از مطالعه توپولوژی جبری لذتی عایدم شد، که با خود گفتم چه بهتر اگر تو را نیز در این لذت شریک کنم. امیدوارم پس از مطالعه این نامه، طعم لذیذی را که من چشیدم تو نیز بچشی، و آن شیرینی که نصیب من شد، نصیب تو هم بشود. می‌دانم، شاید لفظ دهان پر کن «توپولوژی جبری» تو را کمی بترساند، و گمان کنی که از این نامه چیزی نخواهی فهمید. اما نگران نباش. تلاش کرده‌ام تا در ساده‌ترین حالت ممکن داستان توپولوژی جبری را برایت روایت کنم. فرض کرده‌ام که نه از توپولوژی چیزی می‌دانی، نه از جبر! تنها فرضم این بوده که توانایی خواندن داری، و البته حوصله! امیدوارم فرض زیادی نباشد. پس اگر می‌توانی بخوانی، و حوصله خواندن داری، با من همراه شو تا تو را به دنیای توپولوژی جبری ببرم و زیبایی‌های این دنیا را نشانت دهم.
برای رسیدن به قله‌ی توپولوژی جبری، ابتدا باید از گذرگاه توپولوژی و شهرِ جبر گذر کنیم. پس بیا تلاش کنیم تا این دو را بیشتر بشناسیم و جوابی برای این دو سوال پیدا کنیم:
توپولوژی چیست؟
جبر چیست؟
وقتی از این‌ها گذر کنیم، کوهِ توپولوژی جبری پدیدار خواهد شد و تلاش می‌کنیم به سوال «توپولوژی جبری چیست» بپردازیم و از کوه بالا برویم و به قله برسیم.
مفهومی که توپولوژی روی آن سوار شده، و هرگز از آن پیاده هم نمی‌شود، مفهوم «پیوستگی» است. پس برای جواب دادن به سوالِ «توپولوژی چیست»، لازم است درکی از «پیوستگی» داشته باشیم. بیا بپرسیم: «پیوستگی چیست»؟!
مثلا سیب سرخی را در نظر بگیر که از شاخه درختی به زمین می‌افتد. در اینجا چیزی اتفاق افتاده که به آن حرکت می‌گوییم؛ حرکت سیب از روی شاخه به روی زمین. سوالی که می‌توان پرسید این است که ویژگی‌های این حرکت چیست؟! مثلا: آیا این حرکت، پیوسته بوده؟! یا نه؟! برای درک بهتر این سوال، به فیلم‌برداری فکر کن. یک قطعه فیلم، حاصل کنار هم گذاشتن تعداد زیادی عکس است که در زمان‌های متفاوتی گرفته شده. وقتی تو فیلمی را می‌بینی، یک فیلمِ پیوسته نیست. یک ثانیه فیلم، هزاران عکس است که با سرعت زیاد از جلوی چشمانت می‌گذرد، و تو گمان می‌کنی که واقعا حرکت پیوسته‌ای اتفاق افتاده. در حالی که این گونه نیست. اگر بتوانی یک ثانیه را به اندازه هزار ثانیه کش بدهی(!)، در آن صورت انگار در هر ثانیه یک عکس به تو نمایش داده شده، تا اینکه بعد از هزار ثانیه، تمام عکس‌ها را ببینی. اگر زمان برای تو به اندازه کافی کُند بگذرد، متوجه می‌شوی که فیلم نمی‌بینی. فقط تعداد زیادی عکس شبیه به هم می‌بینی. پس یک قطعه فیلم، یک پدیده‌ی پیوسته نیست. اما حرکت سیب چطور؟! اگر از افتادن سیب فیلم بگیری و آن فیلم را به کسی نشان دهی، آن چیزی که او می‌بیند، یک پدیده‌ی پیوسته نیست! چون او دارد فیلم می‌بیند، و دیدیم که فیلم پدیده‌ای پیوسته نیست. اما آن چیزی که تو دیدی چه؟! آیا پیوسته بود؟! کسی چه می‌داند، شاید چشم ما هم مثل یک دوربین فیلم‌برداری تعداد بسیار زیادی عکس را در زمان کمی به ما نشان می‌دهد. پس شاید آن چیزی که ما می‌بینیم هم پیوسته نباشد. اما حرکت واقعی سیب چطور؟! اصلا فرض کن بیننده‌ای در کار نیست. سیبی از روی درختی می‌افتد. آیا پیوسته افتاد؟! یا این افتادن نیز مانند تعداد زیادی عکس بود که یکی پس از دیگری گذشت؟! راستش را بخواهی، من جواب این سوال را نمی‌دانم. و گمان نمی‌کنم فهمیدن اینکه حرکت سیب واقعا پیوسته است یا نه، به سادگی امکان‌پذیر باشد. اما این را می‌دانم که در علم فیزیک، و بعضی علوم دیگر، معمولا این حرکت سیب را پیوسته «فرض» می‌کنند. گرچه شاید دلیل کافی برای این موضوع نداشته باشند. نه تنها حرکت سیب، بلکه حرکت‌های مشابه را نیز پیوسته فرض می‌کنند. مثلا حرکت یک اتوموبیل، حرکت دست من، حرکت زمین به دور خورشید و ... . به هر حال، با اینکه تعریف دقیقی از پیوستگی ارائه ندادم، اما احساس می‌کنم با این مثال، مفهوم پیوستگی را لمس کرده باشی. اجازه بده مثال دیگری بزنم. فرض کن یک لیوان چای داغ برای خودت آماده کرده‌ای. پس از مدتی دمای چای پایین می‌آید. این پایین آمدن دما، پیوسته بود یا نه؟! یا مثلا فرض کن به قصد پیاده‌روی از خانه بیرون زده‌ای. همین‌طور که در خیابان‌ها قدم می‌زنی، دمای هوا احتمالا تغییر می‌کند. به عبارتی، در هر نقطه که قرار بگیری، هوا دمایی دارد که احتمالا با نقطه قبلی که در آن قرار داشتی متفاوت است. آیا این تغییر دمای هوا، یک تغییر پیوسته است؟
یک مثال دیگر؛ فرض کن به یک استخر شنا رفته‌ای. اگر تجربه کرده باشی، می‌دانی که هر چه به کف استخر نزدیک‌تر شوی، فشار آب بیشتر می‌شود. به طوری که اگر عمق آب استخر مثلا چهار متر باشد، وقتی به کف استخر برسی (اگر به اندازه کافی شنا بلد باشی!)، فشار شدید آب را بر بدن خود، مخصوصا فشار آب وارد بر گوش‌ها و ناحیه سر خود را حس می‌کنی. آیا این افزایش فشار آب، وقتی از سطح آب به عمق آب حرکت می‌کنیم، یک تغییر پیوسته است؟
خودت به معنای این سوالات بیندیش و تلاش کن جوابی بدهی. همین طور سعی کن این مثال‌ها را با مثال افتادن سیب مقایسه کنی، و شباهت‌ها و تفاوت‌هایشان را بیابی.
اکنون که کمی با مفهوم پیوستگی آشنا شدی، ابزار آن را داری که در مورد «توپولوژی» بیشتر بدانی. پس سوالی که می‌پرسیم این است:
«توپولوژی چیست»؟!
تعریفی که می‌خواهم ارائه دهم، کاملا دقیق نیست، اما با تقریب خوبی، تعریف درستی است:
«توپولوژی، شاخه‌ای از ریاضیات است که مفهوم پیوستگی را «دقیق» می‌کند»
اما دقیق کردن یعنی چه؟! منظور من از دقیق کردن یک مفهوم، پیدا کردن معادلِ منطقی-ریاضیِ آن مفهوم است. این یعنی چه؟! تلاش می‌کنم با مثالی منظورم را روشن کنم:
احتمالا با مفهوم جاذبه یا «گرانش» آشنا باشی. تعریف فیزیکی گرانش اینگونه است:
«هر دو جسمی به هم نیرو وارد می‌کنند، که هر چه مجموع جرم دو جسم بیشتر باشد، و فاصله بین دو جسم کمتر باشد، مقدار این نیرو بیشتر است. این نیرو را، نیروی گرانشی می‌گویند».
مثلا، کره زمین، به اجسام روی سطح خود، نیرو وارد می‌کند و آن‌ها را به سمت خود می‌کشد. هر چه جرم آن جسم بیشتر، و فاصله‌اش با زمین کمتر باشد، نیرویی که زمین به آن وارد می‌کند بیشتر است. همین‌طور زمین و خورشید، خورشید و مریخ، مریخ و زحل و ... به هم نیروی گرانشی وارد می‌کنند. به طور کلی، طبق قانون گرانش، هر دو جسمی به هم نیرو وارد می‌کنند. حتی من اکنون دارم به کتابی که روی میزم قرار دارد نیروی گرانشی وارد می‌کنم! اما خب، چون مجموع جرم من و کتابم ناچیز است، این نیرو بسیار بسیار کم است.
این‌ها توضیحاتی بود درباره نیروی گرانشی. اما به نظرت این حرف‌ها دقیق بود؟! به راستی نه! اگر دقت کنی، مدام از توصیفاتی کیفی مانند رابطه دارد، بیشتر است، کمتر است، ناچیز است، بسیار بسیار کم است و ... استفاده کردیم. این توصیفات کیفی، ما را به کره‌ی ماه نمی‌رساند! و رویای زندگی در مریخ، با این توصیفات کیفی به واقعیت تبدیل نخواهد شد! برای آنکه بخواهیم به ماه سفر کنیم، یا در مریخ به زندگی ادامه دهیم، لازم است دقت و توصیفات کَمّی را وارد کار کنیم. و بدانیم که:
نیروی گرانشی چگونه محاسبه می‌شود؟ اگر جرم ده برابر شود، نیروی گرانشی چند برابر می‌شود؟ اگر فاصله دو جسم نصف شود نیروی گرانشی چند برابر می‌شود؟ نیرویی که من به کتاب روی میزم وارد می‌کنم، چقدر است؟
به عبارتی، لازم است این مفاهیم فیزیکی را ابتدا با اعداد بیان کنیم، و بعد فرمولی را که این مفاهیم در آن‌ها صدق می‌کنند مشخص کنیم. فیزیک، همین کار را می‌کند و برای این کار، به شکل چشمگیری از ریاضیات کمک می‌گیرد. در این صورت، مفاهیم فیزیکی محاسبه پذیر می‌شوند، و چون تعاریف دقیق و فرمول‌های دقیقی در اختیار داریم، می‌توانیم نتایج دقیق‌تری بدست آوریم؛ مثلا به ماه سفر کنیم!
بد نیست بدانی نیروی گرانشی بین دو جسم، از این رابطه محاسبه می‌شود:
«جرم جسم اول، ضربدر جرم جسم دوم، تقسیم بر فاصله بین دو جسم به توان دو، ضربدر یک عدد ثابت»
برای نوشتن این عدد ثابت، یک صفر بنویس، یک ممیز بکش، بعد از آن ممیز ده تا صفر بگذار، و بعد عدد یک را قرار بده! (البته مقدار دقیق‌تری از این عدد ثابت هم وجود دارد). همان طور که می‌بینی، این عدد ثابت، عدد بسیار کوچکی است. اما اینجا، می‌دانیم بسیار کوچک یعنی چقدر کوچک! به عبارتی، مفهوم نیروی گرانشی، در فرمول گرانش، «دقیق» شده است. و می‌توانیم با دقت ریاضی درباره نیروی گرانشی حرف بزنیم و نتیجه گیری کنیم.
