در جنگ جهانی دوم، بمباران هوایی یکی از ابزارهای مؤثر متفقین برای از بین بردن زیرساختهای صنعتی و نظامی آلمان و درنهایت شکست آن کشور بود؛ اما این رویکرد همراه با تلفات سنگینی برای نیروی هوایی انگلیس و آمریکا بود. برآوردها حاکی است دوره عمر انتظاری خدمه یک بمبافکن بین ۱۲ تا ۱۵ مأموریت بود. در یک دورهای از جنگ، اگر شما خلبان یک بمبافکن در اروپا بودید، شانس اینکه سالم از مأموریت خود بازگردید، چیزی در حدود ۵۰ درصد بود. رهبران نظامی به این نتیجه رسیده بودند که باید زره تقویتی بیشتری به هواپیماهای خود اضافه کنند تا آنها را در برابر آتش ضدهوایی و جنگندهها حفاظت کند؛ اما افزودن زره به همه قسمتهای هواپیما امکانپذیر نبود و سرعت را بسیار کم و آن را آسیبپذیرتر میکرد؛ بنابراین آنان باید تصمیم میگرفتند که به کدام قسمتهای هواپیما زره بیفزایند.
به همین دلیل نیروی هوایی جمعآوری داده در مورد نقاطی را که هواپیماها آسیب میدیدند، شروع کرد. آنان پس از هر مأموریت هواپیماهایی را که بازگشته بودند بهدقت بررسی میکردند و تعداد آسیبهای ناشی از ترکشها و گلولهها و جای آنها را روی هواپیما مشخص میکردند. بهتدریج مشخص شد الگوی خاصی در توزیع آسیبها روی هواپیما وجود دارد. شکل-۱ نشان میدهد که بیشتر آسیبها روی ناحیه بال و بدنه هواپیما بوده است.
بر این اساس کارشناسان نظامی نتیجهگیری کردند ازآنجاکه بیشترین گلولهها به نواحی بال و بدنه هواپیما اصابت کرده پس این قسمتها نیازمند زره حفاظتی بیشتر هستند. در نگاه اول این نتیجهگیری درست به نظر میرسد.
اما آبراهام والد (Abraham Wald) با این نتیجهگیری کاملاً مخالف بود. او از جمله ریاضیدانانی بود که در جنگ جهانی دوم برای ارتش آمریکا کار میکرد. والد نشان داد که خطای مهمی در تحلیلها صورت گرفته چراکه نتیجهگیری تنها بر اساس دادههای هواپیماهایی است که از مأموریت بازگشتهاند؛ اما در مورد هواپیماهایی که در طول مأموریت سقوط کردند، چه میدانیم؟ درواقع نمونه آماری به سمت هواپیماهایی که بازگشتهاند سوگیری داشته است. والد نشان داد که دقیقاً برعکس، آن قسمتهایی از هواپیما نیاز به حفاظت دارند که در شکل-۱ کمترین اصابت را داشتهاند. درواقع نقاط آسیب در هواپیماهای بازگشتی بیانگر آن است که اگر هواپیما در این نقاط هدف قرار داده شود، با احتمال بیشتری میتواند سالم بازگردد. پیشنهادهای والد در عمل به بهبود نرخ برگشت هواپیماها کمک کرد.
