چند وقتی هست که در دنیا همه حواس به یک بیماری با شیوع بالا به نام COVID-19 یا همان کرونا جمع شده است. مردم از ترس جان، خودشان را در خانه ها قرنطینه کرده اند و دولت ها وضعیت هشدار فوق العاده جهانی SOS اعلام کرده اند. جالب است بدانید آخرین باری که این هشدار داده شده بود، بیش از صد سال پیش در حین جنگ جهانی اول بوده است.
در این مقاله تلاش می کنیم با بهره گیری از یک سری مفاهیم ریاضی و فرض های ساده، مدل های خوبی از نحوه شیوع بیماری های واگیردار ارائه کنیم؛ سپس به تحلیل روابط بدست آمده می پردازیم. مرجع اصلی نوشته ما، کتاب آقای باراباشی به نام network science است که در فصل 10 این کتاب، به خوبی ریاضیات و مفاهیم پایه مربوط به نحوه شیوع بیماری های اپیدمیک را توضیح می دهد. برای کسب اطلاعات بیشتر، خواندن این کتاب توصیه می شود.
به افراد سالم که تا به حال در معرض بیماری قرار نگرفته اند، S) susceptible) می گوییم. به افرادی که به این بیماری آلوده شده اند، I) infectious) می گوییم. به افرادی که این بیماری آلوده شده اند و سپس تحت درمان خوب شده اند، R) recovered) می گوییم.
در این مدل، جامعه ما تنها شامل دو جزء بیمار و سالم است. جامعه ما شامل N فرد است و در هر لحظه تعداد افراد سالم برابر با (S(t و تعداد افراد بیمار برابر با (I(t است. هر فرد بیمار با <k> فرد دیگر (چه بیمار و چه سالم) در ارتباط است و نرخ واگیری این بیماری را (یعنی احتمال بیمار شدن یک فرد سالم از یک فرد بیمار) β در نظر بگیرید.
فرض می کنیم در لحظه نخست، یک نفر در جامعه بیمار می شود. نرخ زمانی (آهنگ زمانی) بیمار شدن افراد جامعه را طبق رابطه زیر بدست می آوریم:
از این به بعد پارامتر های مسئله را به صورت کسر بیمار و کسر سالم در جامعه در نظر می گیریم:
با ساده سازی نرخ زمانی کسر بیمار شده، تنها برحسب کسر بیمار یا همان (i(t، خواهیم داشت:
کسر بیمار جامعه در لحظه نخست را (i(0 در نظر می گیریم. با انتگرال گیری از رابطه بالا، کسر بیمار جامعه در هر لحظه را بدست می آوریم:
به صورت کیفی، نمودار کسر بیمار جامعه برحسب زمان را در زیر مشاهده می کنید.
همان طور که انتظار داریم، در لحظه نخست (i(t از مقادیر بسیار کوچک شروع می کند و پس از زمانی، کل جامعه را بیمار می کند و (i(t به یک می رسد. اینکه با چه سرعتی فراگیر شود به پارامتر بیماری β و به پارامتر ارتباطی جامعه <k> بستگی دارد. اگر بیماری واگیر بالایی داشته باشد و یا افراد جامعه خیلی با هم ارتباط داشته باشند، کسر بیمار جامعه زودتر به یک می رسد.
تقاوت این مدل با مدل SI این است که افرادی از بیماری بهبود می یابند و دوباره در دسته سالم قرار می گیرند. دقت کنید که احتمال بیماری دوباره آنها وجود دارد.
حال فرض کنید بیماران با نرخ زمانی ثابت μ بهبود می یابند. با این فرض، نرخ زمانی بیمار شدن افراد جامعه را طبق رابطه زیر بدست می آوریم:
کسر بیمار جامعه در لحظه نخست را (i(0 در نظر می گیریم. با انتگرال گیری از رابطه بالا، کسر بیمار جامعه در هر لحظه را بدست می آوریم (C یک ثابت است):
به صورت کیفی، نمودار کسر بیمار جامعه برحسب زمان برای این مدل را در زیر مشاهده می کنید.
همان طور که انتظار داریم در این مدل پس از گذشت زمان های زیاد، همه افراد جامعه بیمار نخواهند شد و کسر بیمار شده همواره کمتر از 1 خواهد بود. اینکه در نهایت چه کسری از جامعه بیمار خواهد شد بستگی به ظرفیت سیستم درمانی جامعه یا همان μ، پارامتر واگیر بیماری β و به پارامتر ارتباطی جامعه <k> بستگی دارد. هر چقدر سیستم درمانی بهتری داشته باشیم و بتوانیم نرخ واگیری بیماری و ارتباط افراد جامعه با هم را کاهش دهیم، بیماری بیشتر تحت کنترل خواهد آمد و کسر کمتری از جامعه در مجموع بیمار خواهد شد. به نظر می رسد در مدل های ساده ما، بیماری کرونا بیشترین شباهت را به همین مدل دارد، زیرا افرادی که پس از بیماری بهبود می یابند، باز هم در معرض بیماری خواهند بود.
