ا قبلاً با ویدئوی آموزش مجموعه ها ریاضی نهم به طور مفصل در مورد نکات مهم نوشتن مجموعه ها و درس مجموعه ها آشنا شدیم. اگر ویدئوی نمونه سوال فصل اول ریاضی نهم را ندیده اید، حتماً ببینید.
در این ویدئوی آموزشی می خواهیم با مفهوم اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها آشنا شویم.
فرض کنید شما دو مجموعه به نام A و B دارید که اعضای هر کدام مشخص است. منظور از اجتماع دو مجموعه این است که اعضای هر دو مجموعه A و B را بدون تکرار اعضا در یک مجموعه جمع کنیم. به عبارتی اعضای اجتماع دو مجموعه حداقل عضو یکی از مجموعه های A یا B می باشد. به کلمه ” یا” خوب دقت کنید.
برای نشان دادن اجتماع دو مجموعه از علامت A∪B استفاده می شود و برای نشان دادن آن به زبان ریاضی به این صورت می نویسیم.
نکته 1:از قبل یاد گرفته اید که مجموعه ها دارای خاصیت جابجایی هستند. یعنی با جابجایی اعضای مجموعه، مجموعه جدیدی به دست نمی آید. پس در نوشتن اجتماع دو مجموعه هم فرقی نمی کند ابتدا اعضای کدام مجموعه نوشته شود.
1- اگر A={1,5,9} و B={2,3,5,8} باشد، A∪B را به دست آورده و نمودار وِن آن را رسم کنید.
حل: دقت کنید که در بالا اشاره کردیم که برای نوشتن اجتماع دو مجموعه، اعضای تکراری را حذف می کنیم و بدون تکرار اعضا می نویسیم. یعنی 3 و 8 که در هر دو مجموعه تکرار شده اند را فقط یکبار در اجتماع دو مجموعه می نویسیم و بقیه اعضای تکراری را هم در کنار هم جمع می کنیم. قسمت هاشور خورده در نمودار ون هم اجتماع دو مجموعه را نشان می دهد.
A∪B={1,5,9,2,3,8}
2- اگر مجموعۀ شمارنده‌های طبیعی عدد 16 را با A و مجموعۀ شمارند‌های طبیعی عدد 21 را با B نمایش دهیم، A∪B را به دست آورید.
مجموعه شمارنده های طبیعی عدد 16برابر است با: A={1,2,4,8،16}
B={1,3,7,21}:مجموعه شمارنده های طبیعی عدد 21برابر است با
طبق تعریف جواب سوال به این شکل خواهد بود: A∪B={1,2,3,4،7،8،16,21}
اگر در خصوص مجموعه ها و حالت خاص آنها نیاز به آموزش بیشتر دارید می توانید جهت هماهنگی تدریس خصوصی ریاضی با ما تماس بگیرید.
فرض کنید برای دو مجموعۀ A و B به این شکل داشته باشیم A⊆B. آنگاه اجتماع دو مجموعه A و B چه خواهد شد؟
یاد گرفتیم که در اجتماع دو مجموعه، 2 شرط مهم را باید رعایت کنیم.
شرط اول اجتماع دو مجموعه این است که اعضای اجتماع دو مجموعه حداقل عضو یکی از مجموعه ها باشند.
شرط دوم اجتماع دو مجموعه این است که اعضا باید غیرتکراری باشند.
از صورت سوال مشخص است که همه اعضای A در B وجود دارند. بنابراین اگر بخواهیم اعضای دو مجموعه را با هم جمع کنیم اعضای تکراری را حذف می کنیم که همان اعضای مجموعه A خواهند بود. بنابراین اعضای باقی مانده همان اعضای مجموعه B می باشند. پس جواب به این صورت است: A∪B=B
نمودار ون برای این حالت خاص از اجتماع مجموعه ها که یکی از مجموعه ها زیرمجموعه دیگری می باشد، به این شکل است:
شما دو مجموعه به نام A و B دارید که اعضای هر کدام مشخص است. منظور از اشتراک دو مجموعه این است که اعضایی از هر دو مجموعه A و B را که هم در A و هم در B وجود دارند را در یک مجموعه جمع کنیم. مشخص است که اعضای مشترک که در هر دو مجموعه تکرار شده اند، مد نظر می باشد. دقت کنید که بر عکس اجتماع مجموعه ها از حرف ” و ” استفاده شده است.
برای نشان دادن اجتماع دو مجموعه از علامت A∩B استفاده می شود و برای نشان دادن آن به زبان ریاضی به این صورت می نویسیم.
نکته 2: اگر با مفهوم اشتراک دو مجموعه به خوبی آشنا شده باشید متوجه می شوید که اشتراک هر دو مجموعه A و B، زیرمجموعه هر یک از مجوعه های A و B است. چرا که با توجه به تعریف اشتراک مجموعه، هر عضوی که در اشتراک دو مجموعه وجود دارد، در هر یک از آنها نیز موجود است. بنابراین داریم:
نکته 3: خاصیت جابجایی مجموعه ها را که فراموش نکرده اید، این خاصیت در خصوص اشتراک دو مجموعه نیز صدق می کند.
1- اگر A={1,7,9} و B={2,7,19,9} باشد، A∩B را به دست آورده و نمودار وِن آن را رسم کنید.
حل: ابتدا اعضای مشترک هر دو مجموعه را مشخص می کنیم. دو عدد 3 و 8، هم در مجموعۀ A وجود دارند و هم در مجموعۀ B. بنابراین A∩B برابر است با:
A∩B={7,9}
مجموعۀ A منهای B برابر است با کلیه اعضایی که عضو مجموعه A هستند ولی عضو مجموعه B نیستند. برای راحتی کار می توانید کلیه اعضای مشترک بین این دو مجموعه را از مجموعه A حذف کنید. مجموعه A−B را به زبان ریاضی به این صورت نمایش می دهند.
نکته 4: خاصیت جابجایی در تفاضل مجموعه ها صدق نمی کند و A−B با B−A برابر نیستند.
1- اگر A={1,5,9} و B={12,5,10,9} باشد، A–B و B–A را به دست آورده و نمودار وِن آن را رسم کنید.
A−B برابر است با مجموعه {1}. چرا که 5 و 9 اعضای مشترک بین هر دو مجموعه هستند و اگر از مجموعه A حذف شوند فقط عدد 1 باقی می ماند.
از طرفی اگر اعداد 5 و 5 را از مجموعۀ B حذف کنیم، مجموعۀ B−A به دست می‌آید. یعنی مجموعۀ B−A برابر است با {12,10}. نمودار ون مجموعۀ B−A نیز به شکل زیر است:
