کلیات اقتصاد خرد - جلسه ششم - هزینه تولید

منبع این پست سخنرانی ششم دوره کلیات اقتصاد خرد دانشگاه ام‌ای‌تی MIT 14.01 Principles of Microeconomics, Fall 2018 است. این دوره مقدماتی، مبانی اقتصاد خرد را پوشش می‌دهد. موضوعات شامل عرضه و تقاضا، تعادل بازار، نظریه مصرف‌کننده، تولید و رفتار بنگاه‌ها، انحصار کامل، انحصار چندجانبه، اقتصاد رفاه، کالاهای عمومی و اثرات جانبی است. لینک کورس در MITOPENCOURSEWARE

در جلسه قبل نظریه رفتار تولیدکننده را آغاز کردیم و گفتیم که به دنبال این هستیم که منحنی عرضه را استخراج کنیم. همچنین، دیدیم که بنگاه‌ها به دنبال این هستند که سود خود را از طریق حداقل‌سازی هزینه‌ها حداکثر کنند. در این جلسه به هزینه‌ برمی‌گردیم و به دنبال این هستیم که منحنی هزینه را برای کوتاه‌مدت و بلندمدت رسم کنیم. فقط توجه داشته باشید که در این جلسه ما از همان تابع تولید معمول خودمان استفاده می‌کنیم:

q = (L*K)**1/2

هزینه در کوتاه‌مدت

در کوتاه‌مدت، با دو نوع متفاوتی از هزینه روبه‌رو هستیم: هزینه‌های متغییر (Variable Costs) و ثابت (Fixed Costs). در جلسه قبل عامل ثابت و متغییر تولید را معرفی کردیم و گفتیم که در کوتاه‌مدت نیروی کار عامل متغیر است و سرمایه عامل ثابت. از همین مفهوم استفاده می‌کنیم تا هزینه ثابت و متغیر را معرفی کنیم. هزینه متغیر همان دستمزد کارگران است و هزینه ثابت نرخ اجاره‌ای سرمایه:

Total Costs (TC) = Variable Costs + Fixed Costs

C = r * K-bar + w * L

دستمزد ساعتی را اینجا با w (wage) نشان داده‌ایم و نرخ اجاره‌ای را با r (rental rate) نشان می‌دهیم. اما سوال اینجاست که چرا ما اجاره سرمایه را در نظر می‌گیریم و نه خرید آن را؟ دلیلش این است که ما دوره‌ای کوتاه از زمان را درنظر می‌گیریم و فقط تاثیرات در این زمان یا تناوب در نظرمان است. از همین رو استفاده از هزینه خرید جایز نیست و استفاده از نرخ اجاره‌ای، چشم‌انداز بهتری را به ما می‌دهد.

بیایید به تابع تولیدمان برگردیم و از آن برای به دست آوردن منحنی هزینه کوتاه‌مدت استفاده کنیم. برای اینکار ما عامل متغیر را بر حسب عامل ثابت می‌نویسیم یا به عبارت دیگر L را بر حسب K می‌نویسیم:

q = (L*K-bar)**1/2 -> q**2 = L*K -bar -> L = q**2/K-bar (I)

C = w * L + r * K-bar (II)

(I), (II) -> C = w * q**2/K-bar + r *K-bar

اکنون اگر در نظر بگیریم که دستمزد 5 دلار و نرخ اجاره‌ای 10 دلار است و ما در سطح K-bar = 1 تولید می‌کنیم، خواهیم داشت:

C = 5q**2 + 10

بنابراین ما تابع هزینه در کوتاه‌مدت را به دست آوردیم. ببینید این تابع به خودی خود به درد ما نمی‌خوره، اما می‌توانیم مشتقات این تابع را به عنوان ابزار استفاده کنیم. اما قبل از آن بیایید هزینه ثابت و متغیر را جدا کنیم. به تابع هزینه دقت کنید، عدد 10 در اینحا هزینه اجاره سرمایه است و با افزایش تولید تغییر نمی‌کند. از طرفی عبارت 5q**2 وابسته به تولید است و با افزایش تولید، افزایش می‌یابد. بنابراین:

TC = 5q**2 + 10

VC = 5q**2

FC = 10

اکنون به سراغ ابزار حاشیه‌ای می‌رویم. ابتدا با هزینه‌ کل نهایی آشنا می‌شویم که برابر است با تغییرات هزینه نهایی بر تغییرات تولید:

