ریاضیات وارونه چیست؟

وقتی در دوره کارشناسی ارشد، با شوق بسیاری وارد دنیای منطق ریاضی شدم، یکی از شاخه‌های آن، یعنی ریاضیات وارونه یا همان ریاضیات معکوس، که ترجمه reverse mathematics است، بیش از سایر حوزه‌های منطق توجه مرا به خود جلب کرد. برای همین، تصمیم گرفتم تا پایان‌نامه‌ام، مرتبط با ریاضیات وارونه باشد؛ و خوشبختانه همه چیز همان‌طور که می‌خواستم پیش رفت، و «ریاضیات وارونه در حساب» شد عنوان پایان‌نامه‌‌ام. تحقیقات مربوطه را انجام دادم، متنِ پایان‌نامه را نوشتم و در شهریورماه ۱۴۰۱ در دانشگاه تربیت مدرس از آن دفاع کردم؛ می‌توانی با جست‌وجوی عنوان پایان‌نامه در اینترنت، به جلسه ارائه پایان‌نامه دسترسی پیدا کنی، و از طریق کتاب‌خانه دانشگاه، به متن آن. اما در این نامه، قصد دارم تا داستان آشناییم را با ریاضیات وارونه برایت روایت کنم، و نیز ریاضیات وارونه را با زبانی ساده به تو معرفی کنم، تا بدانی که ریاضیات وارونه چیست و چه می‌خواهد. سعی کرده‌ام همه چیز را ساده بیان کنم و تا حد امکان از نوشتن مطالبی که نیازمند مقدماتی پیشرفته است بپرهیزم. گرچه توصیه می‌کنم پیش از مطالعه ادامه این نامه، نامه‌ی «فرآیند اثبات منطقی و قضیه ناتمامیت گودل»، و نیز نامه‌ی «زبان‌های صوری، نظریه صدق تارسکی و قضیه تمامیت گودل» را بخوانی.



داستان از آنجا شروع شد که از جایی به بعد، پرسشی منطقی مثل خوره به جانم افتاده بود! هر موقع قضیه‌ای پیش رویم اثبات می‌شد، بلافاصله می‌پرسیدم آیا استفاده از این فرض برای اثباتِ حکم ضروری است؟ باید حتما از این فرض استفاده کنیم تا حکم را اثبات کنیم؟ نمی‌شود از این فرض استفاده نکنیم و حکم را اثبات کنیم؟! این پرسش‌ها را آنقدر از استادم پرسیدم تا اینکه گفت: «تو که اینقدر به اینگونه پرسش‌ها علاقه داری، خوب است بدانی شاخه‌ای از منطق ریاضی وجود دارد که همین پرسش‌ها را بررسی می‌کند؛ نام آن شاخه ریاضیات وارونه است».

