هر بازه شامل عدد حقیقی x0 را یک همسایگیx0 می نامیم. به طور مثال بازه (4و1) یک همسایگی عدد 2 است زیرا : (1,4)∋2
اگر بازه (a,b) یک همسایگی x0 باشد به مجموعه {a,b)-{x0) یک همسایگی محذوف x0 گفته می شود.
اگر r>0 ، در این صورت بازه (x0 ,r+ x0) یک همسایگی راست x0 و به بازه (x0-r , x0) یک همسایگی چپ x0 گفته می شود.
شرط آنکه در تابع f داشته باشیم +x→a یا –x→a آن است که تابع f در همسایگی راست یا چپ نقطه a تعریف شده باشد.
همچنین شرط آنکه در تابع f داشته باشیم x→a، آن است که تابع f در یک همسایگی یا همسایگی محذوف نقطه a تعریف شده باشد.
فرض کنید تابع f در یک همسایگی یا همسایگی محذوف نقطه a تعریف شده باشد.
اگر زمانی که متغیر x با مقادیر بیشتر یا کمتر از a به عدد a نزدیک می شود، مقادیر y یا (f(x به عدد L نزدیک شوند، می گوییم حد تابع f وقتی x→a برابر با L است.
حد راست تابع
فرض کنید تابع f در یک همسایگی راست نقطه a تعریف شده باشد.
اگر زمانی که +x→a آنگاه مقادیر y یا (f(x به عدد L نزدیک شوند، می گوییم حد راست تابع f در x=a برابر با L است.
حد چپ تابع
فرض کنید تابع f در یک همسایگی چپ نقطه a تعریف شده باشد.
اگر زمانی که –x→a آنگاه مقادیر y یا (f(x به عدد L نزدیک شوند، می گوییم حد چپ تابع f در x=a برابر با L است.
شرط آنکه تابع f، در x=a دارای حد باشد آن است که:
1- تابع f در همسایگی یا همسایگی محذوف a تعریف شده باشد.
2- حد چپ و راست تابع f در a موجود و با هم برابر باشند.
در حالت های زیر تابع f، در x=a حد ندارد:
1- تابع f در هیچ همسایگی محذوف نقطه a تعریف نشده باشد.
2- حد چپ و راست تابع f در a موجود ولی با هم برابر نباشند.
3- حداقل یک از حدهای چپ یا راست تابع f در نقطه a موجود نباشد.
نکته: شرط لازم برای اینکه تابع f در نقطه به طول a دارای حد باشد، آن است که تابع f حداقل در یک همسایگی محذوف نقطه a تعریف شده باشد.
?
فرض کنیدlim(x→a)f(x)=L در این صورت:
1- اگر L عدد صحیح نباشد آنگاه [lim(x→a)[f(x)]=[L
2- اگر L عدد صحیح باشد، آنگاه باید مشخص کنیم که وقتی +X→a یا –X→a یا X→a، تابع (x)f به کدام یک از مقادیر +L یا –L یا L نزدیک می شود و بر اساس آن حاصل حد را به دست آوریم.
به طور کلی برای محاسبه (lim(x→a)fog(x اگر lim(x→a)g(x)=b باشد، حتما باید مشخص کنیم که عدد b، کدام یک از عددهای –b یا +b یا b مطلق است، سپس با استفاده از آن به ترتیب (lim(x→b+ )f(x یا (lim(x→b_ )f(x) را به دست آوریم.
?
اگرهر یک از حالت های فوق در محاسبه حد یک تابع پیش آید، آن حد موجود نمی باشد.
در واقع این حالت ها زمانی رخ می دهند که تابع در هیچ همسایگی یا همسایگی محذوف نقطه مورد نظر تعریف نشده باشد.
بی نهایت
نماد های +∞ و -∞ اعداد حقیقی نیستند و یک مفهوم حدی هستند که به ترتیب از هر عدد مثبتی بزرگتر و از هر عدد منفی ای کوچکتر می باشند.