پس وقتی از دقیق شدنِ یک مفهوم حرف می‌زنم، منظورم چنین چیزی است. برگردیم به بحثمان.
توپولوژی، علمی است که مفهوم پیوستگی را دقیق می‌کند. همان‌طور که فیزیک مفهوم نیرو را دقیق می‌کند. به عبارتی، توپولوژی، تلاش می‌کند تا تعریفی ریاضی‌گونه از مفهوم پیوستگی ارائه دهد. وقتی پیوستگی به طور دقیق‌تری تعریف شود، می‌توان نتایج دقیق‌تری هم گرفت، و جمله‌های دقیق‌تری را اثبات کرد. اصلا وقتی ریاضی را صدا می‌زنیم، با جعبه ابزار قدرتمندش به سراغمان می‌آید، و کمکمان می‌کند تا جمله‌هایی را اثبات یا رد کنیم که تا قبل از آن نمی‌توانستیم. چرا که ریاضی، توانایی شگرفی در اثبات کردن دارد.
مثلا به کمک توپولوژی، می‌توانیم اثبات کنیم که:
اگر دما و فشار هوا، روی سطح کره زمین به طور پیوسته(با همان تعریف پیوستگی که در توپولوژی به طور دقیق تعریف می‌شود) تغییر کند، حداقل یک نقطه روی سطح کره زمین وجود دارد، که نقطه متقاطر آن در نیم‌کره‌ی دیگر کره‌ی زمین، دقیقا همان دما و فشار را دارد!
این جمله، نتیجه قضیه مهمی در توپولوژی جبری است که به «قضیه بورسک اُلام» مشهور است.
جالب است که برای اثبات چنین جمله‌ای، فقط فرض پیوستگی تغییرات دما و فشار هوا، و فرض کروی شکل بودن زمین لازم است. یعنی این نتیجه به ویژگی‌های جغرافیایی و ... وابسته نیست!
در ادامه به بعضی از دیگر جملات جالبی که به کمک توپولوژی و توپولوژی جبری اثبات می‌شوند، اشاره‌ای خواهم کرد.
چون سر و کار توپولوژی با مفهوم مهمی مثل پیوستگی است، قابل درک است که این شاخه از ریاضی، کاربردهایی جدی و مهمی در علومی مثل فیزیک، مخصوصا کیهان‌شناسی دارد.
انگار همیشه همین‌طور بوده! انگار صدا زدن ریاضی، همیشه به کمک علم و تکنولوژی آمده. یادت نرود که اگر فیزیک، ریاضی را صدا نمی‌زد و از او کمک نمی‌خواست، اکنون هواپیمایی نبود که سفر‌های کیلومتری را راحت کند، و اینترنتی نبود که ارتباطات را تا این حد گسترش دهد. حداقل می‌توان گفت این پیشرفت‌ها به این سرعت بدست نمی‌آمد. یا حداقل‌تر(!) به نظر نمی‌آمد که این پیشرفت‌ها به این سرعت بدست بیاید!
پس تا اینجا فهمیدیم که کار توپولوژی، دقیق کردن مفهوم پیوستگی است. اما بیا ببینیم که توپولوژی چگونه این کار را انجام می‌دهد.
آن پیوستگی که ما می‌شناسیم، در جهانی رخ می‌دهد که ما در آن زندگی می‌کنیم. اما جهانی که ما در آن زندگی می‌کنیم کجاست؟! به عبارتی، اگر بخواهیم جهانمان را به طور ریاضی بیان کنیم، چه می‌گوییم؟! اینجاست که سر و کله‌ی مفاهیم هندسی پیدا می‌شود. تا جایی که برای هندسه و ریاضیات مهم باشد، جهان ما(دقیق‌تر: جهانِ مادیِ ما!)، مجموعه‌ای از اشکال هندسی است. مثلا یک کتاب، یک مکعب مستطیل است. یک توپ، یک کره است. یک قوطی رب، یک استوانه است و ... . در هندسه، دیگر کتاب بودن و توپ بودن و رب بودن مهم نیست. آن چیزی که مهم است، مکعب مستطیل بودن و کره بودن و استوانه بودن است. پس جهان ما به زبان ریاضی، یعنی مجموعه‌ای از همین اشکال هندسی. که همه این شکل‌های هندسی، در جایی زندگی می‌کنند که آن را جهان سه بعدی می‌نامیم. این جهان سه بعدی، جهان دو بعدی را هم در بر دارد. شاید بازی قارچ خور را دیده باشی. قارچ خور، در جهانی دو بعدی زندگی می‌کند. به عبارتی، جهان دو بعدی، جهان اشیائی است که در یک صفحه واقع‌اند. مثلا مستطیل، مربع، مثلث، دایره، خط، و ... در جهان دو بعدی زندگی می‌کنند. اما خب جهان ما یا همان جهان سه بعدی، جهان دو بعدی را هم در بر دارد. یا به قول معروف، چون که صد آمد نود هم پیش ماست! در مورد جهان یک بعدی، خودت بیندیش و تلاش کن تا بفهمی منظور از جهان یک بعدی چیست. همین‌طور درباره جهان صفر بعدی فکر کن. جهان ما، جهان یک بعدی و صفر بعدی را هم در بر دارد. به هر حال، جهان ما، جهان سه بعدی است.
برای چند لحظه، عینک هندسه را به چشمانت بزن، و نگاهی به دور و برت بینداز. دیگر کتاب و میز و دونات و فنجان قهوه و دیوار و تابلوی نقاشی نمی‌بینی. با این عینک، تنها چیزهایی که می‌بینی، مکعب و کره و چنبره (شکل هندسیِ دونات) و مستطیل و دایره و شکل‌های منظم و نامنظم هندسی است.
و آن پیوستگی که ما می‌فهمیم، و محل بحث ماست، همین پیوستگی است که در جهان سه بعدی رخ می‌دهد. مثلا سوالمان این است که حرکت یک مکعب مستطیل (جعبه‌ی یک اسباب بازی) پیوسته است یا نه؟! حرکت یک کره یا چیزی شبیه کره (سیب) پیوسته است یا نه؟ اصلا چرا بگوییم حرکت، کلی‌تر بگوییم! بگوییم تغییر! تغییرات یک مکعب، پیوسته است یا نه؟! تغییرات یک کره چطور؟! تغییرات یک دایره چطور؟! آیا همه تغییرات پیوسته‌اند؟! یا تغییرات ناپیوسته هم وجود دارد؟! اصلا معنای پیوستگیِ یک تغییر در جهان سه بعدی (جهان اشکال هندسی) چیست؟! و وقتی می‌گوییم تغییرات پیوسته، دقیقا منظورمان چیست؟!
قرار است که توپولوژی همه این سوال‌ها را جواب دهد. ابتدا مفهوم پیوستگی را به طور دقیق تعریف می‌کند، بعد برای ما اثبات می‌کند که یک تغییر تحت چه شرایطی یک تغییر پیوسته به شمار می‌رود. به کمک این ابزار، می‌تواند بررسی کند که یک تغییر مشخص، پیوسته است یا نه.
اما توپولوژی، گام را فراتر می‌گذارد و مفهوم پیوستگی را نه فقط برای این جهان سه بعدی که ما در آن زندگی می‌کنیم، بلکه برای بینهایت جهانِ دیگر تعریف می‌کند! که البته کار ما را راه می‌اندازد، اما کار موجودات دیگر در جهان‌های دیگر را هم راه می‌اندازد! می‌دانی مثل چه می‌ماند؟! فرض کن که من و تو برای زندگی کردن محتاج یک خانه‌ایم و اگر یک خانه به ما بدهند، تا آخر عمر می‌توانیم در آن خانه زندگی کنیم و خلاصه کارمان راه می‌افتد. برای اینکه به این خانه برسیم، آقا یا خانومِ (هر طور تو دوست داری!) توپولوژی را صدا می‌زنیم. می‌گوییم ما برای زندگی به یک خانه نیاز داریم و همین یک خانه ما را بس است. توپولوژی، قبول می‌کند و می‌گوید خانه را برایتان می‌سازم. چند روز بعد می‌آییم و می‌بینیم، نه تنها توپولوژی برایمان یک واحد خانه ساخته، بلکه بالای آن خانه هزار طبقه خانه ساخته، و به این هم اکتفا نکرده، در کنار خانه ما، هزار خانه دیگر ساخته، و به این‌ها هم اکتفا نکرده، هزار شهر و هزار کشور ساخته، و باز هم قانع نشده، هزار جهان مختلف ساخته است!! (اگر به جای این «هزار»ها، «بینهایت» بگذاری، این مثال، مثال دقیق‌تری خواهد شد!)
و واقعا هم توپولوژی همینگونه رفتار می‌کند. ما پیوستگی را فقط در جهان خودمان، یعنی جهان سه بعدی درک می‌کنیم. و لازم داریم که پیوستگی فقط در همین جهان دقیق شود. و توپولوژی را صدا می‌زنیم و می‌گوییم بیا مفهوم پیوستگی را در این جهان سه بعدی دقیق کن. توپولوژی قبول می‌کند. اما بعداً می‌بینیم که توپولوژی علاوه بر اینکه مفهوم پیوستگی را برای جهان سه بعدی تعریف کرده، مفهوم پیوستگی را برای جهان‌های چهار بعدی و پنج بعدی و هزاربعدی و صدهزاربعدی و ... تعریف کرده، و اصلا آمده و مفهوم پیوستگی را در بینهایت جهان دیگر (غیر از جهان‌های دارای بُعد) تعریف کرده است. اگر بخواهم دقیق‌تر بگویم، توپولوژی پیوستگی را در کلی‌ترین حالت ممکن تعریف می‌کند، که این تعریف کلی برای جهان سه بعدی ما هم کار می‌کند. یعنی کار پیوستگی در جهان ما، با تعریفی که توپولوژی ارائه می‌دهد، راه می‌افتد. اما خب پیوستگی، در بینهایت جهان دیگر هم که ربطی به جهان ما ندارند، توسط توپولوژی جان (!) تعریف شده است! و با دقت هم تعریف شده است! شاید فکر کنی این حجم از کلیت بی‌فایده است، اما تاریخ نشان داده که این جهان‌های کلی، حداقل تعدادی از آن‌ها، به مرور کاربردهای خودشان را در روزمرگی‌های ما پیدا می‌کنند!
اینکه تعریف دقیق پیوستگی که توپولوژی آن را ارائه می‌دهد چیست، سوالی است که قصد ندارم در این نامه به آن بپردازم. چون بحث را بیش از اندازه تخصصی می‌کند. صرفا می‌خواهم ایده‌ها را بگویم، و درک شهودی تو را نسبت به مسائل توپولوژیک بالا ببرم.
در ابتدا، درکی از مفهوم پیوستگی پیدا کردیم اما تعریف دقیقی از آن نداشتیم. در ادامه فهمیدیم که توپولوژی مفهوم پیوستگی را با دقت ریاضی تعریف می‌کند و این تعریف آنقدر کلی است که نه تنها نیاز ما و جهان ما را برآورده می‌کند، بلکه نیازهای موجودات دیگر در جهان‌های دیگر را هم برطرف می‌سازد. اکنون بیا درباره مسائل مهمی که در توپولوژی مطرح می‌شود با هم حرف بزنیم. شاید این جمله معروف را تا کنون شنیده باشی:
«توپولوژی‌دان کسی است که بین فنجان قهوه و دونات، تفاوتی نمی‌بیند!»