تصور کن کسی برای تو اثبات کند که «خدا وجود دارد» و در اثبات خود، از جمله «جهان منظم است» استفاده کند. همین‌طور فرض کن اثبات او هیچ ایراد منطقی نداشته باشد.
همین‌جا، بلافاصله پرسشی منطقی خودنمایی می‌کند:
آیا برای اثبات جمله «خدا وجود دارد» حتما باید از جمله «جهان منظم است» استفاده کنیم؟ یا اینکه می‌توانیم بدون فرض کردنِ جمله‌ی «جهان منظم است» و با فرض کردنِ جمله‌ای دیگر، جمله «خدا وجود دارد» را اثبات کنیم؟
این پرسش منطقی، همان پرسشی است که ریاضیات وارونه را متولد کرده است.
وقتی دانستم ریاضیات وارونه دقیقا آن حوزه‌ای است که پرسشی که برای من پیش‌آمده بود را بررسی می‌کند، به آن علاقه‌مند شدم. خب طبیعی هم هست. فرض کن پرسشی داری و بعد می‌فهمی کسی پیش از تو آن پرسش را مطرح کرده و به آن پاسخ گفته است؛ علاقه‌مند هستی که سراغ او بروی، حرف‌هایش را بشنوی و ببینی چگونه به پرسشی که برای تو پیش آمده بود پاسخ گفته است؛ اصلا به نظرم پایه و اساس دانش، همین پرسیدن است. اینکه تو چه پرسش‌هایی را مطرح می‌کنی و اولویت را به کدام پرسش‌ها می‌دهی، مسیر علمیِ تو را مشخص می‌کند. اصلا فلسفه مطالعه کردن نیز به نظرم همین است؛ درباره‌ی موضوعی، پرسش‌هایی ذهنت را درگیر کرده‌اند. بعدا می‌فهمی کتابی هست که دقیقا این پرسش‌های تو را بررسی می‌کند. پس با شور و اشتیاق و از روی نیاز، به سراغ آن کتاب می‌روی و آن را مطالعه می‌کنی؛ بدون اکراه، و بدون آنکه زوری بالای سرت باشد! آری مطالعه کردن می‌تواند دلایل دیگری هم داشته باشد، اما به نظرم این، یکی از دلایل اصلی است. همین‌طور است فلسفه مشورت کردن، تحقیق کردن و ... . خلاصه به نظرم آن چیزی که پایه و اساس است، «پرسیدن» است. دانشمندان موفق، تا جایی که من می‌دانم، پیش از آنکه محققان برجسته‌ای باشند، پرسشگرانِ خبره‌ای بوده‌اند.
اگر یادت باشد، در نامه‌ی «داستان شکل‌گیری رابطه عاطفی من و منطق ریاضی» گفته بودم که دلیل اینکه تا این اندازه به منطق ریاضی علاقه‌مند شدم، همین بود که دقیقا پرسش‌هایی را بررسی می‌کرد که برای من پیش آمده بود! بنابراین، انتخاب گرایش تحصیلی‌ام در دوره کارشناسی ارشد، و نیز انتخاب موضوع پایان‌نامه‌ام، با سیری کاملا طبیعی، بنا بر پرسش‌هایی که در ذهن داشتم، انجام شد. حالا بیا تا برایت از ریاضیات وارونه بگویم، تا بدانی که چگونه تلاش می‌کند به آن پرسش بنیادی پاسخ گوید. اما پیش از آن، اجازه بده همان پرسش را، این بار به شکلی دقیق‌تر بیان می‌کنم.

فرض کن L، مجموعه‌ی زبان (مرتبه یک) باشد، T یک نظریه (مجموعه‌ای از جمله‌ها) در زبان L باشد، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است. فرض کن که T، مثلا پنج عضو داشته باشد. در واقع، ما اکنون در دستگاهی منطقی هستیم، که مفاهیم اولیه را مشخص، و پنج جمله را به عنوان بُنداشت (axiom) فرض کرده‌ایم. اکنون تصور کن که توانسته‌ایم جمله A را در T اثبات کنیم. و فرض کن که برای اثبات جمله A، از هر پنج جمله‌ای که در T وجود دارد، استفاده کرده‌‌ایم. همین‌جا، یک پرسش منطقی پیش می‌آید که بررسی آن، ریاضیات وارونه را پدید می‌آورد؛ و آن پرسش چنین است:
«آیا استفاده از همه بنداشت‌ها برای اثبات A ضروری بود»؟
به عبارتی، آیا نمی‌توانستیم مثلا از بنداشت پنجم استفاده نکنیم و جمله A را اثبات کنیم؟ یا اینکه برای اثبات A، لازم است حتما به گونه‌ای از بنداشت پنجم استفاده کنیم؟
این پرسش‌، پرسشی اساسی است که پاسخ دادن به آن‌ معمولا ساده نیست. برای اینکه این پرسش برایت بیشتر جا بیفتد، بیا سری به تاریخ بزنیم.

