جرقه‌ی نوشتن این مطلب با دیدن واژه‌ی «بُعد» و تصویر «سیب» در پست زیر، در ذهن من زده شد:
پس ابتدا باید از نویسنده‌ی پست بالا تشکر کنم: سپاس‌گزارم! :)
همه‌ی ما شهودی هندسی از مفهوم «بُعد» [۱] داریم؛ یک خط، فضایی یک‌بعدی است، صفحه را به عنوان فضایی دوبُعدی می‌شناسیم و از جهانی که در آن زندگی می‌کنیم، با عنوان فضای سه‌بُعدی یاد می‌کنیم. موضوع این است که بعضی مواقع، شهود ما در بُعدهای بالا پاسخگو نیست و ممکن است به تناقض‌هایی بربخوریم... خوردن سیب پوست‌کنده در بعد‌های بالا این گونه است! سیب را که می‌شناسید؟! من از بچگی عاشق سیب بودم...
طبیعی است که ریاضی‌دان‌ها کله‌شق‌تر از آن باشند که مفهومی را تعمیم ندهند و مجردسازی نکنند! شاید نتوان فضاهای با بُعد بیشتر از ۳ را تصور کرد [۲] اما می‌توان شهود هندسی خود را به گوشه‌ای پرتاب نمود و از «جبر» کمک گرفت. این هم برای ما ناآشنا نیست، خط اعداد حقیقی و یا دستگاه مختصات (دوبُعدی یا سه‌بُعدی) را که یادتان می‌آید؟!
با این دید، فضای یک‌بُعدی چیزی جز همه‌ی اعداد حقیقی نیست، فضای دوبُعدی همه‌ی زوج‌های مرتب (x, y) از اعداد حقیقی است و به همین‌ترتیب، فضای سه‌بُعدی از همه‌ی سه‌تایی‌های مرتب (x, y, z) تشکیل شده است. خب! حالا خیلی عجیب است اگر فضای چهاربًعدی را همه‌ی چهارتایی‌های مرتب (x, y, z, t) تعریف کنیم؟ فضای n-بعدی هم می‌شود همه‌ی n-تایی‌های مرتب از اعداد حقیقی به شکل (x_1, x_2, x_3, …, x_n). (وای‌وای‌وای‌وای! فضای n-بُعدی چیه دیگه، بدبخت شدیم!!)
حالا بیایید سیب n-بُعدی را درست کنیم! اجازه دهید سیب را تقریباً به شکل یک کره‌ی توپر در نظر بگیریم؛ کره‌ای به شعاع ۱. ضخامت پوست سیب را هم r بگیریم، پس شعاع سیب پوست‌کنده می‌شود ۱ منهای r. کره‌ی دوبُعدی داریم؟! بله، همان دایره. کره‌ی سه‌بعدی هم که توپ پلاستیکی راه‌راه است! یادش بخیر... (دولایه‌ها رو نمی‌گم ها! اونا از شدت فشار بیضی می‌شدن!)
برای اینکه بتوانیم کره‌ی n-بعدی را تعریف کنیم، باید یک تعریف از دایره و کره‌ی سه‌بعدی به شکل جبری به‌دست آوریم و بعد آن را تعمیم دهیم. تعریف دایره را یادتان می‌آید؟ دایره مجموعه نقاطی‌ست که از یک نقطه‌ی ثابت (همان مرکز دایره) به یک فاصله هستند. همه‌ی نقاط «روی» دایره‌ای به شعاع ۱، فاصله‌شان از مرکز دایره برابر ۱ است. پس همه‌ی نقاط «درون» دایره، فاصله‌شان از مرکز دایره کوچک‌تر یا مساوی ۱ است. به همین ترتیب، همه‌ی نقاط «روی» سطح کره، فاصله‌شان از مرکز کره برابر است. پس نقاط کره‌ای توپر به شعاع ۱، همه‌ی نقاطی هستند که فاصله‌شان از مرکز کره کوچک‌تر یا مساوی ۱ است.