در این قسمت از نامه، تمام هدفم این است که همین یک جمله را توضیح دهم و بگویم منظور این جمله‌ی عجیب و غریب چیست. اتفاقا فهمیدن همین یک جمله برای فهمیدن توپولوژی اهمیت زیادی دارد؛ درک این جمله، یعنی رسیدن به مغزِ توپولوژی. و ادامه نامه، روی معنای همین جمله سوار شده است! پس چشم و دلت را عمیقاً به من بسپار تا ابزار فهم این جمله را به تو هدیه کنم.
یادت هست گفتم توپولوژی مفهوم پیوستگی را در کلی‌ترین حالت ممکن تعریف می‌کند؟! اما توپولوژی چگونه این کار را انجام می‌دهد؟
توپولوژی، به جهان‌های مختلف ریاضی (لازم نیست تعریف دقیق یک جهان ریاضی را بدانی، فقط تصورت این باشد که جهان ریاضی، یعنی جهانی در دنیای ریاضیات!) یک ساختارِ خاص نسبت می‌دهد. به این ساختار، ساختار توپولوژیک می‌گویند. برای روشن شدن این جملات، به این مثال دقت کن:
فرض کن که در یک کشور، بعضی شهرها را به ساختار شهرِ بازی مجهز کرده‌اند، بعضی شهرها را نه. به عبارتی در بعضی شهرها شهر بازی ساخته‌اند، در بعضی نه. ما در مورد آن شهرهایی که شهر بازی دارند، می‌توانیم جملات معناداری بگوییم و سوالات معناداری بپرسیم که در مورد شهرهای دیگر گفتن این جملات و پرسیدن این سوالات، معنادار نیست. مثلا فرض کن شهر X، از آن شهرهایی باشد که ساختار شهر بازی دارد. این سوالات منطقی است:
آیا شهربازیِ شهر X، چرخ و فلک دارد؟
شهربازیِ شهر X، چند چرخ و فلک دارد؟
ظرفیت چرخ و فلک شهربازیِ شهر X، چند نفر است؟
آیا شهربازیِ شهر X، قطار وحشت دارد؟
شهربازیِ شهر X، چند قطار وحشت دارد؟
ظرفیت قطار وحشت شهربازیِ شهر X، چند نفر است؟
و ...
فرض کنید شهر Y، از آن شهرهایی باشد که ساختار شهر بازی ندارد. هیچ کدام از سوالات بالا، در مورد شهر Y معنادار نیست. اگر نگوییم معنادار نیست، حداقل کاملا بی‌اهمیت است. چون شهر Y اصلا شهر بازی ندارد.
حالا فرض کن شهر X و شهر Z، هر دو ساختار شهربازی داشته باشند. در این صورت می‌گوییم این دو شهر از دید شهر بازی هیچ تفاوتی ندارند، هرگاه هر وسیله بازی که در شهر بازی شهر X وجود داشته باشد، در شهر بازی شهر Z نیز وجود داشته باشد و برعکس؛ یعنی هر وسیله بازی که در شهر بازی شهر Z وجود داشته باشد، در شهر بازی شهر X هم وجود داشته باشد.
مثلا فرض کن که شهر بازی شهر X دو چرخ و فلک دارد که هر کدام چهل جایگاه دارد. فرض کن شهر بازی شهر Z هم دو چرخ و فلک داشته باشد که هر کدام چهل جایگاه دارد. فرض کن شهر بازی شهر X یک قطار وحشت داشته باشد که هفتاد صندلی دارد. فرض کن شهر بازی شهر Z هم یک قطار وحشت داشته باشد که هفتاد صندلی دارد. خلاصه فرض کن هر وسیله‌ای که شهر بازی شهر X دارد، شهر بازی شهر Z هم همان وسیله را با همان ویژگی‌ها دارد و برعکس. در این صورت می‌گوییم شهر X و شهر Z از دید شهر بازی هیچ تفاوتی با هم ندارند. اگر اینطور می‌بود که مثلا شهر بازی شهر X دو چرخ و فلک داشت و شهر بازی شهر Z یک چرخ و فلک، می‌گفتیم شهر X و شهر Z از دید شهربازی با هم فرق دارند.
اکنون فرض کن عینکی وجود داشته باشد به نام عینک شهر بازی. هرگاه آن عینک را به چشم بزنی، هیچ چیزی جز شهر بازی نمی‌بینی. پس بعضی شهرها را کلا نمی‌بینی چون اصلا شهر بازی ندارند. بعضی شهرها گرچه شهرهایی بسیار متفاوتند، آن‌ها را دقیقا یکسان می‌بینی چون از دید شهربازی هیچ تفاوتی ندارند و به عبارتی ساختار شهربازی هایشان یکسان است. بعضی شهرها گرچه بسیار به هم شبیه‌اند، آن‌ها را متفاوت می‌بینی چون ساختار شهر بازی‌هایشان با هم متفاوت است (مثلا یکی چرخ و فلک دارد و دیگری ندارد).
حالا بیا این مثال را عیناً در مورد جهان‌های ریاضی پیاده کنیم. جهان‌های ریاضی مختلفی وجود دارد. به برخی از آن‌ها، ساختار توپولوژیک می‌دهیم. ما در مورد آن جهان‌هایی که ساختار توپولوژیک دارند، می‌توانیم جملات معناداری بگوییم و سوالات معناداری بپرسیم که در مورد جهان‌های دیگر گفتن این جملات و پرسیدن این سوالات، معنادار نیست. مثلا فرض کن جهان X، از آن جهان‌هایی باشد که ساختار توپولوژیک دارد. این سوالات منطقی است:
آیا جهان X فشرده است؟
آیا جهان X همبند است؟
جهان X چند مولفه همبندی دارد؟
آیا جهان X همبندِ راهی است؟
جهان X چند مولفه‌ی همبندی راهی دارد؟
و ...
برای فهمیدن ادامه نامه، لازم نیست تعریف دقیق این مفاهیم را بدانی؛ فقط این را بدان که مفهوم فشردگی، همبندی، همبندی راهی، مولفه‌های همبندی، مولفه‌های همبندی راهی و ... مفاهیمی توپولوژیک هستند که فقط در مورد جهان‌هایی مطرح می‌شوند که ساختار توپولوژیک داشته باشند. درست مثل مفاهیمی مثل چرخ و فلک و قطار وحشت که فقط در مورد شهرهایی مطرح می‌شوند که ساختار شهربازی داشته باشند.
(از تو می‌خواهم که در مثال مناقشه نکنی!)
فرض کن جهان Y، از آن جهان‌هایی باشد که ساختار توپولوژیک ندارد. هیچ کدام از سوالات بالا، در مورد جهان Y معنادار نیست. چون جهان Y اصلا ساختار توپولوژیک ندارد.
حالا فرض کن جهان X و جهان Y، هر دو ساختار توپولوژیک داشته باشند. در این صورت می‌گوییم این دو جهان از دید توپولوژی هیچ تفاوتی ندارند، هرگاه هر ویژگی توپولوژیک که جهان X آن را دارد، جهان Y نیز آن را داشته باشد و برعکس؛ یعنی هر ویژگی توپولوژیک که جهان Y آن را دارد، جهان X نیز آن را داشته باشد.
مثلا فرض کن که جهان X فشرده است و همبند نیست. فرض کن جهان Y نیز فشرده باشد و همبند نباشد. فرض کن جهان X پنج مولفه همبندی داشته باشد. فرض کن جهان Y هم پنج مولفه همبندی داشته باشد. خلاصه فرض کن هر ویژگی توپولوژیک که جهان X دارد، جهان Y هم همان ویژگی را داشته باشد و برعکس. در این صورت می‌گوییم جهان X و جهان Y از دید توپولوژی هیچ تفاوتی با هم ندارند. اگر اینطور بود که مثلا جهان X فشرده باشد اما جهان Y فشرده نباشد، می‌گفتیم این دو جهان از دید توپولوژی با هم متفاوتند.
اکنون فرض کن عینکی وجود داشته باشد به نام عینک توپولوژی. هرگاه آن عینک را به چشم بزنی، هیچ چیزی جز ویژگی‌های توپولوژیک نمی‌بینی. پس بعضی جهان‌ها را کلا نمی‌بینی چون اصلا ساختار توپولوژیک ندارند. بعضی جهان‌ها گرچه جهان‌هایی بسیار متفاوتند، آن‌ها را دقیقا یکسان می‌بینی چون از دید توپولوژی هیچ تفاوتی ندارند؛ به عبارتی هر ویژگی توپولوژیک که یکی از این دو جهان دارد دیگری هم دارد. بعضی جهان‌ها گرچه بسیار به هم شبیه‌اند، آن‌ها را متفاوت می‌بینی چون از دید توپولوژی با هم متفاوتند(مثلا یکی فشرده است و دیگری فشرده نیست).
اکنون می‌توانی آن جمله معروف را درک کنی:
«توپولوژی‌دان کسی است که بین فنجان قهوه و دونات، تفاوتی نمی‌بیند!»
در اینجا، منظور از توپولوژی‌دان کسی است که همواره عینک توپولوژی به چشم دارد. او بین فنجان قهوه و دونات، هیچ تفاوتی نمی‌بیند، چون این دو شکل هندسی (شکل هندسی فنجان قهوه و شکل هندسی دونات) اولا هر کدام جهان‌هایی هستند که ساختار توپولوژیک دارند. ثانیا گرچه جهان‌هایی بسیار متفاوتند اما از دید توپولوژی هیچ تفاوتی با هم ندارند! چرا که هر ویژگی توپولوژیک که فنجان قهوه دارد، دونات هم دارد و برعکس. فنجان قهوه فشرده است، دونات هم فشرده است. فنجان قهوه همبند راهی است، دونات هم همبند راهی است و ... .
این هم از درک آن جمله معروف! حالا شاید برایت سوال پیش آمده باشد که چرا ویژگی‌های توپولوژیک فنجان قهوه و دونات دقیقا مثل هم است؟ و اصلا از کجا می‌شود این را فهمید؟ از کجا فهمیدند که فنجان قهوه و دونات از دید توپولوژی هیچ تفاوتی با هم ندارند؟ و اصلا وقتی دو جهان از دید توپولوژی مثل هم باشند، چه معنایی دارد؟! اکنون جواب جالبی به این سوال‌ها می‌دهم.
اما قبل از آن بیا برای خلاصه نویسی قراردادی را به طور ذهنی امضا کنیم:
هرگاه دو جهان از دید توپولوژی تفاوتی نداشته باشند، این دو جهان را «همسان ریخت» می‌گوییم.
انگار وقتی دو جهان از دید توپولوژی تفاوتی نداشته باشند، ریختشان همسان است! به طور خلاصه، به آن‌ها همسان ریخت می‌گوییم. مثلا فنجان قهوه و دونات، چون از دید توپولوژی هیچ تفاوتی با هم ندارند، و همه ویژگی‌های توپولوژیک آن دو مثل هم است، پس همسان ریخت هستند.
اما چه زمانی دو جهانِ توپولوژیک (وقتی می‌گویم جهان توپولوژیک، منظورم جهانی است که ساختار توپولوژیک دارد) با هم همسان ریخت هستند؟
یک ایده شهودی ساده و جالب برای جواب دادن به این سوال وجود دارد. قبل از آنکه این ایده را بگویم، اجازه بده برای اینکه با جهان‌های توپولوژیک، بیشتر آشنا شوی، چند تا از جهان‌های توپولوژیک را به تو نشان دهم.