یکی از حالت هایی که منجر به حد بی نهایت می شود، عدد تقسیم بر صفر حدی است.
نکته: اگر حاصل حد نامتناهی شود، آن حد موجود نیست.
اگر در یک همسایگی راست یا چپ و یا همسایگی محذوف a، تابع f دقیقا با مقدار ثابت c برابر باشد، آنگاه در این همسایگی تابع f برابر c مطلق است.
صفر یا هر عدد دیگری که از جز صحیح بیرون بیاید مطلق است.
در رفع ابهام حالت 0/0 معمولاً از روش های حذف عامل ابهام، هوپیتال، هم ارزی و تغییر متغیر استفاده می کنیم.
روش اول: حذف عامل ابهام lim(x→a)(f(x))/(g(x))=0/0
الف: اگر توابع f , g چند جمله ای باشند، به کمک فاکتور گیری، تجزیه یا تقسیم توابع fوg بر عامل ابهام x-a این عامل را در صورت و مخرج کسر تولید و سپس آن را حذف کرده و حاصل حد را می یابیم.
ب: هرگاه حداقل یکی از توابع fو g عبارت رادیکالی باشند، برای تولید عامل صفر کننده x-a و رفع ابهام حد، میتوان صورت و مخرج کسر را در عامل گویا کننده عبارت رادیکالی ضرب کرد.
پ: اگر حداقل یکی از توابع f یا g مثلثاتی باشد، با استفاده از روابط و اتحادهای مثلثاتی صورت یا مخرج را آنقدر ساده می کنیم تا عاملی که باعث صفر شدن صورت و مخرج می شوند، در صورت و مخرج ظاهر گردد.
پس از حذف آن ، حاصل حد را به کمک قضایای حد محاسبه میکنیم.
فرض کنید توابع f و g در همسایگی محذوف نقطه x=a مشتق پذیر بوده و ‘g در هر نقطه از این همسایگی مخالف صفر باشد و lim(x→a)(f(x))/(g(x))=0/0 در این صورت:
(lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f′(x)/g′(x
نکته: قاعده هوپیتال برای حدود چپ و راست نیز برقرار باشد.
نکته: در صورت برقراری شرایط، میتوان هر تعداد بار که لازم باشد از قاعده هوپیتال استفاده کرد.
هم ارزی کم توان: وقتی متغیر یک عبارت جبری به صفر میل می کند، آن عبارت با جمله ای از خود که دارای کمترین توان باشد، هم ارز است. این هم ارزی به هم ارزی کم توان معروف است.
روش چهارم: تغییر متغیر
یکی از روش های رفع ابهام و محاسبه حدود، استفاده از تغییر متغیر است.
متغیر جدید باید به گونه ای انتخاب شود که با جایگذاری آن بتوان حد مورد نظر را به یک حد مقدماتی یا حدی که محاسبه آن ساده تر است، تبدیل نمود.
این که چه عبارتی را بتوان به عنوان متغیر جدید اختیار کنیم، به نوع تابع و نقطه ای که حد تابع در آن مورد نظر است بستگی دارد.
فرض کنیم تابع f در همسایگی یا همسایگی محذوف x=a تعریف شده باشد. در این صورت:
الف) ∞+=(lim(x→a)f(x به این معنی است که میتوانیم (f(x را به میزان دلخواه (هر چه قدر که بخواهیم) از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم، به شرطی که X را به اندازه کافی به نقطه a نزدیک کرده باشیم.
ب) ∞-=(lim(x→a)f(x به این معنی است که میتوانیم (f(x را به میزان دلخواه (هر چه قدر که بخواهیم) از هر عدد منفی کوچکتر کنیم، به شرطی که X را به اندازه کافی به نقطه a نزدیک کرده باشیم.
الف: اگر زمانی که +x→a مقادیر (f(x بدون هیچ محدودیتی افزایش (یا کاهش) یابد و از هر عدد مثبت (یا منفی) دلخواهی، بزرگتر (یا کوچکتر) شود،آنگاه می گوییم حد راست تابع f در x=a برابر +∞ یا (-∞) است.
