دنباله فیبوناچی مجموعه ای از اعداد است که با 0 و 1 شروع می شوند که در آن هر عدد با جمع دو عدد قبلی ایجاد می شود . دنباله خاصی از اعداد است که از 0 و 1 شروع می شود و پس از آن جمله های بعدی مجموع عبارت های قبلی است و تا تعداد نامتناهی بالا می رود.
تاریخچه دنباله فیبوناچی
دنباله فیبوناچی به نام لئوناردو پیزا که بیشتر با نام فیبوناچی شناخته می شود، نامگذاری شده است. او یک ریاضیدان ایتالیایی بود که در حدود سال 1170 به دنیا آمد و در حدود سال 1250 درگذشت.
فیبوناچی این دنباله را به ریاضیات غربی در کتاب خود "لیبر آباکی" (کتاب محاسبه) که در سال 1202 منتشر شد، معرفی کرد. مشکل به صورت زیر بیان شد:
فرض کنید یک جفت خرگوش در یک منطقه بسته قرار داده شده است. چند جفت خرگوش در یک سال تولید می شود اگر هر ماه هر جفت یک جفت جدید تولید کند که از ماه دوم به بعد مولد می شود؟
این مشکل منجر به تشکیل دنباله فیبوناچی شد: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، . . .
از فرمول فیبوناچی برای یافتن جمله n از دنباله زمانی که عبارت اول و دوم آن داده می شود استفاده می شود.
عبارت nامین دنباله فیبوناچی به صورت F n نمایش داده می شود. با فرمول بازگشتی زیر داده می شود
F n = F n-1 + F n-2
کجا،
n > 1
جمله اول 0 است یعنی F 0 = 0
جمله دوم 1 است یعنی F 1 = 1
با استفاده از این فرمول می توانیم به راحتی عبارات مختلف دنباله فیبوناچی را پیدا کنیم. فرض کنید باید جمله 3 این دنباله را پیدا کنیم، سپس طبق فرمول داده شده به جمله 2 و 1 نیاز داریم، سپس جمله 3 به صورت زیر محاسبه می شود:
F 3 = F 2 + F 1 = 1 + 0 = 1
بنابراین، جمله سوم در دنباله فیبوناچی 1 است و به طور مشابه، عبارت های بعدی دنباله را می توان به صورت زیر یافت:
F 4 = F 3 + F 2 = 1 + 1 = 2
F 5 = F 4 + F 3 = 2 + 1 = 3
و غیره
در زیر اولین 20 عدد فیبوناچی در لیست دنباله ای آمده است.
F 0 = 0
F 1 = 1
F 2 = 1
F 3 = 2
F 4 = 3
F 5 = 5
F 6 = 8
F 7 = 13
F 8 = 21
F 9 = 34
F 10 = 55
F 11 = 89
F 12 = 134
F 13 = 233
F 14 = 377
F 15 = 610
F 16 = 987
F 17 = 1597
F 18 = 2584
F 19 = 4181
دنباله های فیبوناچی دارای جمله های بی نهایت هستند.
با مشاهده دقیق جدول می توان گفت که F n = F n-1 + F n-2 برای هر n> 1.
ویژگی های دنباله فیبوناچی
ویژگی های مهم دنباله فیبوناچی عبارتند از:
ما به راحتی می توانیم اعداد فیبوناچی را با استفاده از فرمول Binet محاسبه کنیم:
F n = (Φ n – (1-Φ) n )/√5
با خواندن این فرمول، میتوانیم بهآسانی n امین ترم دنباله فیبوناچی را محاسبه کنیم، برای یافتن جمله چهارم دنباله فیبوناچی،
F 4 = (Φ 4 - (1-Φ) 4 )/√5 = ({1.618034} 4 - (1-1.618034) 4 )/√5 = 3
برای عبارت های بزرگتر، نسبت دو جمله متوالی دنباله فیبوناچی به نسبت طلایی همگرا می شود.
ضرب یک جمله از دنباله فیبوناچی با نسبت طلایی عبارت بعدی از دنباله فیبوناچی را به دست میدهد:
F 7 در دنباله فیبوناچی 13 است، سپس F 8 به صورت زیر محاسبه می شود:
F 8 = F 7 (1.618034) = 13 (1.618034) = 21.0344 = 21 (تقریباً)
بنابراین، F 8 در دنباله فیبوناچی 21 است.
ما همچنین می توانیم دنباله فیبوناچی را برای اعداد زیر صفر محاسبه کنیم:
F -n = (-1) n+1 F n
به عنوان مثال، F -2 = (-1) 2+1 F 2 = -1
از اعداد فیبوناچی برای تعریف مفاهیم ریاضی دیگر مانند مثلث پاسکال و عدد لوکاس استفاده می شود.
نسبت طلایی و دنباله فیبوناچی
نسبت طلایی یک نسبت بین دو عدد است که تقریباً 1.618 است . این با حرف یونانی فی "Φ" نشان داده می شود و به عنوان عدد طلایی، نسبت طلایی یا نسبت الهی نیز شناخته می شود.
مشاهده کردیم که با گرفتن نسبت دو جمله متوالی دنباله فیبوناچی، نسبتی به نام « نسبت طلایی » به دست میآید.
Φ = F n / F n-1
دنباله فیبوناچی - سوالات متداول
دنباله فیبوناچی را تعریف کنید
دنباله فیبوناچی دنباله ای از عددی است که با جمع دو عدد آخر عبارت زمانی که جمله اول و جمله دوم دنباله 0 و 1 هستند، ایجاد می شود.
چه کسی دنباله فیبوناچی را کشف کرد؟
دنباله فیبوناچی اولین بار توسط ریاضیدان معروف ایتالیایی "لئوناردو فیبوناچی" در اوایل قرن سیزدهم کشف شد . اما در ادبیات هند، دنباله فیبوناچی در ادبیات اوایل سال 200 قبل از میلاد ذکر شده است.
فرمول دنباله فیبوناچی چیست؟
فرمول برای تولید دنباله فیبوناچی F n = F n-1 + F n-2 است که در آن n > 1 است.
فیبوناچی یا مارپیچ طلایی چیست؟
الگوی هندسی مشاهده شده در طبیعت که از دنباله فیبوناچی مشتق شده است، مارپیچ فیبوناچی نامیده می شود. این الگو از جنبه های مختلف در طبیعت مشاهده می شود.
دنباله فیبوناچی چگونه با نسبت طلایی مرتبط است؟
با مشاهده دقیق دنباله فیبوناچی می بینیم که نسبت دو عبارت متوالی از اصطلاحات فیبوناچی به نسبت طلایی همگرا می شود.n.