اقلیدس در چند صد سال پیش از میلاد مسیح، اثری نوشته است که به «اصول اقلیدس» شهرت دارد. او در این اثر تاریخی، پنج جمله را به عنوان بنداشت در نظر می‌گیرد، و تلاش می‌کند با استفاده از این پنج جمله، قضیه‌های مهم هندسه را اثبات کند. بنداشت پنجم اقلیدس، که شاید از نظر تاریخی مهم‌ترین بنداشت در ریاضیات باشد، بیان می‌کند:
«به ازای هر نقطه خارج از یک خط، یک و تنها یک خط وجود دارد که از آن نقطه می‌گذرد و با خط داده شده موازی است».
البته بیان بالا، دقیقا جمله‌ی اقلیدس نیست، بلکه یک معادل منطقی آن است. چون این بیان از جهاتی ساده‌تر است، بیا از آن به عنوان بنداشت پنجم اقلیدس یاد کنیم.
بنداشت پنجم، به سادگیِ پذیرش بنداشت‌های دیگر نبود. مثلا بنداشت چهارم بیان می‌کند که همه زاویه‌های قائمه بر هم قابل انطباق‌اند، یا بنداشت سوم می‌گوید به ازای هر نقطه و هر پاره‌خط، دایره‌ای وجود دارد که مرکزش نقطه‌ی داده شده، و شعاعش پاره‌خطِ داده شده باشد. این‌ها جمله‌هایی هستند که تا اندازه‌ای با شهود ما هم‌خوانی دارند؛ اما بنداشت پنجم، حکمی را صادر می‌کند که برایمان ناآشنا است، و تحقیق درستیِ آن کار دشواری به نظر می‌رسد. ریاضیدان‌ها، تلاش کردند تا بنداشت پنجم را با استفاده از چهار بنداشتِ دیگر اثبات کنند. یعنی خواستند به نحوی این جمله‌ را که کمتر شهودی بود، به کمک چهار بنداشت دیگر که به تجربه و شهود انسان نزدیک‌تر بود، اثبات کنند و از درستی آن مطمئن شوند. اما هیچکس موفق نشد که این اثبات را انجام دهد! وقتی امید ریاضیدان‌ها برای اثبات بنداشت پنجم به ناامیدی گرایید، تلاش کردند تا نقیضِ این جمله را اثبات کنند. یعنی تلاش کردند با استفاده از چهار بنداشت دیگر، اثبات کنند که بنداشت پنجم غلط است؛ اما در این زمینه نیز، کسی موفقیتی بدست نیاورد! تا اینکه بعدها، اثبات شد که بنداشت پنجم، مستقل از چهار بنداشت دیگر است؛ یعنی با استفاده از چهار بنداشت اول، نه می‌توان بنداشت پنجم را اثبات کرد، نه می‌توان آن را رد کرد! اما این اثبات چگونه اتفاق افتاد؟ با همان روشی که اکنون در منطق ریاضی کاملا شناخته شده است و من در نامه‌ی «زبان‌های صوری، نظریه صدق تارسکی و قضیه تمامیت گودل» آن روش را برایت شرح دادم؛ در واقع، ریاضیدان‌ها دو مدل برای چهار بنداشت اول پیدا کردند، که در یکی بنداشت پنجم درست بود، و در دیگری غلط! بنا بر «قضیه درستی» در منطق ریاضی، اگر قرار بود که بنداشت پنجم توسط چهار بنداشت اول اثبات شود، باید در هر مدلی که برای چهار بنداشت اول در نظر بگیریم، بنداشت پنجم درست باشد. و اگر قرار بود نقیض بنداشت پنجم توسط چهار بنداشت اول اثبات شود، باید در هر مدلی که برای چهار بنداشت اول در نظر می‌گیریم، بنداشت پنجم غلط باشد. حال آنکه هیچ یک از این دو اتفاق نیفتاد. بنابراین، استقلالِ بنداشت پنجم از چهار بنداشت دیگر به اثبات رسید، و این مسأله‌ی پیچیده‌ی تاریخی، حل شد.

وقتی می‌دانیم بنداشت پنجم مستقل از چهار بنداشت دیگر است، و پذیرشش نیز برایمان ساده نیست، چه اجباری هست که آن را بپذیریم؟ می‌توانیم مثلا جمله‌ای متضاد با آن را به عنوان بنداشت بپذیریم و هندسه‌ای جدید بنا کنیم! و همین اتفاق هم افتاد، و هندسه‌های نااقلیدسی پدید آمد. گرچه پیدایش این هندسه‌ها، پیش از اثبات استقلال بنداشت پنجم اتفاق افتاد، اما به هر حال، این اثبات، به این هندسه‌ها اعتباری دوچندان بخشید.