ب: اگر زمانی که –x→a مقادیر (f(x بدون هیچ محدودیتی افزایش (یا کاهش) یابد و از هر عدد مثبت (یا منفی) دلخواهی، بزرگتر (یا کوچکتر) شود،آنگاه می گوییم حد چپ تابع f در x=a برابر +∞ یا (-∞) است.
نکته: اگر ∞+=(lim(x→a+ )f(x)= lim(x→a- )f(x) آنگاه ∞+=(lim(x→a)f(x
نکته: اگر ∞-=(lim(x→a+ )f(x)= lim(x→a- )f(x) آنگاه ∞-=(lim(x→a)f(x
نکته: با وجود این که حدود چپ و راست با هم برابر هستند ولی حد موجود نیست زیرا -∞ و +∞ اعداد حقیقی نیستند.
فرض کنید ∞-∞=((lim(x→a)(f(x)-g(x در این صورت اکثر اوقات با مخرج مشترک گرفتن بین توابع fوg می توان حد را به صورت مبهم 0/0 تبدیل نموده و سپس از آن رفع ابهام نمود.
البته در مواردی نیز بدون عمل مخرج مشترک گیری و البته با ساده کردن ضابطه تابع و تبدیل حالت ∞-∞ به حالت 0/0 از حد رفع ابهام می کنیم.
حد در بی نهایت
فرض کنیم تابع f در بازه (+∞,a) یا بازه (a ,-∞) تعریف شده باشد، اگر هنگامی که متغیر x از هر عدد مثبت (یا منفی) دلخواهی بزرگتر (یا کوچکتر) می شود، مقادیر (f(x به عدد منحصر به فرد L نزدیک شوند، می گوییم حد در بی نهایت تابع f برابر L است:
lim(x→±∞) f(x)=L
نکته : وقتی می نویسیم lim(x→+∞)f(x)=L یا lim(x→-∞)f(x)=L منظور این است که مقادیر (f(xرا هر چه قدر که بخواهیم می توانیم به عدد L نزدیک کنیم به شرط آنکه x های عضو دامنه تابع f را به قدر کافی بزرگ یا کوچک اختیار کنیم.
به حدهایی به شکل ∞+=(lim(x→+∞)f(x و ∞+=(lim(x→-∞)f(x و
∞-=(lim(x→+∞)f(x و ∞-=(lim(x→-∞)f(x که در آنها هم X و هم (f(x به -∞ یا +∞ نزدیک می شوند، حد بی نهایت در بی نهایت گفته می شود.
هم ارزی پر توان: حد هر چند جمله ای به صورت زیر در ∞± برابر حد جمله ای از آن است که دارای بزرگترین درجه می باشد. یعنی :
lim(x→±∞)(ax^n+bx^(n-1)+…+1)=lim(x→±∞)axn
مهمترین حالت مبهم وقتی ∞±→x، حالت ∞/∞ است که برای رفع ابها آن می توان از روش فاکتور گیری یا هم ارزی استفاده کرد.
رفع ابهام حالت ∞-∞ وقتی∞±→x
فرض کنیم ∞-∞=(lim(x→±∞)f(x)-g(x در این صورت:
الف) اگر fو g توابع کسری باشند، به کمک مخرج مشترک گرفتن بین این دو تابع، حد را به صورت ∞/∞ تبدیل کرده و از آن رفع ابهام می کنیم.
ب) اگر حداقل یکی از تابع F و g رادیکالی باشند، میتوان عبارت را در عامل گویا کننده عبارت رادیکالی ضرب و بر آن تقسیم کرد تا به حالت مبهم ∞/∞ تبدیل شود و سپس از آن رفع ابهام کرد.