از آن‌جایی که فاصله‌ی نقطه‌ی (x, y) از مبدأ برابر جذر x^2 + y^2 است، عبارت‌های بالا طبق تعریف به‌دست می‌آیند. (برای کره‌ی توپُر می‌توان به جای تساوی، کوچک‌تر مساوی قرار داد.)
خب! حالا اگر حجم این کره‌ها را حساب کنیم، می‌بینیم که حجم یک کره‌ی دوبُعدی (دایره) برابر است با شعاع به توان ۲ ضرب‌در عدد پی؛ یعنی حجم با توان دوم شعاع متناسب است. حجم کره‌ی سه‌بعدی می‌شود شعاع به توان ۳ ضرب‌در ۴/۳ عدد پی؛ یعنی با توان سوم شعاع متناسب است. به همین ترتیب [۳] می‌توان نشان داد که حجم کره‌ی n-بُعدی با شعاع به توان n متناسب است. یعنی حجم یک سیب پوست‌کنده با (۱ منهای r) به توان n متناسب است. چون این عدد بین صفر و ۱ است، پس هر چه توان (بُعد) را بیشتر کنیم، این عدد در عددی بین صفر و ۱ ضرب می‌شود و کوچک و کوچک‌تر می‌شود:
پس حجم سیب پوست‌کنده به صفر نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. به این علت، به اصطلاح می‌گویند که سیب‌های با بُعد بالا را باید با پوست خورد چون در غیر این صورت، چیزی گیرتان نمی‌آید!
مثال‌های دیگری نیز از چیزهایی که در بُعد بالا با شهود ما سازگار نیستند، وجود دارد. یک دایره به شعاع ۱ و مربع محیط بر آن را (دایره داخل مربع محاط شده) در نظر بگیرید. اختلاف فاصله‌ی گوشه‌ی مربع از مرکز و شعاع را حساب کنید:
اگر همین کار را برای یک مکعب و کره در فضای سه‌بعدی انجام دهید، حاصل برابر (رادیکال ۳) منهای ۱ خواهد شد. عجیب است اگر بگویم که در فضای n-بعدی، این اختلاف برابر با (رادیکال n) منهای ۱ خواهد شد! چون این عدد با افزایش n بیشتر و بیشتر می‌شود، پس با بیشتر شدن بُعد، نقطه‌ی گوشه‌ی مکعب n-بُعدی از کره‌ی n-بُعدی محاط در آن دور و دورتر می‌شود! اگر نسبت حجم مکعب n-بعدی به کره‌ی n-بعدی را حساب کنیم، متعجب‌تر خواهیم شد:
حجم مکعب n-بُعدی با افزایش بعد زیاد می‌شود و حجم کره‌ی n-بُعدی (با شعاع ۱) و محاط در همان مکعب، با افزایش n به صفر نزدیک می‌شود! به نظر می‌رسد که در بُعدهای بالا، حجم بیشتری در گوشه‌های مکعب قرار می‌گیرد.
پی‌نوشت: یک ارائه‌ی بسیار جالب از دکتر علیشاهی عزیز درباره‌ی آمار و احتمال و با عنوان «شمردن پروانه‌ها» وجود دارد که با ریاضیات دبیرستانی می‌توان آن را دنبال کرد. برخی از مطالب این پست را از آن ارائه وام گرفته‌ام.
[۱]: در این مطلب تنها درباره‌ی فضاهای حقیقی و بُعد آن‌ها صحبت شده، تعاریف بُعد امکان وجود بُعد ۱/۵ را هم می‌دهند!
[۲]: روش‌هایی برای تجسم بُعد چهارم وجود دارد؛ برای مثال اینجا را ببینید.
[۳]: خواننده‌ی علاقه‌مندی که ریاضی عمومی ۱ را در ذهن دارد، می‌تواند نحوه‌ی به‌دست آوردن فرمول دقیق حجم کره‌ی n-بُعدی را، در اینجا ببیند.