اقلیدس در اثبات بسیاری از قضیه‌های هندسه، از بنداشت پنجم استفاده کرده بود؛ مثلا یکی از آن قضیه‌ها، قضیه معروفِ فیثاغورث بود. وقتی بنداشت پنجم کمتر بدیهی است، و نیز بعدا اثبات شد که این بنداشت مستقل از چهار بنداشت دیگر است و منطق به ما اجازه می‌دهد چهار بنداشت اول را بپذیریم و بنداشت پنجم را نپذیریم، آن پرسش اساسی که در ابتدا مطرح کردم، نقشی پررنگ‌تر به خود گرفت. یعنی این پرسش واقعا اهمیت پیدا کرد که آیا در اثبات قضیه فیثاغورث، استفاده از بنداشت پنجم ضروری است؟ یا اینکه می‌توان بدون استفاده از بنداشت پنجم قضیه فیثاغورث را اثبات کرد؟
اما برای پاسخ دادن به این پرسش، چه روشی وجود دارد؟
اجازه بده همین پرسش را به شکلی کلی‌تر و دقیق‌تر بیان کنم:

فرض کن L، مجموعه‌ی زبان باشد، T یک نظریه در زبان L باشد، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است. برای سادگی، فرض کن T تنها پنج عضو دارد. اکنون تصور کن که توانسته‌ایم جمله A را در T اثبات کنیم. و فرض کن که برای اثبات جمله A، از هر پنج جمله‌ای که در T وجود دارد، استفاده کرده‌‌ایم. نام بنداشت پنجم را v بگذار. فرض کن v مستقل از چهار بنداشت دیگر باشد. می‌خواهیم به پرسش زیر پاسخ دهیم:
«آیا استفاده از v، برای اثبات A ضروری است»؟
مجموعه S=T-{v} را به عنوان یک نظریه جدید در نظر بگیر. یعنی مجموعه‌ای که اعضای آن دقیقا چهار بنداشت اول هستند. می‌توان با استدلالی نه‌ چندان پیچیده و با کمک تعدادی از قضیه‌های مقدماتیِ منطق ریاضی، حقیقت زیر را نشان داد:

«بنداشت v برای اثبات A ضروری است، اگر و فقط اگر v⇔A در S اثبات‌پذیر باشد»

نتیجه مهم قضیه بالا، پدید آمدن روشی است برای اینکه بفهمیم آیا بنداشتی مفروض برای اثبات یک جمله ضروری است یا نه. نمادگذاری بالا را در نظر بگیر. چون جمله A در نظریه T اثبات می‌شود، بنا بر «قضیه استنتاج» می‌دانیم v⇒A در S اثبات می‌شود. پس برای اینکه پاسخ پرسشمان را بیابیم، تلاش می‌کنیم تا ببینیم A⇒v در S اثبات می‌شود یا نه. اگر اثبات شد، نتیجه می‌شود که بنداشت v برای اثبات A ضروری است.
به عبارتی، باید فرآیندی وارونه را طی کنیم. در ریاضیات، فرآیند معمولی چنین است که تلاش می‌کنیم از بنداشت‌‌هایمان استفاده کنیم و جملات جدیدی را اثبات کنیم. اما در اینجا، به پیش نمی‌رویم، و قصد اثبات جمله جدیدی را نداریم، بلکه تلاش می‌کنیم تا با فرض برقراریِ یک جمله‌ی از قبل اثبات شده، یکی از بنداشت‌هایمان را اثبات کنیم. نام ریاضیات وارونه، به نیکی چنین فرآیندی را یادآور می‌شود.

برای آنکه این بحث را در بستر ریاضیات ببینی، مثال‌هایی واقعی از دنیای ریاضی را به تو نشان می‌دهم. در ابتدا، بیا به همان هندسه اقلیدسی نظر کنیم.