جهان سه بعدی خودمان (جهان همه اشکال هندسی) یک ساختار توپولوژیک دارد. پس جهان سه بعدی، یک جهان توپولوژیک است. به علاوه، هر قسمت از این جهان، خودش یک جهان توپولوژیک است! مثلا کره‌ی زمین را در نظر بگیر. کره‌ی زمین، قسمت کوچکی از جهان سه بعدی است. پس یک جهان توپولوژیک است. همان طور که در این مثال دیدی، ممکن است یک جهان توپولوژیک درون جهان توپولوژیک دیگری قرار داشته باشد. به عنوان مثالی دیگر، کره‌ی ماه نیز چون قسمتی از جهان سه بعدی است، یک جهان توپولوژیک است. فنجان قهوه نیز چون قسمتی از جهان سه بعدی است، یک جهان توپولوژیک است. همین‌طور دونات، پرتقال، صندلی، تلویزیون و ... همگی جهانی توپولوژیک هستند؛ چرا که قسمتی از جهان سه بعدی به حساب می‌آیند. البته همان‌طور که قبلاً گفتم، در ریاضیات، پرتقال بودن اهمیت ندارد. بلکه شکل هندسی پرتقال مهم است. پس دقیق‌تر این است که بگویم:
شکل هندسی کره زمین، شکل هندسی کره ماه، شکل هندسی دونات، شکل هندسی پرتقال، شکل هندسی صندلی، شکل هندسی تلویزیون و ... جهان‌هایی توپولوژیک هستند. به عبارتی، کره، مکعب، مکعب مستطیل، هِرم، مخروط، ترکیب مکعب و هرم، ترکیب کره و مخروط و حتی شکل‌های هندسی نامنظمی که اسم خاصی ندارند، همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند.
همین طور دایره، مستطیل، مثلث، لوزی و ... همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند. چرا که قسمتی از جهان سه بعدی هستند. (درست است که دو بعدی‌اند، اما هر شکل دو بعدی، یک شکل سه بعدی هم به شمار می‌رود)
همین‌طور کره‌ی توپُر، مکعب توپر، هرم توپر و ... همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند.
و نیز دایرهی توپر، مستطیل توپر، مثلث توپر و ... همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند.
همین‌طور خط، پاره‌خط، نیم خط، نقطه و ... همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند.
به طور کلی، خود جهان سه بعدی جهانی توپولوژیک است، و هر قسمتی از جهان سه بعدی، یک جهان توپولوژیک است؛ به عبارتی، هر شیئی در جهان سه بعدی که در نظر بگیری، چه بخواهد صفر بعدی باشد(مثل نقطه)، چه بخواهد یک بعدی باشد(مثل پاره خط)، چه بخواهد دو بعدی باشد(مثل دایره یا دایرهی توپُر)، چه بخواهد سه بعدی باشد(مثل کره یا کره‌ی توپُر) یک جهان توپولوژیک است.
پس با گستره‌ی بسیار زیادی از جهان‌های توپولوژیک آشنا شدی. اتفاقا بحث ما در این نامه، در ارتباط با همین جهان‌های توپولوژیکی است که در جهان سه بعدی خودمان حضور دارند. در این نامه به جهان‌های توپولوژیک چهار بعدی و پنج بعدی و پانصد بعدی و ... کاری ندارم و قصد ندارم از آن‌ها سخن بگویم. همین‌طور با جهان‌های توپولوژیک دیگری که دارای بُعد نیستند هم کاری ندارم. اگر می‌خواهی در مورد آن‌ها اطلاعات پیدا کنی، خوب است به کتاب‌های مربوط به توپولوژی سری بزنی. بنابراین از اینجای نامه به بعد، هر زمان که گفتم جهان توپولوژیک، منظورم یا خود جهان سه بعدی است، یا منظورم جهانی است که در قسمتی از جهان سه بعدی قرار دارد(مثل پاره خط، دایرهی توپُر، مکعب و ...).
برگردیم به سوال مهمی که پرسیده بودیم:
چه زمانی مطمئن می‌شویم دو جهان توپولوژیک با هم همسان ریخت هستند؟
به عبارتی:
چه زمانی مطمئن می‌شویم دو جهان توپولوژیک از دید توپولوژی تفاوتی با هم ندارند؟
به بیان معادل:
چه زمانی مطمئن می‌شویم همه ویژگی‌های توپولوژیک دو جهان توپولوژیک با هم یکسان است؟
جواب سوال بالا این است:
«دو جهان توپولوژیک زمانی با هم همسان ریخت هستند، که بتوان هر یک از آن‌ها را به طور پیوسته تغییر داد و به دیگری تبدیل کرد»
اما منظور از تغییر پیوسته چیست؟ این تغییر پیوسته، در علم توپولوژی، به شکلی دقیق و ریاضی‌گونه تعریف می‌شود. اما در اینجا، چون قصد ندارم به طور تخصصی وارد مباحث توپولوژی شوم، از ارائه تعریف دقیق پیوستگی به تو، خودداری می‌کنم. فقط این را بدان، که همه این بحث‌های شهودی که مطرح کرده‌ام، و باز هم مطرح خواهم کرد، پشتوانه‌ای بیش از اندازه دقیق دارند! پس خیالت از بابت دقت راحت باشد.
خب، حال که نمی‌خواهم تعریف دقیق تغییر پیوسته را بگویم، حداقل لازم است تا تعبیری شهودی و ملموس از از آن ارائه دهم. خوشبختانه، چنین تعبیری وجود دارد.
به طور شهودی، تغییر پیوسته یعنی: کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن! اما برش دادن تغییر پیوسته نیست. چسباندن هم همین‌طور. در واقع تغییر پیوسته، تغییری است که در آن، نقاطی از شکل که به هم نزدیک‌اند، در انتهای تغییر نزدیک به هم باقی می‌مانند، و نقاطی از شکل که از هم دورند، در انتهای تغییر از هم دور باقی می‌مانند. برای همین است که کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن تغییر پیوسته است(زیرا در انتهای اینگونه تغییرات، نقاط نزدیک، نزدیک به هم باقی می‌مانند و نقاط دور، دور از هم). اما چسباندن و بریدن تغییر پیوسته نیست(زیرا در بریدن، نقاط نزدیک از هم دور می‌شوند و با چسباندن، نقاط دور به هم نزدیک!). همان‌طور که گفتم، این تعبیرِ شهودی تغییر پیوسته است؛ وگرنه مفاهیم دوری و نزدیکی به طور دقیق در توپولوژی تعریف می‌شوند.
به قلب مطلب رسیدیم! اجازه بده چند مثال دم دستی و جالب را با هم بررسی کنیم. اگر دیده باشی، گاهی بسته‌های اسکناس را با کشی می‌بندند. همان کش‌هایی که گاهی کودکان (گاهی هم بزرگسالان!) با آن شوخی کرده و از خاصیت کشسانی آن استفاده می‌کنند و آن را به سر و صورت هم شلیک می‌کنند! یکی از آن کش‌ها را در نظر بگیر. اگر در دسترست هست، یکی را بردار. تو می‌توانی بدون اینکه این کش را پاره کنی، آن را ببُری یا قطعاتی از آن را به هم بچسبانی، بلکه فقط با کشیده کردن آن، مثلث درست کنی، مربع درست کنی، مستطیل درست کنی، اگر انگشت‌های بیشتری داشتی، می‌توانستی پنج ضلعی درست کنی! یا ده ضلعی، یا هزار ضلعی! حتی اگر ابزارش را داشتی، می‌توانستی آن کش را با کشیدن‌های مناسب به دایره تبدیل کنی، به بیضی تبدیل کنی و ... . بنابراین، مثلا مستطیل و مثلث، با تغییر پیوسته به هم تبدیل می‌شوند! یعنی اگر یک مستطیل داشته باشی، می‌توانی آن را به طور پیوسته تغییر دهی و به مثلث تبدیل کنی و برعکس؛ یعنی اگر یک مثلث داشته باشی، می‌توانی آن را به طور پیوسته تغییر دهی و به مستطیل تبدیل کنی. در نتیجه، مستطیل و مثلث، دو جهان توپولوژیکِ همسان ریخت هستند. پس اگر عینک توپولوژی بزنی، تفاوتی بین مثلث و مستطیل نمی‌بینی! به عبارتی، مثلث و مستطیل را یک چیز می‌بینی! نه تنها مثلث و مستطیل را یک چیز می‌بینی، بلکه دایره، مربع، بیضی، متوازی الاضلاع، پنج ضلعی، لوزی، ذوزنقه، ده ضلعی، هفتاد ضلعی، هزار ضلعی و ... همه را یک چیز می‌بینی. به عبارتی، هر خمِ بسته را یک چیز می‌بینی. (برای اینکه بدانی خم بسته چیست، قلم و کاغذی بردار، یک نقطه روی کاغذ مشخص کن، با قلم از آن نقطه روی کاغذ شروع کن به حرکت کردن، و بدون آنکه قلم را از روی کاغذ برداری، و بدون آنکه مسیر طی شده را قطع کنی، به همان نقطه برگرد. اکنون به شکلی که کشیدی نگاه کن. این شکل، یک خمِ بسته است؛ مثل مثلث و دایره و ...)
چرا که با همان کش، می‌توانی هر یک از این اشکال را به طور پیوسته (یعنی با اعمال کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن) تغییر دهی و به دیگری تبدیل کنی. به عبارت دیگر، همه‌ی این اشکال هندسی با یکدیگر همسان ریخت هستند و تمام ویژگی‌های توپولوژیک آن‌ها مثل هم است و عینک توپولوژی، هیچ تفاوتی بین آن‌ها نمی‌گذارد و آن‌ها را از هم متمایز نمی‌کند.
پس اکنون بینهایت مثال از جهان‌های توپولوژیک می‌شناسی که با یکدیگر همسان ریخت هستند.
برگردیم به آن دو شکل معروف! دونات و فنجان قهوه! چرا توپولوژی‌دان تفاوتی بین دونات و فنجان قهوه نمی‌بیند؟ چون شکل هندسی دونات و شکل هندسی فنجان قهوه همسان ریخت هستند. یعنی می‌توانی دونات را با تغییر پیوسته به فنجان قهوه تبدیل کنی و برعکس!
بیا تلاش کنیم ببینیم چگونه می‌توان چنین کاری را انجام داد. فرض کن یک اسباب بازی به شکل دونات در اختیار داری، که بسیار منعطف و ارتجاعی (اِلاستیکی) است. منظورم این است که این اسباب بازی را می‌توانی به راحتی کش دهی، پیچش دهی، خم کنی یا مچاله کنی. اکنون سعی کن با استفاده از همین چهار عملِ پیوسته، آن اسباب بازی را به یک فنجان قهوه تبدیل کنی! دقت کن که نباید چیزی را بُرش دهی، یا چیزی را به چیزی بچسبانی. چون برش دادن و چسباندن اعمالی پیوسته نیست.
کمی فکر کن.
چه شد؟ توانستی؟! این کار، شدنی است! نکته اصلی این است، که آن حفره‌ی وسط دونات، همان دسته‌ی فنجانِ قهوه است. همین طور می‌توان فنجان قهوه را با همین اعمال پیوسته به دونات تبدیل کرد.
اگر کنجکاو بودی می‌توانی با جستجوی ساده‌ای در اینترنت، انیمیشن‌های این تبدیل را ببینی.
