در این نوشته مثالهایی از کاربرد قضیه بیز برای تعیین احتمال وقوع پیشامدهای موضوعات روزمره آورده شده است . بدون شک قضیه بیز (Bayes’ Theorem) یکی از مهم‌ترین اصول آمار و احتمالات است که بخش قابل توجهی از دانش مدرن ما در حوزه‌های مختلف، به طور خاص در حوزه هوش مصنوعی و مهندسی کنترل، بر آن استوار است. پروازهای امن در خطوط هوایی، سیستم‌های نظارتی و کنترلی شبکه برق، روبات‌های متحرک، موتورهای جستجو و ده‌ها کاربرد دیگر در زندگی روزمره ما، بدون این قانون عملا نمی‌توانستند وجود داشته باشند. بخش قابل توجهی از دانش هوش مصنوعی، که وظیفه آن توسعه هوشمندی سیستم‌های کامپیوتری است، بر روی قانون بیز و آمار بیزی بنا شده است. به عقیده بسیاری از دانشمندان علوم کامپیوتر، اساسی‌ترین معادله توصیف کننده هوش، همین قانون بیز است.
مثال 1 : دقت آزمایشهای تشخیص کرونا
پیشامد اینکه یک فرد مبتلا به کرونا باشد 30 درصد باشد
پیشامد اینکه نتیجه آزمایش برای فرد کورونایی مثبت باشد 80 درصد باشد
پیشامد اینکه پاسخ آزمایش منفی برای فرد سالم به دست بیاید 70 درصد باشد
می خواهیم احتمال اینکه در صورت داشتن پاسخ آزمایش مثبت ، فرد مبتلا به کرونا باشد را حساب کنیم
A: مثبت شدن پاسخ آزمایش
B: داشتن کرونا
P (B) = 0.3
P (A|B) = 0.8
P (A'|B') = 0.7
P (B|A) = (0.8*0.3)/ (0.8*0.3) + (1-0.7)*(1-0.3) = 0.24/0.24+0.21=0.53
مثال 2 : تاثیر جنسیت دانش آموزان در قبولی آنها در کنکور
پیشامد اینکه دانش آموز کنکوری پسر باشد 45 درصد باشد
پیشامد اینکه دانش آموز پسر در کنکور قبول شود 40 درصد باشد
پیشامد اینکه دانش آموز دختر در کنکور قبول شود 35 درصد باشد
A: دانش آموز پسر
B: دانش آموز دختر
C: قبولی در کنکور
P (A) = 0.45
P (B) = 0.55
P (C|A) = 0.40
P (C|B) = 0.35
P (C) = P (C|A) * P (A) + P (C|B) * P (B) = 0.18 + 0.1925 = 0.3725
بنابراین احتمال قبولی دانش آموز در کنکور برابر با 37.25 درصد است .
مثال 3 : نحوه رای دادن دموکراتها و جمهوریخواهان به ترامپ و بایدن در انتخابات ریاست جمهوری آمریکا
پیشامد رای دهنده دموکرات 55 درصد P(B)
پیشامد رای به بایدن توسط رای دهنده دموکرات 90 درصد P(A|B)
پیشامد رای به ترامپ توسط رای دهنده جمهوری خواه 85 درصد P(A'|B')
P (B|A) = (P (A|B)*P (B))/ (P (A|B)*P (B) + P (A|B')*P (B'))
= (0.90 * 0.55) / (0.90*0.55 + (1-0.85)*(1-0.55)) = 0.495 / (0.495+0.0675) =0.88
بنابراین پیشامد دموکرات بودن رای دهنده به بایدن برابر با 88 درصد است .
مثال 4 : تاثیر استفاده از اسنپ و تپسی بر روی خوش برخورد بودن راننده
پیشامد سفر با اسنپ 70 درصد است P(B)
پیشامد برخورد نامناسب راننده اسنپ 20 درصد است P(A|B)
پیشامد برخورد نامناسب راننده تپسی 15 درصد است P(A'|B)
P (B|A) = (P (A|B)*P (B))/ (P (A|B)*P (B) + P (A|B')*P (B'))
= (0.20 * 0.70) / (0.20*0.70 + (1-0.15)*(1-0.70)) = 0.14 / (0.14+0.255) =0.3544
بنابراین پیشامد اسنپی بودن راننده بدبرخورد 35.44 درصد است .
