این معماییه که حتی اگر پاسخ آنرا بدانید باز هم غیر معمول و اشتباه به نظر می‌رسد. ویدیوهایی هم در مورد آن وجود دارد، اما همه آنها ناقص هستند. اینجا میخواهیم کمی عمیق‌تر شویم و این معما را با هم بررسی کنیم. با ما باشید ?
راستی این معما رو کانال معروف Veritasium در تاریخ ۳۰ ژوئن ۲۰۲۲ توضیح داده و تا الان ۳ میلیون بازدید داشته! بشدت معمای جذابیه! و خوندنش پیشنهاد میشه!
فرض کنید ۱۰۰ زندانی با شماره‌های ۱ تا ۱۰۰ (روی لباسشان) وجود دارند.
۱۰۰ کاغذ با همین شماره‌های ۱ تا ۱۰۰ درون ۱۰۰ جعبه با شماره‌های ۱ تا ۱۰۰ به طور تصادفی در اتاقی مهر و موم شده قرار داده می‌شوند.
هر زندانی اجازه دارد یکبار وارد اتاق شود و ۵۰ جعبه از بین ۱۰۰ جعبه را باز کند و شماره درون آنها را مشاهده کند. او برای آزاد شدن باید شماره خود را در بین این ۵۰ جعبه پیدا کند، و پس از آن می‌تواند اتاق را ترک کند. در ضمن، این زندانی نمی‌تواند با سایر زندانیان ارتباط برقرار کند. اگر تمام زندانی‌ها در نوبت خود وارد اتاق شوند و موفق به پیدا کردن شماره خود شوند، همگی آزاد خواهند شد?؛ اما اگر حتی یکی از آنها نتواند شماره خود را پیدا کند، همگی اعدام می‌شوند. ?
زندانی‌ها اجازه دارند قبل از رفتن به اتاق، دور همدیگر جمع شوند و یک استراتژی طراحی کنند. اما بهترین استراتژی چیست؟
اگر هر کدام به طور تصادفی شماره خود را جستجو کند، هر زندانی ۵۰٪ شانس پیدا کردن آنرا دارد. بنابراین احتمال اینکه هر ۱۰۰ زندانی، شماره های خود را پیدا کنند؛ برابر است با :
P (success) = (0.5)^100 = 0.0000000000000000000000000000008
و این احتمال بسیار کوچکی است.
اما با یک استراتژی درست راهی برای افزایش این احتمال تا ۰.۳۱ وجود دارد. زندانیان باید این استراتژی را از قبل با همدیگر هماهنگ کنند. ?
همانطور که تا اینجا احتمالا متوجه شدید این یک سوال انحرافی نیست و جواب آن هم فقط یک ویژگی جذاب در علم ریاضیات است. اگر هنوز جواب را نمی‌دانید، بیشتر فکر کنید. ?
اما اگر نتوانستید به راه‌حل برسید، نگران نباشید چرا که حتی فردی که این معما را مطرح کرد هم به این استراتژی نرسیده بود تا زمانی که یکی از همکاران او به آن اشاره کرد. (لینک مقاله)
فرض کنید شما یکی از زندانیان هستید. وقتی وارد اتاق می‌شوید، جعبه‌ای را باز میکنید که شماره شما روی آن است. احتمالا شماره روی کاغذ درون جعبه مال شما نخواهد بود. اشکالی ندارد. به سراغ جعبه ای با همان شماره بروید. به عدد داخل آن نگاه کنید اگر آن عدد مال شما بود که خوب است و اگر نه به سراغ جعبه‌ای با آن شماره می‌روید و همین کار را تا انتها تکرار میکنید. این کار را تا زمانی ادامه می‌دهید که کاغذ شماره خود را پیدا کنید. اگر شماره خود را پیدا کردید به شما می‌گوید که به جعبه‌ای که از آن شروع کرده‌اید برگردید و عملا یک حلقه (loop) خواهید داشت. پس اگر شماره خود را پیدا کردید، کار تمام است و می‌توانید از اتاق خارج شوید.
با این استراتژی ساده ۳۱٪ احتمال دارد که همه زندانیان شماره خود را پیدا کنند. یعنی هر زندانی می‌تواند شماره خود را در ۳۱ درصد از مواقع پیدا کند. اما چگونه؟
اولین چیزی که باید به آن توجه کرد این است که همه جعبه‌ها بخشی از یک حلقه بسته هستند. حلقه‌هایی به طول ۱، ۲، .... و ۱۰۰ . طولانی‌ترین حلقه که همه جعبه‌های با شماره ۱ تا ۱۰۰ را به همدیگر وصل میکند طول ۱۰۰ دارد. اما به طور کلی، هر ترتیب تصادفی از این جعبه‌ها به ترکیبی از چندین حلقه با طول متفاوت منجر می‌شود.
وقتی با جعبه‌ای شروع میکنید که با شماره شما برچسب گذاری شده است، تضمین می‌شود که در حلقه‌ای قرار میگیرید که شامل کاغذ شما خواهد بود.