MTC = ΔTC/Δq

MTC = TC' = 10q

ابزار بعدی هزینه متوسط است. هزینه متوسط به این معناست که در یک سطح تولید، هزینه تولید هر واحد چه‌قدر است. به صورت گرافیکی نیز، از خط واصل از مبدا به منحنی هزینه کل در نقاط مختلف، هزینه متوسط به دست می‌آید:

ATC = TC/q

ATC = (5q**2 + 10)/q = 5q + 10/q

به همین شکل می‌توانید هزینه متغیر متوسط و هزینه ثابت متوسط را نیز به دست آوریم:

AVC = VC/q

AVC = 5q**2 /q = 5q

AFC = FC/q

AFC = 10/q

در اینجا باید به چند نکته توجه کنید. [اولاً اینکه به نظرم استفاده کردن از تابع هزینه توان‌دویی اشتباه است و معمولاً از توابع توان‌سه‌ایی استفاده می‌شود. اما به هر حال، برای راحتی کار، در اینجا از تابع توان‌دویی استفاده شده است.] دوماً به شکل منحنی AFC دقت کنید (نمودار 1). این منحنی همیشه به این شکل است و در بی‌نهایت به صفر میل می‌کند. دلیل اقتصادی مشخصی هم داره، با افزایش تولید، هزینه ثابت هر یک واحد کم و کمتر می‌شود تا به صفر برسد [حدهای در بی‌نهایت را به یاد آورید، در اینجا صورت ثابت است و مخرج متغیر و در نتیجه در q-> ∞، حد عبارت برابر با صفر است].

اما نکته بعدی در شکل منحنی AC نهفته است. اگر دقت کنید این منحنی ابتدا نزولیه و بعد صعودی. دلیل آن نیز در این است که به ابتدای کار هزینه ثابت متوسط کالا خیلی زیاد است و رفته رفته این از بین می‌رود و دیگر به جایی می‌رسد که فقط هزینه‌های متغیر روی آن تاثیر می‌گذارند. بنابراین بعد از سطحی از تولید، هزینه متوسط صعودی خواهد شد. [پیشنهاد می‌شود این بخش چند باره خوانده شود، در آینده با استفاده از این منحنی‌ها، منحنی عرضه کوتاه‌مدت را اندازه‌گیری می‌کنیم.]

هزینه در بلندمدت

خب به سراغ بلندمدت می‌رویم و به جایی که دیگر سرمایه ثابت نیست و متغیر است. بنابراین اساساً می‌خواهیم ترکیب کارآمد اقتصادی L و K را پیدا کنیم که کالاها را با حداقل هزینه تولید می‌کند. برای این کار باید با منحنی‌های هزینه یکسان (Isocost) آشنا شویم. به یاد بیاورید، منحنی‌های تولید یکسان مشابه منحنی‌های بی‌تفاوتی بودند. منحنی‌های هزینه یکسان نیز به شکلی شبیه به قید بودجه‌اند. قبل از هر چیزی، بیایید به تعریف آن بپردازیم: به مکان هندسی نقاطی که ترکیباتی از کالا با هزینه یکسان را نشان می‌دهند، منحنی هزینه یکسان گویند. به نمودار زیر نگاه کنید، منحنی اول منحنی هزینه یکسان با 50 دلار هزینه را نشان می‌دهد. تمام تقاط روی این منحنی شامل طول از مبدا و عرض از مبدا آن هزینه‌ای برابر با 50 دلار دارند. دو منحنی دیگر نیز منحنی‌های هزینه یکسان با هزینه 100 و 150 دلار را نشان می‌دهند و می‌توانید این منحنی‌ها را همینگونه ادامه بدهید و منحنی‌هایی با سطح بالاتری از هزینه را داشته باشید.

دقت کنید که مدلی که در اینجا پیاده می‌کنیم، از مدلی که در رفتار مصرف‌کننده پیاده کردیم، کمی سخت‌تر است. پایه مدل‌های یکیست اما در این مدل جدید، درجه آزادی بالاتر است. و این به دلیل این است که بنگاه خودش تصمیم می‌گیرد که چه قدر هزینه کند، اما حداقل در مدل مصرف‌کننده ما، درآمده داده شده بود و مانوری بر روی آن نمی‌دادیم.

