آیا تا به حال فکر کردهاید که تمام دنیای پیچیده ریاضیات، با همه شاخهها و فرمولهایش، بتواند بر روی یک ایدهی واحد و به ظاهر ساده ساخته شود؟ این ایده، که به نظریه مجموعهها (Set Theory) معروف است، تلاشی بلندپروازانه برای یافتن سنگبنایی بود که بتواند تمام ساختار علم اعداد را بر دوش بکشد. نظریه مجموعهها با یک مفهوم پیش پا افتاده شروع میشود: گردآوری چند چیز مختلف در کنار هم. اما همین مفهوم ساده، به ابزاری آنچنان قدرتمند تبدیل شد که کل ریاضیات مدرن بر پایههای آن ایستاده است.
این نظریهی ساده به سرعت به سراغ یکی از قدیمیترین غولهای ریاضیات رفت: مفهوم بینهایت. تا پیش از گئورگ کانتور، بینهایت یک مفهوم فلسفی مبهم بود. اما روش کانتور به طرز شگفتانگیزی ساده بود: او گفت برای مقایسه اندازه دو مجموعه بینهایت، کافی است اعضایشان را دانه به دانه با هم جفت کنید. برای مثال، میتوان هر عدد طبیعی را با یک عدد زوج جفت کرد (۱ با ۲، ۲ با ۴، ۳ با ۶ و الی آخر) و هیچکدام کم نمیآیند! این یعنی با اینکه اعداد زوج زیرمجموعهای از اعداد طبیعی هستند، اما اندازه بینهایتشان یکی است. اینجاست که مغز آدم سوت میکشد! کانتور سپس ثابت کرد که برخی بینهایتها، مانند مجموعه اعداد حقیقی (اعشاری)، آنقدر بزرگتر هستند که جفت کردنشان با اعداد طبیعی غیرممکن است و همیشه کلی عدد اضافه میآید. بله، بینهایتهایی بزرگتر از بینهایت وجود دارند!
اما درست زمانی که به نظر میرسید ریاضیدانان به پایدارترین اساس علم دست یافتهاند، یک فاجعه از راه رسید. یک منطقدان بزرگ به نام گوتلوب فرگه در حال تکمیل شاهکار زندگیاش بود که تمام حساب را بر نظریه مجموعهها بنا میکرد. درست در روزهای پایانی، نامهای از یک فیلسوف جوان به نام برتراند راسل به دستش رسید. این نامه حاوی یک سؤال ساده بود که مانند بمب، کل ساختمان فکری فرگه را با خاک یکسان کرد. این سؤال که به پارادوکس راسل مشهور شد، یک تناقض ویرانگر را در قلب نظریه مجموعهها آشکار کرد و ریاضیات را در آستانهی یک بحران بنیادی تمامعیار قرار داد.
شاید به نظر برسد این بحثهای انتزاعی از زندگی روزمره ما دور هستند، اما اینطور نیست. منطقی که برای نجات ریاضیات از آن بحران ساخته شد، امروز به «سیستم عامل پنهان» دنیای مدرن تبدیل شده است. از دیتابیسهایی که اطلاعات شما را ذخیره میکنند تا موتورهای جستجویی که هر روز از آنها استفاده میکنید، همگی در قلب خود بر پایهی منطق نظریه مجموعهها کار میکنند. حتی فیلسوفها از آن برای تحلیل دقیق زبان بهره میبرند.
داستان کامل این انقلاب ریاضی، از معمای بینهایتهای کانتور تا راهحلی که ریاضیات را نجات داد، در ویدیوی جدید ما در کانال یوتیوب Staiblocks منتظر شماست. تماشا کنید:
نظریه مجموعهها به زبان ساده: از بینهایتِ کانتور تا اصول ZFC