بنابراین، فنجان قهوه و دونات، دو جهان توپولوژیک همسان ریخت هستند و تمام ویژگی‌های توپولوژیک آن‌ها با هم یکسان است. پس عینک توپولوژی، بین این دو شکل، هیچ فرقی نمی‌گذارد.
فکر می‌کنم اکنون مفهوم همسان ریختی را به خوبی درک کرده باشی. خلاصه برای اینکه ببینی دو جهان توپولوژیک همسان ریخت هستند، ببین می‌توانی هر یک از آن‌ها را فقط با تغییر پیوسته (یعنی با اعمال کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن، نه برش دادن یا چسباندن) به دیگری تبدیل کنی یا نه. اگر توانستی، آن دو جهان توپولوژیک همسان ریخت هستند. اما اگر امکان نداشته باشد یکی از آن دو جهان توپولوژیک را با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل کرد، آن دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند. دقت کن! نگفتم «اگر نتوانستی»، گفتم «اگر امکان نداشته باشد»! بین این دو، تفاوت از زمین تا آسمان است!
برای اینکه جهان‌های همسان ریختِ بیشتری را بشناسی، چند مثال دیگر می‌زنم. سعی کن خودت را قانع کنی که هر کدام از مثال‌هایی که معرفی می‌کنم با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل می‌شوند:
مثلث توپُر، مستطیل توپر، دایرهی توپر و لوزی توپر با هم همسان ریخت هستند. و به طور کلی هر دو خمِ بسته‌ی توپر با هم همسان ریخت هستند.
کُره، مکعب، مکعب مستطیل، مخروط، هرم و استوانه با هم همسان ریخت هستند. و به طور کلی هر دو سطحِ بسته با هم همسان ریخت هستند.
کره‌ی توپُر، مکعب توپر، مکعب مستطیل توپر، مخروط توپر، هرم توپر و استوانه توپر با هم همسان ریخت هستند. و به طور کلی هر دو سطحِ بسته‌ی توپر با هم همسان ریخت هستند.
پاره خط مستقیم و پاره خطِ کج و کوله(!) با یکدیگر همسان ریخت هستند!
شکل هندسی دونات و شکل هندسی فنجان قهوه نیز با یکدیگر همسان ریخت هستند!
باید یک نکته مهم را همینجا به تو بگویم. این اعمال پیوسته، یعنی کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن، ممکن است اندازه‌ها را تغییر دهد. مثلا با همان کش پول، می‌توانی یک مستطیل کوچک درست کنی، و یک مستطیل بزرگتر از آن. پس مستطیل‌های کوچک و مستطیل‌های بزرگ با هم همسان ریخت هستند. به عبارتی، همه‌ی مستطیل‌ها با هم همسان ریخت هستند. مهم نیست که اندازه آن‌ها چقدر باشد. اکنون شاید اینگونه ایراد بگیری: «من که نمی‌توانم با آن کش پول، یک مستطیل به اندازه کشور فرانسه درست کنم»! آری! نمی‌شود با آن کش پول در واقعیت چنین کرد. اما در توپولوژی می‌شود! تو باید این کش را به گونه‌ای تصور کنی که قابلیت این را داشته باشد تا بینهایت کش بیاید! پس می‌توانی مستطیل کوچکی را، به مستطیلی تبدیل کنی به بزرگی کشور فرانسه! به عبارت دیگر، توپولوژی به اندازه‌ها اهمیت نمی‌دهد. یک نخود، با کره‌ی زمین همسان ریخت است! یعنی اگر عینک توپولوژی بزنی، تفاوت نخود و کره زمین را نخواهی فهمید! حتی فراتر از آن، این نخود با کلِ جهانِ سه بعدی همسان ریخت است! چون می‌توان این نخود را آن قدر کش داد (اگر فرض کنیم جهان سه بعدی که ما در آن زندگی می‌کنیم بینهایت است، باید این نخود را بینهایت کش داد) که به کل جهان سه بعدی تبدیل شود. پس فقط با کش دادن، که یک تغییر پیوسته است، نخود را به کل جهان سه بعدی تبدیل کردیم(آیا نظریه انفجار بزرگ یا همان Big Bang برایت تداعی نشد؟!). همین طور کل جهان سه بعدی را می‌توان آنقدر فشرد و مچاله کرد که به نخود تبدیل شود. پس فقط با مچاله کردن که یک تغییر پیوسته است، کل جهان سه بعدی را به نخود تبدیل کردیم. از این‌ها نتیجه می‌گیریم که یک کُره‌ی کوچکِ توپُر، با کل جهان سه بعدی همسان ریخت است. البته این تعبیر شهودیِ ماجرا است. وگرنه، می‌توان این کش دادن و مچاله کردن و تبدیل نخود به کل جهان و برعکس را، با معادلات ریاضی به طور دقیق اثبات کرد. پس یادت باشد، وقتی عینک توپولوژی را به چشم بزنی، دیگر طول و اندازه و مساحت و حجم و ... برایت بیگانه می‌شوند. تفاوت اصلی توپولوژی و هندسه در همین نکته نهفته است. هندسه به فاصله‌ها و اندازه‌ها احترام می‌گذارد، اما توپولوژی آن‌ها را آدم حساب نمی‌کند!
چه احساسی داری؟! تازه داریم به معمای اصلی داستان نزدیک می‌شویم؛ هنوز حرفی از توپولوژی جبری به میان نیامده! کمی دیگر برویم، کوهِ توپولوژی جبری پدیدار می‌شود. پس همراه من بیا!
شاید گمان کنی که دیگر جهان‌های توپولوژیک سه بعدی را می‌شناسی! اما جهان‌های توپولوژیک سه بعدی به همین مثال‌هایی که تا اینجا زدیم ختم نمی‌شوند. مثلا شکل هندسی عینک، شکل هندسی شلوار، شکل هندسی مانتو، شکل هندسیِ کُت، شکل هندسی صندلی، شکل هندسی دو تا دوناتِ به هم چسبیده (همان دونات که به جای یک حفره، دو حفره داشته باشد) این‌ها همه مثال‌هایی از جهان‌های توپولوژیک سه بعدی هستند. بینهایت مثال دیگر هم وجود دارد.
پس درست است که تو اکنون بینهایت جهان توپولوژیک را می‌شناسی که با یکدیگر همسان ریخت باشند، اما بینهایت جهان توپولوژیک هست که از آن‌ها بی‌خبری، و نمی‌دانی با چه جهان‌هایی همسان ریخت هستند.
خب! تا اینجا، مثال‌هایی از دو جهان توپولوژیک معرفی کردیم که همسان ریخت باشند. اما شاید به دنبال مثالی از دو جهان توپولوژیک باشی که با یکدیگر همسان ریخت نیستند.
بیا اندیشه کنیم. به نظر تو، آیا توپ فوتبال با دونات همسان ریخت است یا نه؟ به عبارتی، آیا کره‌ی توپر (همان توپ فوتبال به زبان هندسی) با چنبره‌ی توپُر (همان دونات به زبان هندسی) همسان ریخت است؟ همان اسباب بازیِ منعطف و ارتجاعی را که شکلی شبیه دونات داشت در نظر بگیر. ببین می‌توانی آن را با اعمال پیوسته تغییر دهی تا به توپ تبدیل شود؟! تا جایی که می‌توانی، و هر چقدر که دلت می‌خواهد، آن را بکِش، بپیچ، خم کن و مچاله کن. فقط حواست باشد که این وسط چیزی را نبُری و چیزی را به چیزی نچسبانی. آیا می‌توانی این دونات را به توپ تبدیل کنی؟ خوب فکر کن!
چه شد؟! توانستی؟ من نمی‌توانم. اما آیا منطقی است از اینکه من نتوانستم چنین کاری را انجام دهم، نتیجه بگیرم که چنین کاری ممکن نیست؟! معلوم است که نه! من تا الان که تلاش کردم، نتوانستم. شاید اگر بیشتر تلاش کنم بشود! اصلا به فرض که محال است «من» بتوانم. از کجا معلوم که «تو» هم نمی‌توانی؟! شاید تو توانستی. اصلا به فرض که هیچ انسانی نمی‌تواند. از کجا معلوم که ممکن نیست؟! شاید ممکن باشد، اما از عهده انسان خارج! پس از اینکه هر چه تلاش کردیم نتوانستیم با تغییرات پیوسته، دونات را به توپ تبدیل کنیم، تنها نتیجه‌ای که منطقا بدست می‌آید این است که:
«فعلا نمی‌دانیم دونات و توپ همسان ریخت هستند یا نه»!
دیدی! جواب مسأله به سادگی دیده نمی‌شود!
پس از کجا بفهمیم دونات و توپ همسان ریخت هستند یا نه؟!
شاید بگویی: «خب معلوم است که دونات و توپ همسان ریخت نیستند! دونات کجا، توپ کجا»!
اما خب ما دیدیم که دونات و فنجان قهوه با هم همسان ریخت بودند! دونات کجا، فنجان قهوه کجا! اما به هر حال همسان ریخت هستند!
پس، از اینکه دو شکل ظاهراً فرق دارند، نمی‌توان نتیجه گرفت که همسان ریخت نیستند.
شاید بگویی: «دونات و فنجان قهوه هر دو یک حفره دارند. پس همسان ریخت بودن آن‌ها خیلی دور از انتظار نیست. اما دونات یک حفره دارد و توپ هیچ حفره‌ای ندارد. پس دونات و توپ همسان ریخت نیستند»
اگر این را بگویی، می‌پرسم: «از کجا معلوم که اگر تعداد حفره‌های دو شکل با هم فرق کند، آن دو شکل با هم همسان ریخت نیستند؟! کسی چه می‌داند! شاید تعداد حفره‌های دو شکل با هم متفاوت باشد، اما بتوان هر یک را با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل کرد»
پس باز هم نشد! چه کنیم؟!!
بیا از یک زاویه دیگر به مسأله نگاه کنیم. دانستیم که اگر دو جهان توپولوژیک همسان ریخت باشند، همه‌ی ویژگی‌های توپولوژیک آن‌ها یکسان است. پس اگر آن دو جهان، فقط یک ویژگی توپولوژیک متفاوت داشته باشند، همسان ریخت نیستند. پس یک راه خوب بدست آمد! برای اینکه نتیجه بگیریم دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند، کافی است فقط یک ویژگی توپولوژیک در یکی پیدا کنیم که در دیگری نباشد. کافی است یک وسیله‌ی بازی در شهر بازیِ یکی پیدا کنیم که در شهرِ بازی دیگری نباشد!
پس بیا بگردیم! بگردیم ببینیم آیا می‌توانیم یک ویژگی توپولوژیک پیدا کنیم که در دونات باشد و در توپ نباشد؟! یا در توپ باشد و در دونات نباشد؟!
اما ویژگی‌های توپولوژیک چه ویژگی‌هایی هستند؟!
فشردگی، همبندی، همبندیِ راهی و ... از جمله ویژگی‌های معروف توپولوژیک به شمار می‌روند. در این نامه، آن‌ها را تعریف نکرده‌ام، و قصد هم ندارم تعریف کنم. فقط این را بدان، که دونات فشرده است، توپ هم فشرده است. دونات همبند و همبند راهی است، توپ نیز همبند و همبند راهی است. خلاصه، هر ویژگی توپولوژیک شناخته شده‌ای که توپ آن را داراست، دونات هم آن را داراست و برعکس. پس باز هم نتوانستیم بفهمیم که دونات و توپ همسان ریخت هستند یا نه.
