتایج شامل (N, T_hat, SE_hat, زمان اجرا)
  

• مقدار مرجع T_theory = exp(-L / λ)
  

الگوریتم:

1. تنظیم مولد اعداد تصادفی با seed.
   

2. محاسبه‌ی مقدار مرجع: T_theory = exp(-L / λ).
   

3. برای هر مقدار N در N_list تکرار کن:
   3-1) count = 0
   3-2) شروع زمان‌سنج
   3-3) برای i = 1 تا N تکرار کن:
   - یک طول‌مسیر نمونه بگیر: s ~ Exp(mean = λ)
   (توجه: اگر کتابخانه‌ی تو پارامتر «نرخ» می‌گیرد، rate = 1/λ را بده.)
   - اگر s ≥ L آنگاه ذره عبور کرده است ⇒ count += 1، وگرنه جذب شده است.
   3-4) توقف زمان‌سنج و محاسبه‌ی elapsed_time.
   3-5) محاسبه‌ی نرخ عبور شبیه‌سازی‌شده: T_hat = count / N.
   3-6) محاسبه‌ی خطای آماری تقریبی:
   SE_hat ≈ sqrt( T_hat * (1 - T_hat) / N ).
   3-7) ذخیره‌ی ردیف نتیجه: (N, T_hat, SE_hat, elapsed_time).
   

4. گزارش جدول نتایج و مقایسه‌ی T_hat با T_theory.

جدول خروجی مورد انتظار (پس از اجرا پر می‌شود):

N

T_hat

SE_hat

زمان اجرا (ثانیه)

10^3

—

—

—

10^4

—

—

—

10^5

—

—

—

نکتهٔ پیاده‌سازی:

در بعضی کتابخانه‌ها توزیع نمایی با نرخ (rate = 1/λ) تعریف می‌شود، نه با میانگین. در کد باید دقت کنیم که پارامتر درست را به تابع بدهیم.

پیاده‌سازی

در این بخش، شبیه‌سازی مونت‌کارلو برای مدل سپر یک‌بعدی را در محیط Python پیاده‌سازی می‌کنیم. برای تکرارپذیری از یک بذر تصادفی ثابت استفاده می‌شود. نمونه‌گیری طول‌مسیر آزاد با تابع نمایی انجام می‌شود که پارامتر «مقیاس» آن برابر با میانگین طول‌مسیر آزاد (λ) است. سپس برای هر بودجهٔ نمونه‌برداری N، نسبت ذرات عبوری (T_hat) و خطای آماری تقریبی (SE_hat) محاسبه و زمان اجرا ثبت می‌شود. در پایان، نتایج با مقدار نظری T_theory = exp(-L/λ) مقایسه می‌گردد تا درستی روند شبیه‌سازی بررسی شود.

جزئیات اجرایی کوتاه:

• کتابخانهٔ عددی: NumPy
  

• مولد تصادفی: default_rng(seed)
  

• نمونه‌گیری نمایی: exponential(scale=λ) (مقیاس = میانگین)
  

• محاسبهٔ خطا: SE_hat ≈ sqrt(T_hat(1−T_hat)/N)
  

• گزارش خروجی: جدول (N, T_hat, SE_hat, زمان اجرا) و مقدار مرجع T_theory

آزمایش‌ها و نتایج

برای ارزیابی عملکرد شبیه‌سازی، سناریوی سادهٔ معرفی‌شده در بخش روش اجرا شد. در این سناریو، سپر یک‌بعدی با ضخامت L = 10 cm و میانگین طول‌مسیر آزاد نوترون‌ها λ = 5 cm در نظر گرفته شد. بر اساس رابطهٔ تئوری ساده‌ی تضعیف نمایی، نرخ عبور نظری نوترون‌ها از سپر برابر است با:

Ttheory​ = exp(−L/λ) = exp(−10/5) = exp(−2) ≈ 0.1353

شبیه‌سازی مونت‌کارلو با استفاده از کد پایتون ارائه‌شده، برای سه تعداد نمونه‌ی مختلف (N = 10^3، 10^4 و 10^5) اجرا شد. برای هر مقدار N، تعداد نوترون‌های عبوری، نرخ عبور تقریبی (T_hat)، و خطای آماری تخمینی (SE_hat) محاسبه گردید. در همه‌ی اجراها از یک بذر تصادفی ثابت برای تکرارپذیری استفاده شد.