حالا سوال اینجاست. شما بنگاهی هستید که می‌خواهید مقدار مشخصی از واحدها را اخذ کنید، شما یک تابع تولید و یک تابع هزینه دارید، چگونه ترکیب مناسبی از نیروی کار و سرمایه را برای تولید مقدار معینی از واحدها به صورت گرافیکی پیدا می‌کنید؟ دقیقاً مشابه مدل ترجیحات باید در اینجا نقطه‌ای را در نظر بگیریم که دو منحنی تولید یکسان و هزینه یکسان بر هم مماس‌اند. در چنین نقطه‌ای خواهیم داشت:

-MPL/MPK = -w/r -> MPL/w = MPK/r

آقای Gruber این تساوی را به نوع خاصی تفسیر می‌کند که به نظر خیلی در فهم این بهینه‌سازی کمک می‌کند. فرض کنید شما مدیر یک بنگاه‌اید و می‌خواهید دلار بعدی را خرج بنگاه کنید، اما نمی‌دانید این دلار خرج نیروی کار کنید یا سرمایه. چیزی که شما باید در نظر بگیرید این است که باید به نحوی عمل کنید که MPL/w برابر با MPK/r شود.

برای جا افتادن بهتر مطلب، به نمودار زیر توجه کنید. در نمودار زیر منحنی تولید یکسان 1/2**(12.5) را نشان داده است. بهتر بگوییم، این منحنی تمام ترکیباتی که به 1/2**(12.5) ختم می‌شود را نشان می‌دهد. منحنی هزینه یکسان نیز تمام ترکیباتی که 50 دلار هزینه دارند را نشان می‌دهد. و بهینه‌ترین نقطه با این سطح از تولید و با هزینه 50 دلار،‌ جایی است که این دو بر هم مماس‌اند. جایی است که ارزش اضافه‌ای که عامل تولید به بنگاه اضافه می‌کند، برابر است با قیمت آن.

تا زمانی که شیب منحنی تولید یکسان برابر یا نرخ نهایی جانشینی فنی (MRTS) برابر با w/r است باید به تجارت ادامه دهید. بیایید MRTS یا شیب منحنی تولید یکسان را محاسبه کنیم:

MPL = ΔL/Δq = 0.5k/(K*L)**1/2

MPK = ΔK/Δq = 0.5L/(K*L)**1/2

MRTS = -MPL/MPK = - ( 0.5k/(K*L)**1/2 ) / ( 0.5L/(K*L)**1/2 ) = - K/L

از طرفی در بالا گفتیم که MRTS باید برابر باشد با نسبت -w/r و در این مسئلع دستمزد برابر است با 5 دلار و نرخ اجاره‌ای با 10 دلار:

MRTS = -K/L, MRTS = -w/r ---> -K/L = - w/r --(w=5$, r=10$)-->

K/L = 1/2 --> K = 1/2L

بنابراین در این مثال، در نقطه بهینه تعداد واحد سرمایه برابر است با نصف واحد نیروی کار. اکنون به نمودار بالا (نمودار3) توجه کنید. در اینجا نیز در نقطه بهینه تعداد واحد K نصف تعداد واحد L است (K=2.5, L=5).

خب، نتیجه این بهینه‌سازی چیست؟ در اینجا تابع تولید به گونه‌ای است که بهره‌وری عوامل یکسانه و به همین دلیل است که نرخ نهایی جانشینی فنی برابر شد با K/L. پس این قسمت Productivity عوامل را با هم مقایسه می‌کند. از طرفی قیمت سرمایه فیزیکی (فرض کنید ماشین) دو برابر نیروی کار است و این دو محصول یکسانی را به تولید اضافه می‌کنند. بنابراین، نسبت نیروی کار به نیروی سرمایه شما باید برابر با 2 باشد.

حال ما توان ابزارها را برای استخراج منحنی هزینه بلندمدت داریم و آن را در پنج مرحله انجام می‌دهیم:

(1): q = (L*K)**1/2

(2): MRTS = -w/r ---> -K/L = -1/2 ---> K = 1/2 L

(3): (1), (2) ----> q = (1/2L**2)**1/2 ----> L = (2**1/2)*q

(4): L = (2**1/2)*q --(K = 1/2L)---> K = ((2**1/2)/2)*q

(5): C = w*L + r*K ---( L = (2**1/2)*q, K = ((2**1/2)/2)*q)---> C = 10*(2**1/2)*q

به همین راحتی تابع هزینه بلند مدت را به دست آوردیم که برابر است با:

C = 10*(2**1/2)*q

این تابع با متغیر بودن هم سرمایه و هم نیروی کار به ما می‌گوید که اگر بخواهیم q واحد تولید کنیم، هزینه‌مان چه قدر است. ریاضیات این قسمت کمی سنگین است و کلید حل در این است که اگر شما تابع تولید، w و r را داشته باشید، می‌توانید تابع هزینه را به دست آورید.