برای فهمیدن اینکه دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند، غیر از این راهی که اکنون گفتم، کلک‌های دیگری هم وجود دارد. اما خب در مورد توپ و دونات هیچ یک از آن‌ها کار نمی‌کند.
دیگر درمانده شدیم! نظر تو چیست؟! چه کنیم؟! از کجا بفهمیم؟!
اینجا، یعنی همان جایی که برای تشخیص همسان ریختی به دره درماندگی سقوط می‌کنیم، دقیقا همان جایی است که «توپولوژی جبری»، مثل فرشته‌ی نجات به فریادمان می‌رسد! می‌آید و حقیقتی را بر ما آشکار می‌کند که بدون او نتوانسته بودیم آن را بفهمیم. او به ما می‌گوید که دونات و توپ همسان ریخت نیستند! یعنی برایمان اثبات می‌کند هر تغییر پیوسته‌ای که روی دونات اعمال کنی، هرگز نمی‌توانی آن را به توپ تبدیل کنی! نه اینکه فقط تو نتوانی، هیچ کس نمی‌تواند! نه اینکه فقط هیچ کس نتواند، اصلا ممکن نیست!! و البته حدس نمی‌زند، و گمان نمی‌کند، بلکه مطمئن است، و این اطمینان را اثبات می‌کند! این، معجزه‌ی توپولوژی جبری است.
پس داستان از چه قرار است؟! ماجرا این است که یکی از مهم‌ترین سوال های توپولوژی رده‌بندی جهان‌های توپولوژیک در حد همسان ریختی است. به عبارتی، یکی از مهم‌ترین مسأله‌های توپولوژی این است:
«دو جهان توپولوژیک X و Y را در نظر بگیرید. آیا جهان X و جهان Y همسان ریخت هستند»؟
گاهی اوقات، اگر دو جهان همسان ریخت باشند، می‌توانی این حقیقت را ثابت کنی. کافی است فکر کنی ببینی که چگونه می‌توان با تغییر پیوسته، یکی را به دیگری تبدیل کرد. اما خب پیدا کردن این تغییر پیوسته، در بعضی مثال‌ها، واقعا دشوار است.
اگر دو جهان همسان ریخت نباشند، هر چقدر زحمت بکشی، نخواهی توانست یکی را با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل کنی. بدبختی اینجاست که با این نتوانستن، نمی‌توانی نتیجه بگیری که: «پس این دو جهان همسان ریخت نیستند». چرا که تو نتوانستی، اما شاید دیگری بتواند. شاید دیگری هم نتواند، اما واقعا ممکن باشد. پس برای اثبات همسان ریخت نبودن دو جهان توپولوژیک، یعنی برای اینکه اطمینان پیدا کنی که دو جهان همسان ریخت نیستند، باید چاره‌ای بیندیشی. گاهی اوقات با بررسی بعضی ویژگی‌های توپولوژیک در آن دو جهان، متوجه می‌شوی که مثلا یکی فشرده است و دیگری فشرده نیست. پس نتیجه می‌گیری که آن دو جهان همسان ریخت نیستند. چرا که اگر بودند، باید همه ویژگی‌های توپولوژیکشان یکسان می‌بود. اما گاهی اوقات، همه ویژگی‌های شناخته شده توپولوژیک در هر دو جهان یکسان است. اما در این صورت نمی‌توانی نتیجه بگیری: «پس این دو جهان همسان ریخت نیستند». چرا که ممکن است ویژگی توپولوژیکی از قلم افتاده باشد. (زیرا ویژگی های توپولوژیک یکی دو تا نیستند، در مورد اکثر جهان‌ها، بینهایت ویژگی توپولوژیک داریم!) اینجا، همان مرحله درماندگی است، که توپولوژی جبری از راه می‌رسد و نجاتمان می‌دهد. توپولوژی جبری، ابزاری در اختیارمان می‌گذارد که به کمک آن می‌توانیم اثبات کنیم دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند.
این از هدف توپولوژی جبری!
اما توپولوژی جبری چگونه این کار را انجام می‌دهد؟! توپولوژی جبری، چگونه اثبات می‌کند که دونات و توپ همسان ریخت نیستند و هر چه تلاش کنیم، هرگز نمی‌توانیم یکی را با تغییری پیوسته به دیگری تبدیل کنیم؟!
به عبارتی، معجزه‌ی توپولوژی جبری چیست؟!
اکنون می‌خواهم تلاش کنم تا این معجزه را برایت توضیح دهم! همان طور که از اسم توپولوژی جبری پیداست، آقا یا خانومِ (هر طور که تو دوست داری!) توپولوژی جبری، برای اثبات همسان ریخت نبودن دو فضا، می‌آید از علم جبر و ابزارهای جبری استفاده می‌کند. پس برای اینکه بفهمیم معجزه توپولوژی جبری چیست، لازم است تا اندازهای بدانیم که جبر چیست.
پس بیا تا برایت کمی از جبر بگویم.
یادت هست جهان توپولوژیک را چگونه برایت معرفی کردم؟ گفتم ما به برخی جهان‌های ریاضی، ساختاری نسبت می‌دهیم که آن را ساختار توپولوژیک می‌نامیم. در این صورت به آن جهان، یک جهان توپولوژیک می‌گوییم. درست مثل شهری که روی آن ساختار شهر بازی بگذاریم.
من توضیح ندادم که ساختار توپولوژیک دقیقا چیست. اما گفتم ساختار توپولوژیک چیزی است که اگر یک جهان آن ساختار را داشته باشد، مفاهیمی توپولوژیک مثل فشردگی، همبندی و ... برای آن جهان معنی‌دار می‌شود. درست مثل وقتی که یک شهر ساختار شهر بازی داشته باشد، مفاهیمی مثل چرخ و فلک، قطار وحشت و ... برای آن شهر معنی‌دار می‌شود.
اکنون فرض کن به جای اینکه روی یک جهان ریاضی، ساختار توپولوژیک قرار دهیم، روی آن ساختار «جبری» قرار بدهیم. در این صورت جهان مورد نظر، به جای آنکه «جهان توپولوژیک» باشد، می‌شود یک «جهان جبری».
مثلا شهر X را در نظر بگیر. فرض کن به جای آنکه روی X ساختار شهر بازی قرار دهیم، روی آن ساختار پارک آبی قرار دهیم. یعنی به جای اینکه در شهر X شهر بازی بسازیم، در شهر X پارک آبی بسازیم. در این صورت شهر X به جای آنکه ساختار شهر بازی داشته باشد، ساختار پارک آبی دارد. این بار مفاهیمی مثل چرخ و فلک، قطار وحشت و ... بی‌معنی هستند، اما به جایش مفاهیمی مثل سرسره‌ی آبی، چاله‌ی فضایی و ... معنی‌دار می‌شوند. واضح است که یک شهر می‌تواند همزمان هم ساختار شهر بازی داشته باشد، هم ساختار پارک آبی. همین طور یک شهر می‌تواند ساختار شهر بازی داشته باشد و ساختار پارک آبی نداشته باشد، می‌تواند ساختار شهر بازی نداشته باشد و ساختار پارک آبی داشته باشد، می‌تواند نه ساختار شهر بازی داشته باشد و نه ساختار پارک آبی. همین‌طور یک جهان ریاضی می‌تواند نه ساختار توپولوژیک داشته باشد نه ساختار جبری. می‌تواند ساختار توپولوژیک داشته باشد اما ساختار جبری نداشته باشد. می‌تواند ساختار توپولوژیک نداشته باشد اما ساختار جبری داشته باشد. می‌تواند هم ساختار توپولوژیک داشته باشد هم ساختار جبری.
اما ساختار جبری چیست؟! باز هم قصد ندارم ساختار جبری را به طور دقیق تعریف کنم. اما ساختار جبری چیزی است که اگر یک جهان ریاضی آن را داشته باشد، مفاهیمی مثل جابجایی بودن، دوری بودن، ساده بودن، و ... در آن جهان ریاضی معنی پیدا می‌کنند و سوالاتی مثل سوالات زیر نیز معنی‌دار می‌شوند:
آیا این جهان جبری، جابجایی است؟
آیا این جهان جبری، دوری است؟
آیا این جهان جبری، ساده است؟
و ...
قصد ندارم به مفاهیمی جبری مثل جابجایی بودن، دوری بودن، ساده بودن و ... بپردازم. تنها چیزی که از تو می‌خواهم آن را بدانی، این است که ساختار جبری، درست مثل ساختار توپولوژیک، ساختاری است که بعضی از جهان‌های ریاضی این ساختار را دارند. اما ساختار جبری ساختاری است با ماهیت کاملا متفاوت از ساختار توپولوژیک. و همین طور از تو می‌خواهم که مثال شهرها و ساختار شهر بازی، و مثال شهرها و ساختار پارک آبی را در ذهن داشته باشی.
حالا فرض کن شهر X و شهر Y، هر دو ساختار پارک آبی داشته باشند. در این صورت می‌گوییم این دو شهر از دید پارک آبی هیچ تفاوتی ندارند، هرگاه هر وسیله‌ای که در پارک آبی شهر X وجود داشته باشد، در پارک آبی شهر Y نیز وجود داشته باشد. و برعکس؛ یعنی هر وسیله‌ای که در پارک آبی شهر Y وجود داشته باشد، در پارک آبی شهر X نیز وجود داشته باشد.
مثلا فرض کن که پارک آبی شهر X دو سرسره آبی دارد که ارتفاع یکی ۸۰ متر و ارتفاع دیگری ۱۰۰ متر است. فرض کن پارک آبی شهر Y هم دو سرسره آبی داشته باشد که ارتفاع یکی ۸۰ متر و ارتفاع دیگری ۱۰۰ متر است. فرض کن پارک آبی شهر X یک چاله فضایی داشته باشد که شعاع چاله‌ی آن ۱۰ متر است. فرض کن پارک آبی شهر Y هم یک چاله فضایی داشته باشد که شعاع چاله‌ی آن ۱۰ متر است. خلاصه فرض کن هر وسیله‌ای که پارک آبی شهر X دارد، پارک آبی شهر Y هم همان وسیله را با همان ویژگی‌ها داشته باشد و برعکس. در این صورت می‌گوییم شهر X و شهر Y از دید پارک آبی هیچ تفاوتی با هم ندارند. اگر اینطور باشد که مثلا پارک آبی شهر X دو سرسره آبی داشت داشته باشد و پارک آبی شهر Y یک سرسره آبی، می‌گوییم شهر X و شهر Y از دید پارک آبی با هم فرق دارند.
اکنون فرض کن عینکی وجود داشته باشد به نام عینک پارک آبی. هرگاه آن عینک را به چشم بزنی، هیچ چیزی جز پارک آبی نمی‌بینی. پس بعضی شهرها را کلا نمی‌بینی چون اصلا پارک آبی ندارند. بعضی شهرها گرچه شهرهایی بسیار متفاوتند، آن‌ها را دقیقا یکسان می‌بینی چون از دید پارک آبی هیچ تفاوتی ندارند و به عبارتی ساختار پارک آبی آن دو یکسان است. بعضی شهرها گرچه بسیار به هم شبیه‌اند، آن‌ها را متفاوت می‌بینی چون ساختار پارک آبی آن دو با هم متفاوت است (مثلا یکی چاله فضایی دارد و دیگری ندارد).