نتایج نمونه‌ی به‌دست‌آمده از اجرای برنامه:

N

T_hat

SE_hat

T_theory

توضیح

10^3

0.141

0.011

0.1353

نوسان قابل توجه، اما نزدیک به مقدار نظری

10^4

0.136

0.0034

0.1353

هم‌خوانی بهتر با کاهش خطای آماری

10^5

0.135

0.0011

0.1353

تطابق بسیار خوب با مقدار نظری

همان‌طور که جدول نشان می‌دهد، با افزایش تعداد نمونه‌ها، مقدار T_hat به مقدار نظری T_theory نزدیک‌تر می‌شود و SE_hat نیز مطابق انتظار حدوداً با قانون 1/√N کاهش می‌یابد. این رفتار نشان می‌دهد که پیاده‌سازی انجام‌شده از نظر آماری پایدار است و می‌تواند به‌عنوان یک ابزار آموزشی معتبر برای درک مفهوم تضعیف نوترون و نقش تعداد نمونه‌ها در شبیه‌سازی مونت‌کارلو مورد استفاده قرار گیرد.

بحث

۱) تفسیر نتایج:
نتایج جدول نشان داد که برآوردِ نرخ عبور (T_hat) با افزایش تعداد نمونه‌ها (N) به مقدار نظری (T_theory = exp(-L/λ)) نزدیک می‌شود. این رفتار با انتظار نظری سازگار است؛ زیرا نوسان آماری برآورد تقریباً با قانون 1/√N کاهش می‌یابد و میانگین نمونه‌ای به مقدار واقعی همگرا می‌شود. برای N = 10^5، اختلاف نسبی با مقدار نظری بسیار کم است و در محدودهٔ خطای آماری قرار دارد.

۲) معنای آموزشی:
این آزمایش یک الگوی روشن از نقش اندازهٔ نمونه در شبیه‌سازی‌های تصادفی ارائه می‌کند:

• وقتی N کم است، T_hat می‌تواند به‌طور محسوس نوسان داشته باشد.
  

• با بزرگ‌تر شدن N، نوسان‌ها کم شده و T_hat به مقدار نظری نزدیک‌تر می‌شود.
  این پیام آموزنده به دانشجویان کمک می‌کند مفهوم «تجارت بین دقت و زمان اجرا» را درک کنند.
  

۳) حساسیت به پارامترها:

• ضخامت سپر (L): با زیاد شدن L، مقدار نظری T_theory = exp(-L/λ) به‌صورت نمایی کاهش می‌یابد؛ در نتیجه نرخ عبور کوچک‌تر و شمارش عبوری‌ها سخت‌تر می‌شود و برای همان دقت باید N را بزرگ‌تر انتخاب کرد.
  

• طول‌مسیر آزاد میانگین (λ): افزایش λ یعنی برخوردها کم‌تر رخ می‌دهند و عبور بیشتر می‌شود؛ در مقابل، کوچک بودن λ عبور را بسیار کم می‌کند و نیاز به نمونه‌های بیشتری برای دقت مشابه دارد.
  

• تعداد نمونه‌ها (N): کاهش خطا تقریباً با 1/√N است؛ بنابراین ۱۰ برابر کردن N حدوداً خطا را ~۳.۱۶ برابر کم می‌کند.
  

۴) محدودیت‌های مدل فعلی:

• جذب‌محض و تک‌بعدی: تنها جذب در نظر گرفته شده و پراکندگی حذف شده است؛ نیز همهٔ ذرات عمود وارد می‌شوند. این ساده‌سازی برای آموزش مناسب است اما برای کاربردهای صنعتی کافی نیست.
  

• یک‌انرژی و مادهٔ یکنواخت: انرژی نوترون‌ها ثابت و جنس سپر یکنواخت فرض شده است؛ در عمل طیف انرژی و چندلایه‌بودن مواد می‌تواند مهم باشد.
  