اکنون بیایید اثر تغییر قیمت‌ها عوامل را بررسی کنیم. [ دقت کنید که مدل ما در اینجا خیلی ساده است و در واقعیت قیمت نهاده در بازاری مجزا تعیین می‌شود، اما ما در اینجا، این متغیرها را از قبل داشته می‌دانیم و تحلیلمان استاتیک است.] به نمودار زیر توجه کنید. در ابتدا w=5 و r=10 است و نقطه بهینه با x نمایش داده شده است. حال بیاید دستمزد را افزایش دهیم و آن را به 10 برسانیم و دوباره در همان سطح از تولید (بدون تغییر منحنی تولید یکسان) دست به بهینه‌سازی بزنیم. اتفاقی که می‌افتد این است که با افزایش دستمزدها ما تعدادی از نیروی کار را با نیروی فیزیکی جایگزین می‌کنیم. به عبارتی از 5 واحد نیروی کار، 1.5 واحد آن را با 1 واحد نیروی کار جایگزین می‌کنیم. و این دقیقاً اتفاقی است که به هنگام افزایش حداقل دستمزد با آن رو‌به‌رو می‌شویم. با افزایش دستمزد، بنگاه نیروی کار کمتری استخدام استخدام می‌کند و به استفاده از نیروی فیزیکی روی می‌آورد. [ بیایید به نکته‌ دیگری توجه کنیم. در نقطه x ما 5 واحد L و 2.5 واحد K داریم و دستمزد برابر است با 5 دلار و نرخ اجاره‌ای 10 دلار. در نتیجه، هزینه بنگاه 50 دلار خواهد بود. از طرفی، در نقطه y ما 3.5 واحد L و 3.5 واحد K داریم و دستمزد برابر است با 10 دلار و نرخ اجاره‌ای 10 دلار. در نتیجه، هزینه بنگاه 70 دلار خواهد بود. دقت کنید که هزینه تولید واحدی یکسان 20 دلار افزایش یافته است. و در جلوتر می‎‌بینیم که هزینه همان تابع عرضه است و با این کار ما قیمت تعادلی در بازار محصول را نیز افزایش دادیم. پس به طور کلی، با افزایش حداقل دستمزد، تابعات احتمالی آن، افزایش بی‌کاری و سطح عمومی قیمت‌هاست.]

اکنون می‌رسیم به منحنی مسیر توسعه. این منحنی یه چیزهایی تو مایه ICC است که از روش منحنی انگل را به دست آوردیم. به نمودار زیر توجه کنید. ما تولید را افزایش می‌دهیم، در منحنی‌های تولید یکسان بالاتری قرار می‌گیریم، و به تبع آن هزینه‌ها هم افزایش پیدا می‌کنه، و در منحنی‌های هزینه یکسان بالاتری قرار می‌گیریم. حال با استفاده از این منحنی‌ها می‌‌توانیم نقاط بهینه را به دست بیاوریم و با استفاده از این نقاط منحنی‌ مسیر توسعه را رسم کنیم. در نمودار زیر منحنی مسیر توسعه خطی است؛ یعنی نسبت نیروی‌کار با سرمایه همیشه یکسان خواهد بود. اما همیشه منحنی مسیر توسعه اینگونه نیست که ما دو حالت دیگر را در نمودارهای بعدی بررسی می‌کنیم.

منحنی مسیر توسعه زیر بنگاهی را نشان می‌دهد که در بلندمدت، به دلیل کاهش بهره‌وری سرمایه، نیروی کار را به سرمایه ترجیح می‌دهد. [ من خودم شکل این نمودار اینجوری به یاد می‌آرم. سرمایه در بلندمدت در این بنگاه بهره‌وری نداره و از یه جایی به بعد آن را ثابت نگه می‌داره، بنابراین این منحنی در بی‌نهایت به صورت افقی خواهد شد که فقط نیروی کار تغییر می‌کند.] فست‌فودی‌ها مثال مناسبی معمولاً نوع مشابه‌ای از مسیر توسعه را دارند، به گونه‌ای که از یه زمانی به بعد اضافه کردن سرمایه فیزیکی (اجاق و سرخ‌کن و اینجور چیزها) اثری ندارد، بلکه افزایش نیروی کار به نحوی که هر فرد قسمت مشخص و محدودی از کار را انجام دهد، بهره‌وری بیشتری دارد.

در مقابل در بنگاه‌هایی بهره‌وری نیروی کار در بلندمدت از بین می‌رود و بنگاه به سمت استفاده از سرمایه فیزیکی می‌رود. مثال این بنگاه‌‌ها، آن‌هایی هستند که از ماشین‌آلات زیادی استفاده می‌کنند مانند صنعت فولاد یا خودرو.