رفع ابهام حالت 0×∞ وقتی ∞±→x
برای رفع ابهام این حالت، در صورتی که شرایط مهیا باشد، سعی می کنیم از هم ارزی های خوانده شده استفاده کنیم و چنانچه نتوانستیم از هم ارزی ها استفاده کنیم از یکی از تبدیلات زیر استفاده می کنیم:
(lim(x→±∞)f(x)×g(x)=lim(x→±∞)f(x)/1/g(x
(lim(x→±∞)f(x)×g(x)=lim(x→±∞)g(x)/1/f(x
با این تبدیلات به یکی از حالت های ∞/∞ یا 0/0 می رسیم و با استفاده از روش های خوانده شده حد را می یابیم.
مجانب قائم: خط x=a را مجانب قائم نمودار تابع f گوییم هرگاه یکی از حالت های زیر اتفاق بیفتد:
∞+=(lim(x→a+ )f(x
∞+=(lim(x→a- )f(x
∞-=(lim(x→a+ )f(x
∞-=(lim(x→a- )f(x
نکته: اگر x=a مجانب قائم نمودار تابع f باشد، آنگاه حاصل حد تابع f، حداقل در یک از همسایگی چپ یا راست x=a نامتناهی است و بالعکس.
نکته: توابعی که برد محدود دارند، مجانب قائم ندارند.
نکته: توابع کسری، لگاریتمی و نمایی به شکل(f(x)=cg(x که در آن تابع g کسری یا لگاریتمی بوده و 0<c≠1 معروفترین توابعی هستند که میتوانند مجانب قائم داشته باشند.
نکته: در توابع کسری اگر مخرج کسر تابعی پیوسته باشد، ریشه های مخرج کسر کاندیدای بررس مجانب قائم هستند.
اگر x=a ریشه مخرج تابع کسری باشد،آنگاه x=a مجانب قائم نمودار تابع f است.مگر آنکه یکی از دو حالت زیر اتفاق بیوفتد:
الف: تابع f در هیچ یک از همسایگی ها ی چپ یا راست x=a تعریف نشده باشد، این حالت اغلب در توابع شامل رادیکال اتفاق می افتد.
ب: x=a ریشه صورت کسر نیز باشد، و حالت مبهم 0/0 اتفاق بیوفتد و پس از رفع ابهام در هیچ یکی از حالت های +x→a یا –x→a نامتناهی نشود.
نکته: اگر پس از رفع ابهام حاصل حد چپ یا راست تابع f در x=a نامتناهی شود، باز هم x=a مجانب قائم نمودار تابع f است.
مجانب افقی
خط y=b را مجانب افقی نمودار تابع f گوییم، هرگاه حداقل یکی از حالت های زیر افاق بیوفتد:
الف: lim(x→+∞)f(x)=b
ب: lim(x→-∞)f(x)=b
نکته: توابعی که دامنه محدود دارند، مجانب افقی ندارند.
نکته: یک تابع حداکثر دارای دو مجانب افقی و در هر یک از شاخه های +∞ و ∞- حداکثر دارای یک مجانب افقی می باشد.
اگر x=a مجانب قائم و y=b مجانب افقی نمودار تابع F باشد، محل تلقی این مجانب ها نقطه (A(a,b خواهد بود.
می گوییم تابع f در نقطه a پیوسته است، هر گاه سه شرط زیر به طور همزمان برقرار باشند:
الف: تابع f در a تعریف شده باشد.
ب: حد تابع f در a موجود باشد.
پ : مقدار حد تابع f در a با مقدار (f(a برابر باشد.
شرایط ناپیوستگی در یک نقطه:
تحت شرایط زیر تابع f در نقطه به طول a ناپیوسته است:
الف: تابع f در x=a تعریف نشده باشد.
ب: تابع f در x=a حد نداشته باشد.