بنابراین چیزی که در پیدا کردن کاغذ هم شماره با ما تعیین کننده است، طول حلقه است. اگر شماره شما بخشی از یک حلقه با طول کمتر از ۵۰ باشد، شما قطعا کاغذ خود را پیدا میکنید اما اگر شماره شما بخشی از یک حلقه با طول بزرگتر از ۵۰ باشد، شما به مشکل برمی‌خورید و نمی‌توانید کاغذ خود را پیدا کنید. چرا که شما تنها مجاز هستید ۵۰ جعبه را جستجو کنید اما شماره شما در جعبه‌های جلوتر است.
وقتی جعبه‌ای هم شماره با خودتان را باز میکنید، در واقع دارید از دورترین نقطه به کاغذ خود شروع میکنید و می‌خواهید بدانید که آن کدام جعبه است که درونش کاغذ من است و به این جعبه شروع کننده اشاره میکند!؟ اما برای پیدا کردن آن باید یک حلقه را طی کنید. اگر زندانیان همگی از این استراتژی پیروی کنند و طولانی‌ترین حلقه ۵۱ باشد، همه ۵۱ زندانی در این حلقه به کاغذ خود نمی‌رسند. در واقع همگی به یک جعبه قبل از جواب می‌رسند. ?
بنابراین، احتمال موفقیت همه زندانیان، فقط این حالت است که ترتیب تصادفی ۱۰۰ عدد شامل حلقه‌هایی با طول بزرگتر از ۵۰ نباشد. قبلا گفتیم که این احتمال برابر با ۰.۳۱ است اما چطور؟
تعداد جایگشت‌های اعداد ۱ تا ۱۰۰ برابر است با !۱۰۰ . اما ما به دنبال حلقه‌هایی با این اعداد هستیم و با دنبال کردن اعداد حلقه‌ها میدانیم ۱۰۰ جایگشت حلقه‌های یکسانی هستند. پس حاصل را بر ۱۰۰ تقسیم می‌کنیم.
بنابراین تعداد کل حلقه‌های منحصر به فرد، به طول ۱۰۰ برابر است با :
# of unique loops = 100! / 100
پس احتمال اینکه هر چیدمان تصادفی از ۱۰۰ جعبه حاوی یک حلقه به طول ۱۰۰ باشد، چقدر است؟
و جواب برای P(L=100) برابر است با ۰.۰۱ . یعنی ۱ درصد احتمال دارد ترتیب تصادفی از کاغذها منجر به حلقه‌ای با طول ۱۰۰ شود. و به همین صورت احتمال اینکه حلقه‌ای به طول ۹۹ بدست آورید، ۱/۹۹ (۱ تقسیم بر ۹۹) است و ... .
بنابراین احتمال اینکه حلقه‌ای بزرگتر از ۵۰ وجود داشته باشد برابر است با :
این حاصل جمع برابر است با ۰.۶۹. یعنی ۶۹ درصد احتمال شکست برای زندانیان و ۳۱ درصد احتمال موفقیت وجود دارد. (در جایی که طولانی ترین حلقه ۵۰ یا کمتر باشد)
درکش شاید کمی سخت باشد اما با استفاده از این استراتژی (استراتژی حلقه)، احتمال اینکه همه زندانیان (تمام ۱۰۰ نفر) شماره خود را پیدا کنند بیشتر از احتمال این است که فقط ۲ نفر از زندانیان، جعبه ها را به صورت تصادفی انتخاب کنند.
توجه کنید که با استفاده از این استراتژی حلقه، احتمال اینکه هر زندانی به تنهایی کاغذ هم شماره با خود را پیدا کند، همچنان برابر با ۰.۵ است. بنابراین شانسِ فردی آنها برابر با ۰.۵ است.
تصور کنید این آزمایش را هزاران بار انجام دهیم. اگر همگی به طور تصادفی جعبه ها را جستجو کنند، در بیشترین حالت، حدودا ۵۰ زندانی کاغذ خود را پیدا میکنند. اما با استفاده از استراتژی حلقه، همه زندانیان ۳۱ درصد از مواقع، شماره خود را پیدا میکنند و ۶۹ درصد مواقع کمتر از ۵۰ نفر، شماره خود را پیدا میکنند. بنابراین یا زندانیان همگی با همدیگر برنده می‌شوند و آزاد می‌شوند و یا اکثریت با همدیگر شکست می‌خورند و اعدام می‌شوند. این استراتژی اینگونه عمل میکند.
در ادامه ۲ چالش دیگر هم سر راه این معما قرار میگیرد که یکی مربوط به زندانبان خوب و بد است و دیگری مربوط به افزایش تعداد زندانیان است. اگه از این معما خوشتون اومد و خواستید اون ۲ چالش دیگه رو هم بررسی کنید حتما به لینک فیلم این معما در کانال من سر بزنید. ?
به نظر شما با استراتژی حلقه اگر ۱.۰۰۰.۰۰۰.۰۰۰ نفر زندانی داشته باشیم، چند درصد احتمال دارد که زنده بمانند؟