در این مدل، پارامتری به نام نرخ بازتولید بیماری به شکل زیر تعریف می کنیم:
هر چقدر که این پارامتر عدد بزرگتری داشته باشد یعنی اوضاع ما وخیم تر است. اگر این پارامتر با بهبود وضعیت درمانی و کنترل واگیری و ارتباط افراد جامعه، رو به کاهش بگذارد یعنی بیماری قابل کنترل تر می شود. اگر این پارامتر کمتر از 1 شود، بیماری کاملا تحت کنترل است و می توان آن را ریشه کن کرد. در ادامه، مقدار پارامتر بازتولید تعدادی از بیماری های معروف را مشاهده می کنید:
در این مدل افرادی که بهبود می یابند دیگر بیمار نخواهند شد و از چرخه خارج می شوند. کسر بهبود یافته از کل جامعه را با (r(t نمایش می دهیم.
نرخ زمانی به ترتیب افرادی که سالم مانده اند، افرادی که بیماره شده اند و افرادی که بهبود یافته اند را به ترتیب زیر بدست می آوریم. فرض های مسئله همانند مدل های پیشین است با این تفاوت که افرادی که بهبود می یابند دیگر به چرخه باز نخواهند گشت.
با تحلیل کیفی این مدل، نمودار شماتیک کسر بیمار، سالم و بهبود یافته جامعه برحسب زمان را در زیر مشاهده می کنید.
با توجه به نمودار بالا، همانطور که انتظار داریم در لحظه نخست همه افراد جامعه سالم و کسر بیمار و بهبود یافته صفر هستند. به مرور زمان و با شیوع اپیدمی کسر سالم جامعه افت می کند تا به صفر برسد. در این هنگام کسر بیمار جامعه رشد کرده، به یک بیشینه می رسد و سپس به علت وارد شدن سیستم درمانی، کسر بیمار شده دوباره افت می کند تا به صفر برسد. کسر بهبود یافته هم به مرور زمان افزایش می یابد تا همه افراد جامعه را در برگیرد و همه بهبود یابند.
در نمودار زیر به صورت شماتیک، کسر بیمار جامعه بر حسب زمان را در سه مدل SIS، SI و SIR مشاهده می کنید:
در جمع بندی زیر سه مدل ارائه شده را همراه با نتایج می بینیم:
در قدم بعدی دقیق کردن مدلسازی، جامعه را متشکل از گروه هایی (یا راس) در نظر می گیریم که در هر یک از آنها مدل هایی که بررسی کردیم کاربرد خواهد داشت. توجه داریم که در همسایگی هر گروه، چندین گروه دیگر قرار دارد و افراد گروه های مختلف با هم در ارتباط هستند.
به طور شماتیک در تصویر زیر، شبکه ای متشکل از 4 گروه مشاهده می کنید.
در تحلیل شبکه ای همانند مدلسازی های بالا، برای هر گروه یا راس کسر بیمار شده را بدست می آوریم؛ سپس با جمع کردن بیماران همه راس ها در جامعه، (i(t (کسر بیمار شده) مجموع را بدست می آوریم.
تفاوت تحلیل شبکه ای با مدلسازی های عادی بالا این است که 1. جامعه را به چندین گروه تقسیم می کنیم 2. هر گروه با گروه های همسایه در ارتباط است به نوعی یک چگالی کسر بیمار در همسایگی یک گروه باید تعریف کرد که آن را با (θ(k برای هر گروه نشان می دهیم 3. نوع ارتباط افراد در یک گروه و گروه ها با هم نیز باید مدلسازی شود که ما فقط فرض رندوم بودن ارتباط ها را بررسی می کنیم (بررسی فرض های بیشتر در کتاب مرجع).
انتظار داریم هرچقدر جامعه ما دارای گروه های بیشتر باشد، اپیدمی زودتر شیوع پیدا کند. مثلا برای مدل SI، در شکل زیر کسر بیمار شده برحسب تعداد گروه های مختلف (k) را مشاهده می کنید:
در مدل SIS توضیح دادیم که بیماری کرونا با مدل SIS بیشترین همخوانی را دارد زیرا افرادی که بهبود می یابند دوباره می توانند بیمار شوند. پس در بخش تحلیل شبکه ای، تنها مدل SIS را بررسی خواهیم کرد. (اگر در محاسبات این بخش تسلط پیدا نکردید به کتاب مراجعه کنید؛ نتایج مهمی در ادامه خواهیم گرفت!)