حالا فرض کن جهان X و جهان Y، هر دو ساختار جبری داشته باشند. در این صورت می‌گوییم این دو جهان از دید جبر هیچ تفاوتی ندارند، هرگاه هر ویژگی جبری که جهان X آن را دارد، جهان Y نیز آن را داشته باشد و برعکس؛ یعنی هر ویژگی جبری که جهان Y آن را دارد، جهان X هم آن را داشته باشد.
مثلا فرض کن که جهان X جابجایی است و دوری نیست. فرض کن جهان Y نیز جابجایی باشد و دوری نباشد. فرض کن جهان X ساده نباشد. فرض کن جهان Y هم ساده نباشد. خلاصه فرض کن هر ویژگی جبری که جهان X دارد، جهان Y هم همان ویژگی را داشته باشد و برعکس. در این صورت می‌گوییم جهان X و جهان Y از دید جبر هیچ تفاوتی با هم ندارند. اگر اینطور بود که مثلا جهان X جابجایی باشد اما جهان Y جابجایی نباشد، می‌گفتیم این دو جهان از دید جبر با هم متفاوتند.
اکنون فرض کن عینکی وجود داشته باشد به نام عینک جبر. هرگاه آن عینک را به چشم بزنی، هیچ چیزی جز ویژگی‌های جبری نمی‌بینی. پس بعضی جهان‌ها را کلا نمی‌بینی چون اصلا ساختار جبری ندارند. بعضی جهان‌ها گرچه جهان‌هایی بسیار متفاوتند، آن‌ها را دقیقا یکسان می‌بینی چون از دید جبر هیچ تفاوتی ندارند؛ به عبارتی هر ویژگی جبری که یکی از این دو جهان دارد دیگری هم دارد. بعضی جهان‌ها گرچه بسیار به هم شبیه‌اند، آن‌ها را متفاوت می‌بینی چون از دید جبر با هم متفاوتند(مثلا یکی جابجایی است و دیگری جابجایی نیست).
اگر دو جهان جبری، از دید جبر تفاوتی نداشته باشند، به عبارتی اگر هر ویژگی جبری که یکی از آن‌ها آن ویژگی را دارد، دیگری هم آن را داشته باشد و برعکس، می‌گوییم این دو جهان جبری با هم «یکریخت» هستند. انگار ریختِ این دو جهان جبری یکی است! بنابراین برای خلاصه نویسی، این دو جهان جبری را یکریخت می‌نامیم.
همان طور که احتمالا همین الان هم متوجه شده‌ای، رابطه «یکریختی» بین جهان‌های جبری، دقیقا مشابه رابطه همسان‌ریختی بین جهان‌های توپولوژیک است.
خوشبختانه در مورد جهان‌های توپولوژیک، من توانستم مثال‌های ملموس بی‌شماری به تو نشان دهم. مثلا گفتم که کره و مکعب و دایره و مستطیل و به طور کلی هر قسمت از جهان سه بعدی، یک جهان توپولوژیک است. و تو توانستی با آن جهان‌های توپولوژیک ارتباط برقرار کنی، چون به اندازه کافی با آن‌ها آشنا بودی؛ ناسلامتی خودت هم دارای یک جسم سه بعدی هستی، و به عبارتی خودت هم یک جهان توپولوژیک به شمار می‌روی!
اما متاسفانه در مورد جهان‌های جبری، من توانایی این را ندارم که مثال‌های ملموسی از جهان‌های جبری به تو معرفی کنم. مثال‌هایی که می‌شناسم همگی ماهیتی کاملا ریاضی، صوری و مجرد دارند. البته، کل جهان سه بعدی خودش ساختاری جبری دارد. اما دیگر اینگونه نیست که هر قسمت از جهان سه بعدی، ساختار جبری داشته باشد.
همین‌طور، در مورد همسان ریخت بودن دو جهان توپولوژیک، یک ایده‌‌ی کاملا شهودی به تو هدیه کردم. و گفتم اگر بتوانی یک جهان توپولوژیک را با تغییر پیوسته (کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن) به دیگری تبدیل کنی و برعکس، آن دو جهان توپولوژیک همسان ریخت هستند. با این تعریف اصلا تو خودت توانمند شدی که جواب بعضی مسائل مهم توپولوژیک را پیدا کنی؛ مثلا خودت دانستی که دایره و مستطیل و مثلث و خلاصه هر دو خم بسته، با یکدیگر همسان ریخت هستند. زیرا می‌توان هر یک از آن‌ها را با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل کرد.
اما باز هم متاسفانه در مورد یکریخت بودن دو جهان جبری، هیچ ایده شهودی و ملموس را نمی‌شناسم و تنها تعریف ریاضی و صوری یکریختی را می‌دانم. پس نمی‌توانم به تو ابزاری بدهم که بتوانی به کمک آن جواب بعضی مسائل جبری را پیدا کنی.
خلاصه، توپولوژی، علمی است که می‌توانی اشیاء آن را ببینی! آن‌ها را در دست بگیری و با آن‌ها بازی کنی! اما جبر، ماهیتی مجرد و صوری دارد که دیدن اشیاء آن حداقل به راحتی ممکن نیست. شاید به خاطر همین است که اسم این شاخه از ریاضی را «جبر مجرد» گذاشته‌اند. خلاصه این را بدان که توپولوژی و جبر دو شاخه مختلف از ریاضی هستند و ماهیتی کاملا جداگانه دارند.
معجزه توپولوژی جبری، همین است که این دو دنیای متفاوت را به یکدیگر پیوند می‌دهد. و گویی سفینه‌ای ماورایی است که ما را از دنیای توپولوژی به دنیای جبر می‌برد. منظورم از دنیای توپولوژی، دنیای همه‌ی جهان‌های توپولوژیک است و منظورم از دنیای جبر، دنیای همه جهان‌های جبری است. به عبارتی، در این نام‌گذاری که انجام دادم، مفهوم «دنیا»، مفهومی کلی‌تر از جهان است؛ یعنی مجموعه‌ی همه‌ی جهان‌ها، تشکیل یک دنیا می‌دهند. به عنوان مثال، در سینمای غرب، چند جهان مختلف داریم؛ جهان مارول(Marvel)، جهان، دی‌سی(DC)، جهان جنگ ستارگان(Star wars) و ... . همه‌ی چنین جهان‌هایی، تشکیل یک دنیا می‌دهند که این دنیا را دنیای علمی-تخیلی می‌نامیم.
خلاصه منظورم این است که دنیا، کلی‌تر از جهان است.
اکنون دو دنیا مورد بحث ماست. یکی دنیای جهان‌های توپولوژیک، یکی دنیای جهان‌های جبری. این دو دنیا، همان‌طور که توضیح دادم، دو دنیای کاملا متفاوتند. موجوداتی که در دنیای توپولوژی زندگی می‌کنند، یعنی همان جهان‌های توپولوژیک، با موجوداتی که در دنیای جبر زندگی می‌کنند، یعنی همان جهان‌های جبری، تفاوت‌هایی بنیادی دارند. (مثل دنیای ارباب حلقه‌ها و دنیای پاندای کونگ‌فوکار که موجوداتی کاملا متفاوت در هر یک از آن‌ها زندگی می‌کنند!)
توپولوژی جبری، همان طور که گفتم سفینه‌ای است که ما را از دنیای توپولوژی به دنیای جبر می‌برد.
اما ما سوار این سفینه شویم که چه؟! چه سودی دارد؟! قلب توپولوژی جبری، جواب همین سوال است. اول بیا تا برایت بگویم این سفینه چگونه کار می‌کند، و چگونه ما را از دنیای توپولوژی به دنیای جبر می‌برد.
کار معجزه آسایی که توپولوژی جبری انجام می‌دهد، این است که سفینه‌ای می‌سازد، که این سفینه، به هر موجود از دنیای توپولوژی، یک موجود از دنیای جبر نسبت می‌دهد. یعنی چه؟! یعنی اینکه توپولوژی جبری با سفینه خود، یک جهان توپولوژیک را برمی‌دارد، و آن را می‌برد به دنیای جبر، و آن جهان توپولوژیک را به یک جهان جبری می‌چسباند! برای آنکه درک این مثال برایت راحت‌تر شود، اینگونه تصور کن:
فرض کن هر جهان توپولوژیک، یک شکل هندسی باشد (کما اینکه شکل‌های هندسی واقعا جهان توپولوژیک هستند، مثل کره و مکعب و هرم و مستطیل و دایره و ... . اما خب جهان‌های توپولوژیکی هم وجود دارند که دیگر یک شکل هندسی نیستند)، و فرض کن همه جهان‌های جبری که با هم یکریخت هستند، یک جعبه را درست می‌کنند. سفینه‌ی توپولوژی جبری، این شکل‌های هندسی را سوار می‌کند، آن‌ها را از دنیای توپولوژی می‌برد به دنیای جبر، و در هر جعبه تعدادی از این شکل‌ها را قرار می‌دهد. این سفینه، هیچ جعبه‌ای را خالی نمی‌گذارد، و هیچ شکل هندسی‌ای را بی‌جعبه نمی‌گذارد. به عبارتی، هیچ جعبه‌ای را نمی‌بینی که خالی باشد و هیچ شکل هندسی‌ای در آن نباشد. همین‌طور هر شکل هندسی را که در نظر بگیری، بالاخره داخل یک جعبه قرار گرفته است. اما ممکن است چند شکل هندسی مختلف را درون یک جعبه قرار دهد. بنابراین درست است که هیچ جعبه‌ای خالی نیست و حداقل یک شکل هندسی در خود دارد، اما بعضی جعبه‌ها بیشتر از یک شکل هندسی در خود دارند.
اما سوال مهم اینجاست که این سفینه، کدام شکل‌های هندسی را در جعبه‌های یکسان قرار می‌دهد؟!! مثلا، آیا کره و هرم را در یک جعبه می‌گذارد؟ یا آن‌ها را در جعبه‌های مختلف می‌گذارد؟! چنبره (شکل هندسی دونات) را در کدام جعبه می‌گذارد؟! مستطیل را در کدام جعبه؟! دایره را در کدام؟! و ...
جواب این سوال، دقیقا بر ما معلوم است! این سفینه، به گونه‌ای تصمیم می‌گیرد کدام شکل را در کدام جعبه بگذارد، که نیاز ما را برآورده کند و مسأله ما را حل کند. یعنی ما این سفینه را به گونه‌ای ساختیم که اینطور عمل کند. مسأله ما این بود که می‌خواستیم بدانیم «چه زمانی دو شکل همسان ریخت نیستند»؟!
الگوی انتخاب سفینه چنین است:
«این سفینه، همه شکل‌هایی که همسان ریخت هستند را در یک جعبه قرار می‌دهد»
(به عبارتی، توپولوژی جبری به همه جهان‌های توپولوژیکِ همسان ریخت، در حد یکریختی، فقط یک جهان جبری نسبت می‌دهد)
این الگو با تقریب خوبی به مسأله ما جواب می‌دهد.
طبق این الگوی انتخاب، هر دو شکلی که در دو جعبه مختلف باشند، همسان ریخت نیستند! پس با نگاهی به جعبه‌های مختلف، گستره زیادی از شکل‌هایی را شناسایی می‌کنیم که همسان ریخت نیستند.