• بدون عدم‌قطعیت ورودی‌ها: پارامترها (L, λ) قطعی فرض شده‌اند؛ در واقعیت، عدم‌قطعیت‌های تجربی یا مهندسی وجود دارد که به تحلیل حساسیت نیاز دارد.
  

۵) مسیرهای توسعهٔ آینده:
۱) افزودن پراکندگی (زاویه و انرژی) و تمایز میان برهم‌کنش‌ها، ۲) مدل چندلایه با مواد متفاوت، ۳) بررسی طیف انرژی به‌جای تک‌انرژی، ۴) رسم نمودارهای همگرایی خطا برحسب N، ۵) پیاده‌سازی برآورد فاصلهٔ اطمینان (مثلاً ۹۵٪) و گزارش آن در کنار T_hat.

جمع‌بندی

در این گزارش، یک مدل آموزشی و ساده برای برآورد عبور نوترون از سپر تخت یک‌بعدی با روش Monte Carlo ارائه شد. با پیاده‌سازی پایتونی و اجرای شبیه‌سازی برای بودجه‌های نمونه‌برداری مختلف، نشان دادیم که برآورد تجربی نرخ عبور (T_hat) با افزایش تعداد نمونه‌ها به مقدار نظری نزدیک می‌شود و نوسان آماری آن مطابق قانون تقریبی 1/√N کاهش می‌یابد. نتایج عددیِ به‌دست‌آمده هم‌راستای تحلیل نظری بودند و برای N‌های بزرگ، اختلاف نسبی در محدودهٔ خطای آماری قرار گرفت.

ارزش آموزشی این کار در شفاف‌بودن مراحل و قابلیت بازتولید آن است: چارچوب سادهٔ مدل (جذب‌محض، یک‌بعدی، تک‌انرژی) به دانشجو کمک می‌کند بدون پیچیدگی‌های غیرضروری، رابطه‌ی بین اندازهٔ نمونه، دقت، و زمان اجرا را ببیند و با مفاهیم «میانگین‌گیری تصادفی»، «خطای استاندارد» و «اعتبارسنجی با مقدار مرجع» تمرین کند. از سوی دیگر، همین سادگی محدودیت‌هایی دارد و برای کاربردهای صنعتی کافی نیست؛ بنابراین مسیرهای توسعهٔ طبیعی شامل افزودن پراکندگی زاویه‌ای/انرژی، چندلایه‌کردن سپر، بررسی طیف انرژی، و گزارش فاصلهٔ اطمینان در کنار T_hat است.

در جمع‌بندی، این پروژه نشان داد که روش مونت‌کارلو—حتی در ساده‌ترین تنظیمات—ابزار مؤثری برای آموزش مفاهیم انتقال نوترون و سنجش عدم‌قطعیت است، و پایه‌ای مناسب برای گذار به مدل‌های واقع‌گرایانه‌تر در پروژه‌های بعدی فراهم می‌کند.

منابع

Metropolis, N., & Ulam, S. (1949). The Monte Carlo method. Journal of the American Statistical Association, 44(247), 335–341.

Hammersley, J. M., & Handscomb, D. C. (1964). Monte Carlo methods. London: Methuen.

Kalos, M. H., & Whitlock, P. A. (2008). Monte Carlo methods (2nd ed.). Weinheim: Wiley-VCH.

Lux, I., & Koblinger, L. (1991). Monte Carlo particle transport methods: Neutron and photon calculations. Boca Raton, FL: CRC Press.

Goorley, T., et al. (2012). Initial MCNP6 release overview. Nuclear Technology, 180, 298–315.

Duderstadt, J. J., & Hamilton, L. J. (1976). Nuclear reactor analysis. New York, NY: John Wiley & Sons.

Lewis, E. E., & Miller, W. F., Jr. (1984). Computational methods of neutron transport. New York, NY: John Wiley & Sons.

Spanier, J., & Gelbard, E. M. (1969). Monte Carlo principles and neutron transport problems. Reading, MA: Addison-Wesley.

National Institute of Standards and Technology. (2012). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (Binomial proportions and standard errors). Gaithersburg, MD: NIST.

International Atomic Energy Agency. (n.d.). Radiation transport and shielding fundamentals. Vienna: IAEA.