مثال 5 : نسبت ماسک زدن کارمندان با توجه به پست سازمانی آنها در شرکت
پیشامد مدیر بودن در شرکت 10 درصد است P(B)
پیشامد ماسک نزدن کارمندان 10 درصد است P(A|B')
پیشامد ماسک نزدن مدیران 15 درصد است P(A|B)
P (B|A) = (P (A|B)*P (B))/ (P (A|B)*P (B) + P (A|B')*P (B'))
= (0.15 * 0.10) / (0.15*0.10 + (1-0.15)*(1-0.10)) = 0.015 / (0.015+0.765) =0.0192
بنابراین پیشامد مدیر بودن کسی که ماسک نمی زند 1.92 درصد است .
مثال 6 : نسبت قطع و وصل بودن اینترنت اپراتورهای همراه
پیشامد همراه اولی بودن سیم کارت 70 درصد است P(B)
پیشامد قطع شدن سرویس اینترنت همراه اول 10 درصد است P(A|B)
پیشامد قطع شدن سرویس اینترنت سایر اپراتورها 5 درصد است P(A|B')
P (B|A) = (P (A|B)*P (B))/ (P (A|B)*P (B) + P (A|B')*P (B'))
= (0.10 * 0.70) / (0.10*0.70 + 0.05*(1-0.70)) = 0.07 / (0.07+0.015) =0.8235
بنابراین پیشامد همراه اولی بودن سیم کارت بدون اینترنت 82.35 درصد است .
مثال 7 : تاخیر سفر با وسایل حمل و نقل عمومی در شهر تهران
پیشامد استفاده از متروی تهران 15 درصد است P(B)
پیشامد تاخیر مترو 5 درصد است P(A|B)
پیشامد تاخیر اتوبوس تندرو 20 درصد است P(A|B')
P (B|A) = (P (A|B)*P (B))/ (P (A|B)*P (B) + P (A|B')*P (B'))
= (0.05 * 0.15) / (0.05*0.15 + 0.20*(1-0.15)) = 0.0075 / (0.0075 +0.17) =0.0422
بنابراین پیشامد مترو سوار بودن مسافرانی که با تاخیر روبرو میشوند 4.22 درصد است .
مثال 8 : تاثیر ازدواج فامیلی بر معلولیت نوزاد
پیشامد ازدواج فامیلی 5 درصد است P(B)
پیشامد معلولیت در ازدواج فامیلی 40 درصد است P(A|B)
پیشامد معلولیت در ازدواج غبرفامیلی 5 درصد است P(A|B')
P (B|A) = (P (A|B)*P (B))/ (P (A|B)*P (B) + P (A|B')*P (B'))
= (0.40 * 0.05) / (0.040*0.05 + 0.05*(1-0.05)) = 0.02 / (0.02 +0.0475) =0.2962
بنابراین پیشامد فامیلی بودن ازدواج در صورت معلول بودن نوزاد 29.62 درصد است .
مثال 9 : تاثیر بانک صادرکننده کارت در موفق بودن تراکنش
پیشامد صدور کارت توسط بانک ملی 25 درصد است P(B)
پیشامد ناموفق بودن تراکنش کارت بانک ملی 5 درصد است P(A|B)
پیشامد ناموفق بودن تراکنش سایر بانکها 2 درصد است P(A|B')
P (B|A) = (P (A|B)*P (B))/ (P (A|B)*P (B) + P (A|B')*P (B'))
= (0.02 * 0.25) / (0.02*0.25 + 0.02*(1-0.25)) = 0.005 / (0.005 +0.015) =0.25
بنابراین پیشامد صدور کارت توسط بانک ملی در صورت ناموفق بودن تراکنش 25 درصد است .
مثال 10 : تاثیر پراید در تصادفات جاده ای
پیشامد تولید پراید 10 درصد است P(B)
پیشامد تصادف پراید 10 درصد است P(A|B)
پیشامد تصادف سایر خودروها 5 درصد است P(A|B')
P (B|A) = (P (A|B)*P (B))/ (P (A|B)*P (B) + P (A|B')*P (B'))
= (0.10 * 0.10) / (0.10*0.10 + 0.05*(1-0.10)) = 0.01 / (0.01 +0.015) =0.40
بنابراین پیشامد پراید بودن خودروی تصادفی 40 درصد است .