گفتم که اقلیدس در اثبات بسیاری از قضیه‌های هندسه اقلیدسی مانند قضیه فیثاغورث، از بنداشت پنجم استفاده کرده است. یعنی اگر S مجموعه چهار بنداشت اول اقلیدس، v بنداشت پنجم و A قضیه فیثاغورث باشد، v⇒A در S اثبات می‌شود.
پرسش این بود که آیا استفاده از بنداشت پنجم برای اثبات قضیه فیثاغورث ضروری است یا نه؟
کافی است فرآیندِ وارونه را طی کنیم و ببینیم که آیا جمله A⇒v در S اثبات می‌شود یا نه. به عبارتی، باید ببینیم که آیا می‌توان با فرض کردن چهار بنداشت اول اقلیدس و قضیه فیثاغورث، بنداشت پنجم اقلیدس را اثبات کرد یا نه. پاسخ مثبت است و چنین اثباتی وجود دارد. در نتیجه، برای اثبات قضیه فیثاغورث، استفاده از بنداشت پنجم ضروری است و اگر بنداشت پنجم را نداشته باشیم، قضیه فیثاغورث را نیز نخواهیم داشت! یکی از نتایج این کشف، این است که در هندسه‌های نااقلیدسی، قضیه فیثاغورث برقرار نیست؛ چرا که در این هندسه‌ها بنداشت پنجم برقرار نیست. و نیز می‌توان اثبات کرد که بنداشت پنجم معادل با جمله زیر است:
«مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث برابر با دوقائمه است».
بنابراین برای اثبات این جمله، فرض کردن بنداشت پنجم ضروری است. و علاوه بر این دو جمله که ذکر آن‌ها گذشت، جملات بسیاری وجود دارند که معادل با بنداشت پنجم اقلیدس هستند و در نتیجه برای اثبات آن‌ها، لازم است حتما از بنداشت پنجم اقلیدس استفاده کنیم‌.


اکنون بیا مثالی دیگر را، این بار در بستر نظریه مجموعه‌ها بررسی کنیم.
نظریه مجموعه‌ها، می‌تواند به عنوان نظریه‌ای در نظر گرفته شود، که تقریبا همه قضیه‌های ریاضی را می‌توان در آن بیان و اثبات کرد. این نظریه را می‌توان در دستگاه ZFC، به شکلی منطقی صورت بندی کرد؛ Z حرف اول واژه زِرمِلو است، F حرف اول واژه فِرانکِل، و C حرف اول واژه Choice (انتخاب). زرملو و فرانکل نام دو ریاضیدان است، و کلمه انتخاب، به بنداشت انتخاب (Axiom of choice) اشاره دارد. بیا بنداشت انتخاب را با AC نشان دهیم. این بنداشت نیز درست مانند بنداشت پنجم اقلیدس، از نظر تاریخی اهمیت بسیار دارد و بحث و جدل‌های بسیاری در منطق و فلسفه ریاضی به راه انداخته است.
در واقع، ZFC مجموعه‌ای از جملات است که در زبانی چون L که فقط شامل یک نماد رابطه‌ای دو جایی است، در نظر گرفته می‌شود. ZF دارای ۹ بنداشت (البته بعضی از آن‌ها، شِمای بنداشت هستند) است و AC نیز بنداشت انتخاب است. پس می‌توان نوشت:
ZFC=ZF∪{AC}
برای آنکه تصوری از ZF داشته باشی، خوب است بدانی که جملات زیر، بنداشت‌هایی در ZF هستند:
«مجموعه‌ای وجود دارد که هیچ عضوی ندارد»
«اگر X و Y دو مجموعه باشند، آنگاه مجموعه‌ای وجود دارد که شامل اعضای X و اعضای Y است و هر عضو آن، یا عضوی از X است یا عضوی از Y»
و ...

پذیرش بنداشت انتخاب، درست مانند پذیرش بنداشت پنجم اقلیدس، خیلی ساده نیست. این بنداشت پای مفهوم بی‌نهایتِ بالفعل (actual infinity) را به شکلی جدی به میان می‌کشد. بعضی از ریاضیدان‌ها، برای همین، آن را نمی‌پذیرند. این موضوع، اهالی ریاضی را بر آن داشت که تلاش کنند AC را با استفاده از بنداشت‌های ZF اثبات کنند.
تلاش ریاضیدان‌ها برای اثبات AC شکست خورد و هیچ‌کس نتوانست AC را از ZF نتیجه بگیرد. همچنین، کسی موفق نشد AC را رد کند؛ به عبارتی، تلاش‌ها برای اثبات نقیضِ AC در ZF نیز موفقیت‌آمیز نبود.
تا اینکه سرانجام، گودِل، طبق معمول به فریاد ریاضیدان‌ها رسید و اثبات کرد که نمی‌توان نقیض AC را در ZF اثبات کرد. و بعدا کوهن توانست اثبات کند که خود AC نیز در ZF اثبات نمی‌شود. بنابراین اگر دستاوردهای گودل و کوهِن را کنار هم قرار دهیم، نتیجه می‌گیریم که AC در ZF نه اثبات می‌شود و نه رد می‌شود؛ به عبارتی، AC مستقل از ZF است. در واقع AC همان رابطه‌ای را با ZF دارد که بنداشت پنجم اقلیدس با چهار بنداشت اول اقلیدس.
در اثبات بسیاری از قضیه‌های مهم نظریه مجموعه‌ها و نیز ریاضیاتِ مدرن مانند جبر پیشرفته، آنالیز، توپولوژی و ... از AC استفاده می‌شود.
اکنون که می‌دانیم AC مستقل از ZF است، پرسشِ بنیادی ریاضیات وارونه، یعنی این پرسش که آیا استفاده از AC برای اثبات یک قضیه‌ مشخصِ ریاضی ضروری است یا نه، از اهمیتی دوچندان برخوردار می‌شود.
یکی از قضیه‌هایی که در ZFC اثبات می‌شود، و در اثبات این قضیه از AC استفاده می‌شود، قضیه خوش‌ترتیبی است. این قضیه بیان می‌کند که «هرمجموعه‌ای خوش‌ترتیب شدنی است». در نتیجه، جمله‌ی AC⇒WO در ZF اثبات می‌شود که در آن، منظورم از WO قضیه خوش‌ترتیبی است.
«آیا فرض کردن AC برای اثبات WO ضروری است»؟
بنا بر توضیحاتی که بحث آن گذشت، اگر نشان دهیم که WO⇒AC در ZF اثبات می‌شود، آنگاه نتیجه می‌شود که فرض کردن AC برای اثبات WO ضروری است. اما می‌توان از قضیه خوش‌ترتیبی بنداشت انتخاب را نتیجه گرفت. به عبارتی، می‌توان نشان داد که WO⇒AC در ZF اثبات می‌شود؛ و این یعنی بنداشت انتخاب و قضیه خوش‌ترتیبی معادل هستند و فرض کردن بنداشت انتخاب برای اثبات قضیه خوش‌ترتیبی ضروری است. در واقع رابطه بنداشت انتخاب و قضیه خوش‌ترتیبی، درست مانند رابطه بنداشت پنجم اقلیدس و قضیه فیثاغورث است.
دیدی که در اثبات قضیه فیثاغورث از بنداشت پنجم اقلیدس استفاده شده بود، و فهمیدی که بنداشت پنجم اقلیدس برای اثبات قضیه فیثاغورث ضروری است. همچنین دیدی که در اثبات قضیه خوش‌ترتیبی از بنداشت انتخاب استفاده شده بود، و فهمیدی که بنداشت انتخاب برای اثبات قضیه خوش‌ترتیبی ضروری است. اکنون خوب است مثالی از اثبات یک جمله را به تو نشان دهم که در آن اثبات، از جمله مشخصی استفاده شده، در حالی که فرض کردنِ آن جمله ضروری نیست!
جمله زیر را که مربوط به نظریه اندازه است در نظر بگیر:
«زیرمجموعه‌هایی از مجموعه اعداد حقیقی (R) وجود دارند که لِبِگ‌اندازه‌ناپذیر هستند»
نام این جمله را B بگذار. اگر با نظریه اندازه آشنا باشی، احتمالا B و اثبات آن را دیده‌ای. اثبات معروفی که برای B وجود دارد، اثباتِ ویتالی است؛ جوسِپ ویتالی در ۱۹۰۵ وجود زیرمجموعه‌هایی از R را نشان داد که لبگ اندازه‌ناپذیرند؛ او در این اثبات، از بنداشت انتخاب استفاده کرد.
پرسش بنیادی ریاضیات وارونه را در این باره به کار می‌بریم:
«آیا استفاده از AC برای اثبات B ضروری است»؟
طبق توضیحات بالا می‌دانیم که جمله AC⇒B در ZF اثبات می‌شود. اگر نشان دهیم که جمله B⇒AC نیز در ZF اثبات می‌شود، نتیجه می‌گیریم که استفاده از AC برای اثبات B ضروری است. پس تلاش می‌کنیم به گونه‌ای از جمله B، جمله AC را نتیجه بگیریم. اما تلاش‌هایمان نتیجه نمی‌دهد و موفق نمی‌شویم! بنابراین، حدس می‌زنیم که B⇒AC در ZF اثبات نمی‌شود؛ اما هنوز به درستی این حدس اطمینان نداریم، چرا که هنوز آن را اثبات نکرده‌ایم.
در سال ۱۹۷۰ رابرت سالُوی نشان داد که مدلی برای ZF وجود دارد، که در آن بنداشت انتخاب برقرار نیست، و همه زیرمجموعه‌های R لبگ‌اندازه‌پذیرند. به عبارتی، او وجود مدلی را برای ZF∪{¬AC} نشان داد که در آن B¬ برقرار است. همین‌جا، بنا بر قضیه درستی، نتیجه می‌شود که B در ZF اثبات نمی‌شود و برای اثبات B ناچاریم جمله‌ای دیگر را به عنوان بنداشت به ZF اضافه کنیم. نام این جمله را X بگذار. می‌دانیم X می‌تواند همان AC یا هر جمله‌‌ای معادل با AC باشد. اما پرسش مهم این‌جاست که آیا X الزاما باید AC یا جمله‌ای معادل با AC باشد؟ به عبارتی، آیا برای اثبات B، به همه قدرت AC نیاز داریم؟
در سال ۲۰۰۵ مَتیو فُرمَن با انتشار مقاله‌ای نشان داد قضیه هان-باناخ، که آن را با H نشان می‌دهم، B را نتیجه می‌دهد. از طرفی، H اکیدا ضعیف‌تر از AC است؛ یعنی AC⇒H در ZF اثبات می‌شود، اما H⇒AC در ZF اثبات نمی‌شود. در نتیجه، X می‌تواند قضیه هان-باناخ باشد که اکیدا ضعیف‌تر از بنداشت انتخاب است. پس حدسمان درست بود؛ یعنی B⇒AC در ZF اثبات نمی‌شود؛ چرا که در غیر این صورت، از آن‌جایی که H⇒B در ZF اثبات می‌شود، نتیجه می‌گیریم که H⇒AC در ZF اثبات می‌شود‌ در حالی که می‌دانیم این‌گونه نیست.
بنابراین، استفاده از بنداشت انتخاب برای اثبات وجود زیرمجموعه‌هایی از R که لبگ‌اندازه‌ناپذیر هستند، ضروری نیست. گرچه اثبات رایجی که برای نشان دادن وجود چنین زیرمجموعه‌هایی به کار می‌رود، اثباتی است که از بنداشت انتخاب استفاده می‌کند.