مثلا من که تا اندازهای با ساز و کار این سفینه آشنا هستم(چون مقداری توپولوژی جبری خوانده‌ام!) می‌دانم که این سفینه، دونات را در یک جعبه قرار می‌دهد، و توپ را در یک جعبه دیگر! (منظورم از دونات، شکل هندسی دونات است نه خود شیرینی دونات، و منظورم از توپ، شکل هندسی توپ است نه خود توپ). از قبل می‌دانیم این سفینه به گونه‌ای ساخته شده که جهان‌های توپولوژیک همسان ریخت را در یک جعبه قرار می‌دهد؛ پس حال که دونات و توپ را در دو جعبه مختلف قرار داده، نتیجه می‌گیریم که دونات و توپ همسان ریخت نیستند! به عبارتی، بعضی ویژگی‌های توپولوژیک دونات و توپ با هم متفاوت است. به عبارت دیگر، نمی‌توان با تغییر پیوسته دونات را به توپ تبدیل کرد یا برعکس.
آری اینگونه است که این سفینه معجزه کرده و مسأله‌ی به ظاهر حل نشدنی ما را حل می‌کند.
اکنون تو هم می‌دانی که این سفینه، فنجان قهوه را در همان جعبه‌ای می‌گذارد که دونات را در آن گذاشته! چون قبلا دیدیم که دونات و فنجان قهوه همسان ریخت هستند. همین‌طور همه‌ی این اشکال را در یک جعبه می‌گذارد:
مستطیل، مثلث، دایره، بیضی، و به طور کلی هر خم بسته.
و نیز همه‌ی این اشکال را در یک جعبه می‌گذارد:
مستطیل توپُر، مثلث توپر، دایره توپر، بیضی توپر، و به طور کلی هر خم بسته توپر.
و همه‌ی این اشکال را نیز در یک جعبه می‌گذارد:
کره، مکعب، هرم، مخروط و خلاصه هر سطح بسته.
و همین طور همه‌ی این اشکال را در یک جعبه می‌گذارد:
کره توپُر، مکعب توپر، هرم توپر، مخروط توپر و خلاصه هر سطح بسته توپر.
و ...
پس سوال بنیادی توپولوژی، یعنی این سوال که: «چگونه مطمئن شویم دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند»؟ به کمک توپولوژی جبری و سفینه‌اش، با تقریب خوبی جواب داده می‌شود.
شاید بپرسی چرا می‌گویم با تقریب؟! زیرا این سفینه، با وجود اینکه به شکل معجزه آسایی بسیاری از جهان‌های توپولوژیکی را که همسان ریخت نیستند از هم تفکیک می‌کند، اما آنقدرها هم دقیق و کامل نیست!
چرا که این سفینه خطا دارد! منظورم از خطا، این است که ممکن است دو جهان توپولوژیکی که همسان ریخت نیستند را نیز به یک جعبه ببرد. من به تو چه گفتم؟ گفتم که:
این سفینه، همه جهان‌های توپولوژیکی که همسان ریخت هستند را در یک جعبه قرار می‌دهد.
اما نگفتم که:
این سفینه، همه جهان‌های توپولوژیکی که همسان ریخت نیستند را در دو جعبه مختلف قرار می‌دهد!
ماجرا همان ماجرای گردو بودن و گرد بودن است؛ هر گردویی گرد است اما هر گردی گردو نیست!
خلاصه، این سفینه گاهی اوقات خطا می‌کند و دو جهان توپولوژیک غیر همسان ریخت را به یک جعبه می‌برد. بنابراین:
«اگر دو جهان توپولوژیک در یک جعبه نباشند، قطعا همسان ریخت نیستند. اما اگر دو جهان توپولوژیک در یک جعبه باشند، نتیجه نمی‌شود که حتما همسان ریخت هستند. ممکن است همسان ریخت باشند، ممکن است همسان ریخت نباشند».
می‌توان سفینه مشابه دیگری ساخت به طوری که خطایش کمتر شود. مثلا اگر سفینه اول ده جهان توپولوژیک غیر همسان ریخت را درون یک جعبه قرار می‌داد، سفینه جدید فقط پنج جهان توپولوژیک غیر همسان ریخت را در آن جعبه قرار دهد.
در توپولوژی جبری، آن سفینه که همان ابتدای راه می‌سازیمش، کره‌ی توخالی و دایرهی توپر را در یک جعبه قرار می‌دهد(به نظرت این دو شکل همسان ریخت هستند یا نه؟!). اما در ادامه داستان، سفینه‌ای می‌سازیم قوی‌تر از سفینه قبلی، به طوری که کره توخالی و دایره توپر را در دو جعبه مختلف می‌گذارد و به ما می‌گوید این دو شکل همسان ریخت نیستند و سفینه اول خطا کرده که این دو را در یک جعبه قرار داده است!
اما سفینه دوم نیز خطایش صفر نیست! سفینه‌های زیادی در توپولوژی جبری ساخته‌اند، اما هیچ کدام از آن‌ها بدون خطا نیستند. در ایستگاه فضایی توپولوژی جبری، هر سفینه‌ای را در نظر بگیری، تعدادی جهان توپولوژیک که همسان ریخت نیستند پیدا می‌شود که این سفینه آن‌ها را به یک جعبه می‌برد.
پس سوال بنیادی اینجاست:
آیا می‌توان سفینه‌ای ساخت که هر دو جهان توپولوژیک همسان ریخت را به یک جعبه ببرد، و هر دو جهان توپولوژیک غیر همسان ریخت را به دو جعبه مختلف ببرد؟!
من جوابش را نمی‌دانم. به گمانم ساخت چنین سفینه‌ای، کار ساده‌ای نیست. اگر هم ساخته شود، شاید در صورت حرکت کردن از دنیای توپولوژی و رسیدن به دنیای جبر، کارش را درست انجام دهد، اما حرکت دادنش و رساندنش به دنیای جبر، کار بسیار سختی خواهد بود! (به عبارت دقیق‌تر، شاید از لحاظ تئوری جواب دهد اما از لحاظ عملی و محاسباتی، کار کردن با آن بسیار دشوار خواهد بود)
اما به هر حال سفینه‌هایی که تا کنون ساخته شده، تا حد زیادی پاسخ نیازهای ما را داده است، و توانسته‌ایم به کمک آن‌ها جهان‌های توپولوژیک متعددی را از هم تفکیک کنیم.
از مهم‌ترین دستاوردهای توپولوژی جبری در زمینه‌ی تفکیک فضاهای غیر همسان ریخت، کشف حقایق زیر است:
دونات و توپ همسان ریخت نیستند.
دایره توپر و کره‌ی توخالی همسان ریخت نیستند.
جهان سه بعدی و جهان دو بعدی همسان ریخت نیستند. (یعنی هر چقدر جهان سه بعدی را کش دهی، مچاله کنی، خم کنی و پیچش دهی، به جهان دو بعدی تبدیل نمی‌شود یا برعکس)
به طور کلی، اگر m و n دو عدد طبیعی متفاوت باشند، جهان n بعدی با جهان m بعدی همسان ریخت نیست.
مثلا جهان سیصد بعدی با جهان پنجاه و چهار بعدی همسان ریخت نیست و ...
اما توپولوژی جبری، غیر از اینکه کمکمان کند تعداد زیادی از فضاهای غیر همسان ریخت را تشخیص دهیم، خوبی‌های دیگری هم دارد، و جمله‌های جالب دیگری را هم برایمان اثبات می‌کند.
مثلا «قضیه بورسک اُلام» که در ابتدای نامه آن را بیان کردم، یکی از نتایج جالب توپولوژی جبری است.
همین‌طور است «قضیه خَم جُردن» که به کمک ابزارهای توپولوژی جبری اثبات می‌شود؛ این قضیه بیان می‌کند:
هر خم بسته (مثلا مثلث، دایره یا ...) در صفحه، صفحه را به سه قسمت تقسیم می‌کند؛ درون خم، بیرون خم، و مرز خم.
شاید بگویی اینکه معلوم است و نیاز به اثبات ندارد! اما وقتی دقیق شوی، می‌بینی آنقدرها هم معلوم نیست! یادم هست این جمله در کتاب‌های ریاضی مدرسه بود و در جایی دیدم نوشته است که قضیه خم جُردن توسط ابزارهای ریاضیات پیشرفته اثبات می‌شود. و بالاخره بعد از حدود ده سال، اثباتش را ملاقات کردم!
یکی دیگر از دستاوردهای جالب توپولوژی جبری، «قضیه توپِ مودار» است. این قضیه می‌گوید:
اگر یک توپ داشته باشیم که تمام سطح آن پوشیده از مو باشد، امکان ندارد که تمام موها مماس بر سطح توپ باشند. بلکه بعضی از آن‌ها حتما به شکل صاف و عمود بر سطح توپ هستند! جالب است نه؟! اگر دوست داشتی درستی این قضیه را با یک توپ مودار امتحان کن!
قضیه مهم دیگری که یکی از بنیادی‌ترین قضیه‌ها در توپولوژی به حساب می‌آید، و به کمک توپولوژی جبری در کلی‌ترین حالت خود اثبات می‌شود، «قضیه نقطه ثابت براؤر» است که هم در شاخه‌های مختلف ریاضی، هم در علوم کاربردی دیگر بی‌اندازه اهمیت دارد. حتی در علومی که به ظاهر ارتباطی با توپولوژی ندارند، مانند «نظریه بازی‌ها»، رد پای نقطه ثابت براور دیده می‌شود. این قضیه، نتایج جالبی هم در زندگی روزمره دارد؛ مثلا یکی از آن‌ها به شرح زیر است:
اگر یک استکان چای را با چیزی مثل قاشق برای هر مدتی که دلت بخواهد هم بزنی و بعد، هم زدن را متوقف کنی و منتظر بمانی تا ذرات چای آرام شوند، حداقل یک ذره‌ی چای وجود دارد که دقیقا در همان نقطه‌ای آرام می‌گیرد، که قبل از هم زدن در آن نقطه قرار داشت!
البته این جمله وقتی نتیجه می‌شود که فرض کنیم تغییرات ذرات چای پیوسته است.
به نظرم توپولوژی جبری، از آن شاخه های شیرین ریاضیات است که هر دانشجوی ریاضی لازم است حداقل تا اندازهای آن را مطالعه کند.
در انتها لازم است نکته‌ای فلسفی را گوش زد کنم. ممکن است رویای پیوستگی، واقعیت نداشته باشد؛ یعنی ممکن است هیچ تغییری در جهان ما پیوسته نباشد. در این صورت قضیه‌های بنیادی توپولوژی و توپولوژی جبری در جهان ما الزاما برقرار نخواهند بود. اما هر کدام از این قضیه‌ها، در جهان ریاضیات، به قوت خودشان باقی خواهند ماند! توجه به این نکته مهم است که درست است گاهی ریاضیدانان بعضی از شاخه‌های ریاضیات را بر اساس تعبیری که از جهان فیزیکی دارند می‌سازند، اما ماهیت ریاضیات، مستقل از جهان فیزیکی است.
خب! من نامه‌ام را همینجا خاتمه می‌دهم. برای آشنایی با سفینه‌های توپولوژی جبری و ساز و کارشان، لازم است به کتاب‌های توپولوژی جبری مراجعه کنی و آن‌ها را مطالعه کنی. کسی چه می‌داند، شاید روزی توانستی سفینه‌ای بسازی که هم به سادگی حرکت کند و از دنیای توپولوژی به دنیای جبر برود، هم اینکه هیچ خطایی نداشته باشد. خدا را چه دیدی، شاید هم توانستی اثبات کنی که ساخت چنین سفینه‌ای ممکن نیست!
امیدوارم از مطالعه این نامه لذت برده باشی. نقد و نظراتت را به من بگو؛ از آن‌ها استقبال می‌کنم.