همانند قبل، نرخ زمانی کسر بیمار شده در هر راس یا گروه k را برابر با عبارت زیر می نویسیم.
طبق همان بررسی های گذشته بر روی مدل SIS، کسر بیمار جامعه برابر با جوابی نمایی خواهد شد که با ثابت زمانی τ (مقیاس زمانی یک نمایی) رشد می کند. با عملیات ساده سازی با فرض رندوم بودن ارتباط ها، رابطه ثابت زمانی با پارامتر های بیماری به صورت زیر بدست می آید که می دانیم برای مدل SIS حتما بزرگتر از صفر است.
پارامتر نرخ پخش شدگی بیماری را مطابق با زیر تعریف می کنیم.
هر چقدر این پارامتر مقدار کمتری داشته باشد، بیماری قابل کنترل تر است. به این معنی که هرچقدر نرخ واگیر بیماری کمتر و پارامتر بهبود سیستم درمان ما بیشتر شود، نرخ پخش شدگی بیماری پایین می آید و ما می توانیم اپیدمی را کنترل کنیم.
با جایگذاری نرخ پخش شدگی در ثابت زمانی، بدست می آوریم که این پارامتر با فیزیک ارتباطی جامعه (که همان میانگین تعداد ارتباط هر فرد با فرد دیگر جامعه است) رابطه زیر را دارد:
پس به عبارتی یک حد پایین برای نرخ پخش شدگی هر جامعه می توانیم بدست بیاوریم:
که اگر نرخ پخش شدگی بیماری در جامعه ما حد زیر را ارضاء کند و بیشتر از آن شود، بیماری طبق مدل SIS گسترش می یابد و کسر زیادی از مردم را بیمار می کند.
به نظر می رسد به معیار خوبی برای تعیین اپیدمی شدن یک بیماری رسیده ایم. کافی است که برای جامعه خود مقدار حد نرخ پخش شدگی که در بالا نوشته ایم را محاسبه کنیم. برای این محاسبه تنها به مقدار میانگین ارتباط هر فرد جامعه با افراد دیگر نیاز است. به عنوان مثال با قرنطینه کردن افراد، <k> کم خواهد شد و حد λ بالا زیاد خواهد شد.
پس نتیجه می گیریم که ما تمایل داریم حد λ مقادیر بزرگتری بگیر تا حاشیه امنیت بیشتری پیدا کنیم زیرا ما باید به λ کمتر از حد بالا دست پیدا کنیم تا بیماری طبق مدل SIS شیوع نیابد و قابل کنترل شود. به این معنی که بتوانیم بیماری های با نرخ شیوع β بیشتر (بیماری های خطرناک تر مانند کرونا) را تحت کنترل بیاوریم.
درست است که مدل ما با ساده سازی های بسیاری انجام شد اما می بینیم کاملا مبتی بر واقعیت شد. پس سه پارامتر اصلی که به ما آزادی عمل در مسئله می دهد به ترتیب، مقدار میانگین ارتباط هر فرد جامعه با افراد دیگر <k>، نرخ شیوع بیماری β و پارامتر بهبود سیستم درمان ما یعنی μ است. ما تمایل داریم که حد λ را تا می توانیم بالا ببریم.
برای مثال به صورت شماتیک اگر در هر لحظه در جامعه، مقدار λ کمتر از منحنی سبز زیر باشد، بیماری به دلایلی که توضیح دادیم قابل کنترل است و همه گیر نخواهد شد.
مدل های دقیق تر و مبتنی بر واقعیت نیازمند تحلیل های پیچیده تری می باشد. با همین تحلیل ساده بالا با داده های بیماری کرونا متوجه می شویم این بیماری حدود 50 تا 70 درصد جمعیت را بیمار خواهد کرد. پس با این وجود چرا قرنطینه شده ایم؟
پاسخ در نمودار زیر است:
درست است که اکثر افراد جامعه مبتلا خواهد شد، اما نکته ای که وجود دارد ظرفیت سیستم درمانی است. هر چقدر پیک یا همان بیشینه نمودار بالا تاخیر بیشتری داشته باشد، سیستم درمانی به بیمارهای بیشتری می تواند سرویس دهد و تعداد افراد کمتری بر اثر بیماری فوت خواهند کرد.