به طور کلی، هدف اصلی ریاضیات وارونه، همین است که برای هر قضیه مشخص از ریاضیات، بررسی کند که آیا استفاده از بنداشتی مفروض برای اثبات آن قضیه ضروری است یا نه، و در نهایت بنداشت‌های ضروری برای اثبات آن قضیه را پیدا کند. البته همه این کارها را نه در بستر چهار بنداشت اول اقلیدس، و نه در بستر ZF، بلکه در بستر «حساب مرتبه دوم» یا second order arithmetic انجام می‌دهد. با سه مثالی که ذکر آن‌ها گذشت، تلاش کردم تا فرآیند انجام چنین کاری را به طور اجمالی توضیح دهم. قطعا می‌توان فنی‌تر سخن گفت و بیشتر وارد جزئیات شد. اما هدف من از این نوشتار، صرفا یک معرفی خودمانی از ریاضیات وارونه بود. اگر به این موضوع علاقه‌مند شدی و خواستی بیشتر درباره آن بدانی، کتابِ
«Reverse mathematics; proofs from the inside out»
که به قلم آقای «stillwell» نوشته شده است، منبع بسیار مناسب و خودخوانی برای مطالعه بیشتر در این زمینه است. من هم سعی کرده‌ام در فصل اول پایان‌نامه‌ام، با زبانی گویا و به دور از حاشیه‌های اضافی، مقدماتِ تکنیکیِ مورد نیاز برای ورود به دنیای ریاضیات وارونه را در اختیارت قرار دهم.

نامه را همین‌جا به پایان می‌برم.
ممنونم که وقتت را به من سپردی. امیدوارم تا اندازه‌ای با حال و هوای ریاضیات وارونه آشنا شده باشی.