دقت کنید که این منحنی‌های مسیر توسعه به ما می‌گویند که نسبت و میزان واحد نیروی کار و سرمایه چگونه است. و این دقیقاً همان منحنی هزینه بلندمدت است. در واقع منحنی Expansion Path به ما تعداد واحد نهاده‌های تولید را می‌دهد و با استفاده آن می‌توانیم منحنی هزینه بلندمدت را رسم کنیم.

اکنون می‌رسیم به ارتباط هزینه در کوتاه‌مدت با بلندمدت. نکته در این است که در بلندمدت با داشتن درجه‌آزادی بیشتر، بهینه‌سازی بهتر رخ می‌دهد و در نتیجه منحنی هزینه بلندمدت در زیر هزینه‌های کوتاه‌مدت قرار دارد. به نمودار زیر دقت کنید. یک شرکت با سه سطح متفاوت ممکن از تولید را در نظر بگیرید. آنها قرار است یک کارخانه بسازند. سطح پایین تولید را با SRAC1 (هزینه متوسط کوتاه‌مدت 1) نشان داده‌ایم. به طور مشابه سطح متوسط را با SRAC2 و بالاترین را سطح را با SRAC3 نشان داده‌ایم. SRAC1 را با SRAC2 مقایسه کنید. چیزی که این می‌گوید این است که برای مقادیر کوچک تولید، SRAC1 زیر SRAC2 قرار دارد. یعنی در مقادیر کوچک تولید، استفاده از SRAC1 بهینه‌تر است و هزینه را کاهش می‌دهد. به سطح تولید q1 نگاه کنید. اگر شما بر روی SRAC1 باشید (نقطه a) هزینه متوسط کمتری ‌می‌دهید. حالا فرض کنیم تولید را به سطح q2 ببریم. در اینجا قرار گرفتن بر روی SRAC2 هزینه کمتری دارد تا SRAC1. بنابراین شما از SRAC2 استفاده می‌کنید و تحلیلی مشابه را می‌توان برای نقطه q3 و قرار گرفتن بر روی SRAC3 ارائه داد. بنابراین اساساً، برای سطوح مختلف تولید، منحنی‌های هزینه کوتاه‌مدت سطح بهینه متفاوتی را ارائه می دهند. اما در دراز مدت، شما باید انتخاب کنید. بنابراین منحنی هزینه متوسط ​​بلندمدت، منحنی پوششی منحنی هزینه متوسط ​​کوتاه‌مدت است. چون در درازمدت سطح تولید را می‌دانیم.

اجازه دهید سخنرانی را با مثالی از تسلا و ایلان ماسک خاتمه بدهیم. تسلا، به هنگام راه‌اندازی در سال 2017 بهدنبال ساخت 20000 خودرو در سال بود. بنابراین آنها کارخانه ای مانند SRAC1 ساختند. آنها کارخانه ای ساختند که کارخانه ای کارآمد برای تولید 20000 خودرو بود. مشکل اینجاست که تقاضا، در واقع، برای 200000 خودرو بود. و در نتیجه، یک لیست انتظار سه ساله برای دریافت تسلاس وجود دارد. معلوم شد که SRAC1 اندازه مناسبی برای تولید این حد از خودرو نیست و از حالت بهینه بسیار دور است. اما اکنون ماسک می تواند دوباره بهینه سازی کند. حالا او می گوید، یک لحظه صبر کنید. مردم خودروهای بیشتری می خواهند، پس تولید آنها در کارخانه کوچک بهینه نیست و من مجبور شدم که دست به ساخت بزرگترین کارخانه باتری در جهان بزنم. او در نوادا در حال ساخت یک کارخانه باتری سازی است که می تواند برای 500000 خودرو باتری تولید کند. بنابراین او از SRAC1 به SRAC3 تغییر مکان داد. او اکنون در درازمدت می‌گوید، من می‌توانم بیشتر - اگر قرار است 200000 خودرو تولید کنم، می‌توانم این کار را با یک کارخانه بزرگ باتری‌سازی کارآمدتر انجام دهم. اما اگر معلوم شود که تسلاس به درد نمی‌خورد و تقاضایش کاهش یافت چه؟ سپس اتفاقی که قرار است بیفتد این است که او در دراز مدت مرتکب اشتباه خواهد شد. سپس او به سطح کوچکتری از تولید برمی‌گردد. بنابراین تسلا نمونه ای از این نوع دوگانگی بلند مدت و کوتاه مدت است.

در اینجا جلسه ششم این دوره به پایین رسید. در جلسه آینده با اتمام نظریه تولید، وارد مبحث بازارها می‌شویم و کار را با بازار رقابت کامل آغاز می‌کنیم.