پ: تابع f در نقطه x=a تعریف شده باشد و (lim(x→a)f(x نیز موجود باشد ولی
(lim(x→a)f(x)≠f(a
پیوستگی های یک طرفه در یک نقطه
پیوستگی راست: فرض کنید تابع f در نقطه x=a و نیز همسایگی راست آن تعریف شده باشد، در این صورت تابع f در x=a از راست پیوسته است یا پیوستگی راست دارد هرگاه:
(lim(x→a+ )f(x)=f(a
پیوستگی چپ: فرض کنید تابع f در نقطه x=a و نیز همسایگی چپ آن تعریف شده باشد، در این صورت تابع f در x=a از چپ پیوسته است یا پیوستگی چپ دارد هرگاه:
(lim(x→a- )f(x)=f(a
نکته: تابع f در x=a پیوسته است، اگر و تنها اگر تابع f در x=a از چپ و راست پیوسته باشد.
الف: تابع f را بر بازه (a,b) پیوسته گوییم، هرگاه در هر نقطه از بازه (a,b) پیوسته باشد.
ب: تابع f را بر بازه بسته [a,b] پیوسته گوییم، هرگاه در تمام نقاط بازه (a,b) پیوسته باشد و در a پیوستگی راست و در b پیوستگی چپ داشته باشد.
پ: تابع f را بر بازه (a,b] پیوسته گوییم، هرگاه در هر نقطه از بازه (a,b) پیوسته باشد , درa پیوستگی راست داشته باشد.
ب: تابع f را بر بازه بسته [a,b) پیوسته گوییم، هرگاه در تمام نقاط بازه (a,b) پیوسته باشد و در b پیوستگی چپ داشته باشد.
نکته: ممکن است تابع f روی بازه [a,b] پیوسته باشد ولی در نقاط a یا b پیوسته نباشد.
در واقع وقتی پیوستگی تابع f روی بازه [a,b] مدنظر باشد، در ابتدا و انتهای بازه، پیوستگی به معنای پیوستگی یک طرفه خواهد بود، اما وقتی پیوستگی تابع fدر تمام نقاط بازه [a,b] مد نظر باشد در همه نقاط این بازه و به خصوص در a و b نیز تابع باید از چپ و راست پیوسته باشد.
به طور مشابه ممکن است تابع f در هر یک از بازه های [a,b) یا (a,b] پیوسته باشد ولی به ترتیب در نقاط a یا b از این بازه ها پیوسته نباشد.
1- توابع چند جمله ای: این توابع روی R پیوسته اند.
2- توابع کسری گویا: این توابع در ریشه های مخرج ناپیوسته اند و روی دامنه خود پیوسته اند.
3- توابع مثلثاتی: توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس روی R و در نتیجه روی هر بازه ای پیوسته اند.
همچنین توابع تانژانت و کتانژانت به دلیل کسری بودن در ریشه های مخرج کسر ناپیوسته اند و در بقیه نقاط پیوسته می باشند.
پس این دو تابع در هر بازه ای که زیر مجموعه دامنه آنها باشد، پیوسته می باشند.
4- توابع رادیکالی به صورت (F(x)=√g(x)
اگر تابع g، تابعی پیوسته مانند توابع چند جمله ای باشد، آنگاه تابع f روی هر بازه مانند I که I⊆Df باشد پیوسته است.
5- توابع چند ضابطه ای: نقاط ناپیوستگی این توابع معمولاً به یکی از دو صورت زیر است:
الف: نقاطی که هر یک از ضابطه ها باتوجه به دامنه تعریف خود در آن نقاط ناپیوسته است.
ب: احتمالاً نقاط مرزی تابع که باید پیوستگی در این نقاط بررسی شود.
4- توابع شامل جز صحیح: فرض کنید توابع f و g در x=a پیوسته باشند.
در این صورت تابع [(h(x)=g(x)[f(x فقط در سه حالت زیر در x=a پیوسته و در سایر حالات در این نقطه ناپیوسته می باشد.
الف: f(a)∉Z
ب: f(a)∈Z و g(a)=0 در این حالت به تابع (g(x عامل صفر کننده می گویند.
پ: f(a)∈Z و برای هر x در یک همسایگی x=a و(f(x)≥f(a باشد. در این حالت به x=a نقطه مینیمم نسبی تابع f می گویند.
