در این پست سعی می کنم تا داستانی در مورد ریاضیات نقل کنم و این سوال را بپرسم که آیا ریاضیات آن ساختمان محکم و خلل ناپذیری است که ما تصور می‌کنیم؟ آیا ممکن است قضیه ای در ریاضیات وجود داشته باشد که ما هیچگاه نتوانیم آن را ثابت کنیم؟ آیا ممکن است که سالها با یک حوزه از ریاضی کار کنیم و ناگهان در آن سیستم ریاضی یک تناقض یا پارادوکس ظاهر شود؟
در تصورما ریاضیات و شاخه‌های مربوط به آن مانند هندسه حوزه‌‌هایی هستند که خللی در آنها وجود ندارد. وقتی ما از اثبات یک قضیه صحبت می‌کنیم از فرایندی صحبت می‌کنیم که هیچ خللی در آن وجود ندارد و با اطمینان از درستی اثبات و آن قضیه صحبت می‌کنیم.
اولین باری که همه ما شاید کلمه اصول موضوعه به گوشمان خورده باشد در آشنایی با هندسه اقلیدسی در دبیرستان بوده است. جایی که شاید با کمی تعجب متوجه شدیم که برای داشتن یک سیستم ریاضی باید یک تعدا اصل موضوعی داشته باشیم و اگر نه هیچ وقت نمی‌توانیم چیزی را اثبات کنیم. چون در هر فرایند اثبات ما به قضایای پایه‌ای تر مراجعه می کنیم و یک جایی در این ارجاعات باید درستی اصولی را بدون اثبات بپذیریم.
اگر یادتان باشد هندسه اقلیدسی - آن گونه که به ما آموزش داده شد - دارای ۵ اصل بود:
از میان این ۵ اصل اصل آخر برای قرن‌ها اعصاب ریاضی دانان را خرد کرده بود و فکر می‌کردند به نحوی می‌توان اصل آخر را اثبات کرد ( یعنی از دیگر اصول نتیجه گرفت) و نیازی نیست که اصل دیگری در این میان باشد.
اما وقتی هندسه‌های نااقلیدسی پدید آمدند که در نهایت تفاوتشان در اصل پنجم بود.
گوتلوب فرگه که منطق مدرن ریاضی را پایه گذاری کرد، مدعی شد که همه ریاضیات قابل تقلیل داده شدن به منطق است. در سال ۱۸۸۹ جوزپه پیانو (Giuseppe Peano) ۵ اصل موضوعی بنیان نهاد که حساب اعداد طبیعی را شکل می‌داد. بر اساس همین اصول برتراند راسل و وایتهد کتاب Pricncipia Mathematica را نوشتند که به چنان دقتی در منطق پایبند بود که تقریبا ۷۰۰ صفحه کتاب به اثبات این قضیه پرداخته می‌شود که ۱+۱ با ۱ برابر نیست.
فرمالیسم در ریاضیات قصد دارد تا قضایای ریاضی را به یک زبان فرمان از سمبل ها تبدیل کند که بتوان آنها را به اصول موضوعه تقلیل داد. در حال ایده‌آل سیستم فرمال باید کامل و سازگار باشند. یک سیستم کامل است اگر بتوان ادعا کرد که هر قضیه درست در آن قابل اثبات است. همچنین یک سیستم سازگار است اگر اصولش به یک تناقض یا پارادوکس منتهی نشوند.
دیوید هیلبرت پیامبر فرمالیست ها بود. هیلبرت - که شاید او را بتوان معروف ترین ریاضی دان قرن بیستم نامید - در موقعیت‌های مختلف مسائلی پایه‌ای در ریاضیات مطرح می‌کرد که در کلیت پروژه هیلبرت را ایجاد می‌کردند. پروژه هیلبرت این بود که فرمالیسمی برای کل ریاضیات ایجاد کند و در کنار آن به یک روش خودکار برای اثبات همه قضایای ریاضی دست یابد. به عبارتی بنیانی برای ریاضی که هم سازگار باشد و هم کامل و هم تصمیم پذیر. در ادامه خواهیم دید که تمام این کاخ آرزو به تمامی با خاک یکسان شد.
ریاضی دان جوانی به نام کورت گودل به تنهایی زلزله‌ای در فرمالیسم ریاضیات ایجاد کرد. گودل همان شخصی است که عکسش را در تبلیغات گاج به اسم دکتر حسابی به ما غالب کرده بودند.
در سال ۱۹۳۰ گودل قضیه اول خود را اعلام کرد. این قضیه اثبات می‌کند که ریاضیات نمی‌تواند به مجموعه ای از اصول موضوعه تقلیل پیدا کند. بیان نه چندان دقیق این قضیه به صورت زیر است:
در صورتی که یک سیستم ریاضی داشته باشیم که بتوان در آن حساب (اعداد طبیعی) را تعریف کرد. در آن بینهایت جمله درست وجود دارد که نمی‌توان با اصول آن دستگاه آن را اثبات کرد.
این که در یک سیستم ریاضی گزاره درستی وجود داشته باشد که نتوان اثباتش کرد در نگاه اول مشکلی ایجاد نمی‌کند. چرا که می‌توان این گزاره را به اصول موضوعی سیستم اضافه کرد. ولی وقتی بی نهایت از این گزاره ها وجود دارند نمی‌توان یک دستگاه ریاضی را با تعداد متناهی اصل موضوعی بیان کرد.
این قضیه تیر خلاصی بود به قلب پروژه فرمالیسم ریاضی. هیچ راهی برای جا خالی دادن برای فرمالیست‌ها باقی نمی‌گذاشت.
سال بعد گودل قضیه دوم خود را نیز به اثبات رساند. که ثابت می‌کند با اصول موضوعه خود دستگاه ریاضی نمی‌توان ثابت کرد که در دستگاه پارادوکس وجود ندارد. به عبارتی سازگار بودن یک دستگاه ریاضی هم قابل اثبات با خودش نیست.
این دو قضیه دو پایه از سه پایه پروژه هیلبرت را کاملا نابود ساختند. حالا نوبت آلان تورینگ بود که پایه تصمیم پذیری را نابود کند.
پایه آخر که تصمیم پذیر بودن هم توسط آلان تورینگ نابود شد.این مسئله تصمیم پذیری به Entscheidungsproblem معروف است. هدف آن این است که الگوریتمی ارائه دهیم که اگر اصول اولیه یک دستگاه را به آن بدهیم به همراه یک قضیه که به زبان آن دستگاه بیان شده باشد بتواند در نهایت بگوید که از اصول اولیه داده شده آیا قضیه داده شده نتیجه می‌شود یا نه. تورینگ با ارائه یک تعریف دقیق از الگوریتم و تصمیم پذیری ثابت کرد که مسائلی (مانند Halting Problem) وجود دارند که نمی‌توان برای آنها الگوریتمی ایجاد کرد. به بیان دیگر تورینگ اثبات کرد که نمی‌توان از این که یک الگوریتم در نهایت حتما به خروجی منتهی می‌شود یا برای همیشه در حال اجرا خواهد بود مطمئن شد.
در نهایت فرمالیسم با این سه قضیه به بن بستی سخت برخورد کرد. حال سوال این است که تصور ما از دستگاهای ریاضی که دقتی بی نظیر دارند کاملا زیر و رو شده است.
